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1. 在同一平面直角坐标系中画出函数 $y=\frac{1}{2}x^2$ 和 $y=-x^2$ 的图象.
答案
1. 【解】列表如下.
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | … | 2 | $\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | 2 | … |
| $y=-x^2$ | … | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | … |
在同一平面直角坐标系中描点、连线，如图所示。
解析
【分析】
要绘制函数图像，需遵循“列表、描点、连线”的通用步骤。本题中的两个函数都是二次函数，图象为抛物线，关于y轴对称，因此可以选取关于原点对称的x值（如-2、-1、0、1、2）代入函数解析式计算对应的y值，减少计算量；再将得到的各组(x,y)作为点的坐标在坐标系中描出，最后用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到两个函数的图象。
【解析】
绘制函数图象分三步进行：
1. 列表：选取合适的x值，分别代入两个函数解析式计算y值，结果如下：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | … | 2 | $\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | 2 | … |
| $y=-x^2$ | … | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | … |
2. 描点：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中描出对应的各点。
3. 连线：分别用平滑的曲线顺次连接两个函数对应的点，即可得到$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=-x^2$的图象。
【答案】
1. 【解】列表如下.
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | … | 2 | $\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | 2 | … |
| $y=-x^2$ | … | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | … |
在同一平面直角坐标系中描点、连线，如图所示。
【知识点】
函数图象的画法，二次函数的图象
【点评】
本题是函数图象绘制的基础题型，重点考查画函数图象三步法的应用，利用二次函数的对称性选取自变量可提升计算效率，注意连线时需使用平滑曲线，不可用折线连接各点。
【难度系数】
0.85
要绘制函数图像，需遵循“列表、描点、连线”的通用步骤。本题中的两个函数都是二次函数，图象为抛物线，关于y轴对称，因此可以选取关于原点对称的x值（如-2、-1、0、1、2）代入函数解析式计算对应的y值，减少计算量；再将得到的各组(x,y)作为点的坐标在坐标系中描出，最后用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到两个函数的图象。
【解析】
绘制函数图象分三步进行：
1. 列表：选取合适的x值，分别代入两个函数解析式计算y值，结果如下：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | … | 2 | $\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | 2 | … |
| $y=-x^2$ | … | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | … |
2. 描点：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中描出对应的各点。
3. 连线：分别用平滑的曲线顺次连接两个函数对应的点，即可得到$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=-x^2$的图象。
【答案】
1. 【解】列表如下.
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | … | 2 | $\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | 2 | … |
| $y=-x^2$ | … | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | … |
在同一平面直角坐标系中描点、连线，如图所示。
【知识点】
函数图象的画法，二次函数的图象
【点评】
本题是函数图象绘制的基础题型，重点考查画函数图象三步法的应用，利用二次函数的对称性选取自变量可提升计算效率，注意连线时需使用平滑曲线，不可用折线连接各点。
【难度系数】
0.85
【典型例题2】关于函数$y=2x^2$，下列叙述错误的是（）
A.函数图象经过原点
B.函数图象的顶点坐标为$(0,0)$
C.函数图象开口向下
D.函数图象的对称轴为$y$轴
【解析】二次函数$y=2x^2$图象的顶点坐标为$(0,0)$，经过原点，故选项A，B中叙述正确。因为$2＞0$，所以函数图象开口向上，选项C中叙述错误。二次函数$y=2x^2$图象的对称轴为$y$轴，选项D中叙述正确。
【答案】C
A.函数图象经过原点
B.函数图象的顶点坐标为$(0,0)$
C.函数图象开口向下
D.函数图象的对称轴为$y$轴
【解析】二次函数$y=2x^2$图象的顶点坐标为$(0,0)$，经过原点，故选项A，B中叙述正确。因为$2＞0$，所以函数图象开口向上，选项C中叙述错误。二次函数$y=2x^2$图象的对称轴为$y$轴，选项D中叙述正确。
【答案】C
答案
解析
【分析】
本题是对二次函数$y=ax^2$基本性质的考查，解题时先回忆该类二次函数的相关性质，再结合本题中$a=2$的条件逐一验证每个选项的正误，最终选出叙述错误的选项即可。$y=ax^2$的核心性质包括：顶点为$(0,0)$、对称轴为$y$轴、$a＞0$时开口向上、图像过原点，可依据这些性质逐一判断选项。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2$：
1. 其顶点坐标为$(0,0)$，因此函数图象经过原点，故A、B选项叙述正确；
2. 二次项系数$a=2＞0$，所以函数图象开口向上，故C选项叙述错误；
3. 该函数图象的对称轴为$y$轴，故D选项叙述正确。
题目要求选择叙述错误的选项，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图像特征
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对最简二次函数核心性质的掌握，只要熟记二次项系数与开口方向的关系、顶点坐标、对称轴等基础知识点，就能快速判断出正误。
【难度系数】
0.9
本题是对二次函数$y=ax^2$基本性质的考查，解题时先回忆该类二次函数的相关性质，再结合本题中$a=2$的条件逐一验证每个选项的正误，最终选出叙述错误的选项即可。$y=ax^2$的核心性质包括：顶点为$(0,0)$、对称轴为$y$轴、$a＞0$时开口向上、图像过原点，可依据这些性质逐一判断选项。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2$：
1. 其顶点坐标为$(0,0)$，因此函数图象经过原点，故A、B选项叙述正确；
2. 二次项系数$a=2＞0$，所以函数图象开口向上，故C选项叙述错误；
3. 该函数图象的对称轴为$y$轴，故D选项叙述正确。
题目要求选择叙述错误的选项，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图像特征
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对最简二次函数核心性质的掌握，只要熟记二次项系数与开口方向的关系、顶点坐标、对称轴等基础知识点，就能快速判断出正误。
【难度系数】
0.9
【即学即练】
2. 下列关于函数 $ y = ax^2 (a ≠ 0) $ 的说法中，错误的有 （
①它的图象是抛物线；
②对称轴是 $ y $ 轴；
③该函数图象的顶点坐标是 $ (0,0) $；
④当 $ a ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；
⑤当 $ a ＜ 0 $ 时，图象开口向下.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2. 下列关于函数 $ y = ax^2 (a ≠ 0) $ 的说法中，错误的有 （
A
）①它的图象是抛物线；
②对称轴是 $ y $ 轴；
③该函数图象的顶点坐标是 $ (0,0) $；
④当 $ a ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；
⑤当 $ a ＜ 0 $ 时，图象开口向下.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查二次函数$ y=ax^2(a≠0) $的基本性质，解题时需逐个判断5个说法的正误：首先回忆该类二次函数的图象特征、对称轴、顶点坐标、开口方向、增减性相关知识点，再逐一对应验证每个说法，最后统计错误说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
① 二次函数的图象都是抛物线，$ y=ax^2(a≠0) $属于二次函数，因此它的图象是抛物线，①正确；
② 二次函数对称轴公式为$ x=-\frac{b}{2a} $，该函数中一次项系数$ b=0 $，因此对称轴为$ x=0 $，即$ y $轴，②正确；
③ 二次函数的顶点在对称轴上，将$ x=0 $代入函数得$ y=0 $，因此顶点坐标为$ (0,0) $，③正确；
④ 当$ a＞0 $时，抛物线开口向上，此时在对称轴左侧（$ x＜0 $）时，$ y $随$ x $的增大而减小，在对称轴右侧（$ x＞0 $）时，$ y $随$ x $的增大而增大，不能笼统说$ y $随$ x $的增大而增大，④错误；
⑤ 二次函数$ y=ax^2 $的开口方向由$ a $的符号决定，$ a＜0 $时图象开口向下，⑤正确。
综上，错误的说法仅有1个，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$ y=ax^2 $的性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数的图象特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，主要考查对最简单二次函数基本性质的掌握，易错点在于判断增减性时忽略了必须以对称轴为界分区间讨论，记忆性质时要注意适用的前提条件。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$ y=ax^2(a≠0) $的基本性质，解题时需逐个判断5个说法的正误：首先回忆该类二次函数的图象特征、对称轴、顶点坐标、开口方向、增减性相关知识点，再逐一对应验证每个说法，最后统计错误说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
① 二次函数的图象都是抛物线，$ y=ax^2(a≠0) $属于二次函数，因此它的图象是抛物线，①正确；
② 二次函数对称轴公式为$ x=-\frac{b}{2a} $，该函数中一次项系数$ b=0 $，因此对称轴为$ x=0 $，即$ y $轴，②正确；
③ 二次函数的顶点在对称轴上，将$ x=0 $代入函数得$ y=0 $，因此顶点坐标为$ (0,0) $，③正确；
④ 当$ a＞0 $时，抛物线开口向上，此时在对称轴左侧（$ x＜0 $）时，$ y $随$ x $的增大而减小，在对称轴右侧（$ x＞0 $）时，$ y $随$ x $的增大而增大，不能笼统说$ y $随$ x $的增大而增大，④错误；
⑤ 二次函数$ y=ax^2 $的开口方向由$ a $的符号决定，$ a＜0 $时图象开口向下，⑤正确。
综上，错误的说法仅有1个，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$ y=ax^2 $的性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数的图象特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，主要考查对最简单二次函数基本性质的掌握，易错点在于判断增减性时忽略了必须以对称轴为界分区间讨论，记忆性质时要注意适用的前提条件。
【难度系数】
0.8
【典型例题3】已知函数$y=ax^2(a＞0)$的图象上有$A(2,y_1),B(3,y_2),C(-1,y_3)$三个点,试比较$y_1,y_2,y_3$的大小.
思路导引 要比较$y_1,y_2,y_3$的大小,可以先把各点变换到二次函数图象对称轴的同一侧,再利用二次函数的性质进行比较.
【解】因为抛物线$y=ax^2(a＞0)$的对称轴是$y$轴,点$C(-1,y_3)$在抛物线上,所以点$(1,y_3)$也在该抛物线上.因为$a＞0$,所以当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大.因为$3＞2＞1$,所以$y_2＞y_1＞y_3$.
规律方法 比较二次函数$y=ax^2(a≠0)$函数值大小的常用方法.
1. 代入法:将点的横坐标代入函数解析式,求出对应的纵坐标后进行比较.
2. 增减性:将不在对称轴同侧的点利用二次函数图象的对称性,变换到同一侧,再结合开口方向利用对称轴两侧的增减性
思路导引 要比较$y_1,y_2,y_3$的大小,可以先把各点变换到二次函数图象对称轴的同一侧,再利用二次函数的性质进行比较.
【解】因为抛物线$y=ax^2(a＞0)$的对称轴是$y$轴,点$C(-1,y_3)$在抛物线上,所以点$(1,y_3)$也在该抛物线上.因为$a＞0$,所以当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大.因为$3＞2＞1$,所以$y_2＞y_1＞y_3$.
规律方法 比较二次函数$y=ax^2(a≠0)$函数值大小的常用方法.
1. 代入法:将点的横坐标代入函数解析式,求出对应的纵坐标后进行比较.
2. 增减性:将不在对称轴同侧的点利用二次函数图象的对称性,变换到同一侧,再结合开口方向利用对称轴两侧的增减性
答案
解：抛物线$y=ax^2(a＞0)$的对称轴是$y$轴，
∵点$C(-1,y_3)$在抛物线上，
∴点$C$关于$y$轴的对称点$(1,y_3)$也在该抛物线上。
∵$a＞0$，
∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
又∵$3＞2＞1$，
∴$y_2＞y_1＞y_3$。
∵点$C(-1,y_3)$在抛物线上，
∴点$C$关于$y$轴的对称点$(1,y_3)$也在该抛物线上。
∵$a＞0$，
∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
又∵$3＞2＞1$，
∴$y_2＞y_1＞y_3$。
解析
【分析】
解题时首先明确二次函数$y=ax^2(a＞0)$的基本性质：开口向上，对称轴为$y$轴，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。解题可以用两种思路：①代入法：将三个点的横坐标代入解析式，分别求出$y_1=4a$、$y_2=9a$、$y_3=a$，结合$a＞0$即可比较大小；②增减性法：先利用二次函数的对称性，将对称轴左侧的点$C(-1,y_3)$对称到右侧得到点$(1,y_3)$，此时三个点都在$x＞0$的区域，而$a＞0$时$x＞0$区间$y$随$x$的增大而增大，比较横坐标的大小即可对应得到函数值的大小关系。
【解析】
抛物线$y=ax^2(a＞0)$的对称轴是$y$轴，
∵点$C(-1,y_3)$在抛物线上，
∴点$C$关于$y$轴的对称点$(1,y_3)$也在该抛物线上。
∵$a＞0$，
∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
又
∵$3＞2＞1$，
∴$y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
$y_2＞y_1＞y_3$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数函数值比较的常规题型，既可以通过代入求值直接比较，也可以利用对称性结合增减性判断，熟练掌握二次函数的图象性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确二次函数$y=ax^2(a＞0)$的基本性质：开口向上，对称轴为$y$轴，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。解题可以用两种思路：①代入法：将三个点的横坐标代入解析式，分别求出$y_1=4a$、$y_2=9a$、$y_3=a$，结合$a＞0$即可比较大小；②增减性法：先利用二次函数的对称性，将对称轴左侧的点$C(-1,y_3)$对称到右侧得到点$(1,y_3)$，此时三个点都在$x＞0$的区域，而$a＞0$时$x＞0$区间$y$随$x$的增大而增大，比较横坐标的大小即可对应得到函数值的大小关系。
【解析】
抛物线$y=ax^2(a＞0)$的对称轴是$y$轴，
∵点$C(-1,y_3)$在抛物线上，
∴点$C$关于$y$轴的对称点$(1,y_3)$也在该抛物线上。
∵$a＞0$，
∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
又
∵$3＞2＞1$，
∴$y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
$y_2＞y_1＞y_3$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数函数值比较的常规题型，既可以通过代入求值直接比较，也可以利用对称性结合增减性判断，熟练掌握二次函数的图象性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
