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7.若$y=(a^2+a)x^{a^2 - 2a -1}$是二次函数，则（
A.$a=-1$或$a=3$
B.$a≠-1$且$a≠0$
C.$a=-1$
D.$a=3$
D
）A.$a=-1$或$a=3$
B.$a≠-1$且$a≠0$
C.$a=-1$
D.$a=3$
答案
7. D
解析
【分析】
要确定参数a的取值，需紧扣二次函数的定义：二次函数需同时满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件缺一不可。我们只需分别依据这两个条件列方程和不等式，联立求解就能得到a的正确取值。
【解析】
根据二次函数的定义，可列出以下两个要求：
1. 自变量x的次数等于2：
$a^2 - 2a - 1 = 2$
移项整理得：$a^2 - 2a - 3 = 0$
因式分解得：$(a - 3)(a + 1) = 0$
解得：$a = 3$ 或 $a = -1$
2. 二次项系数不为0：
$a^2 + a ≠ 0$
因式分解得：$a(a + 1) ≠ 0$
解得：$a ≠ 0$ 且 $a ≠ -1$
联立两个条件，排除不符合系数要求的$a=-1$，最终可得$a=3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义、一元二次方程的解法、不等式求解
【点评】
本题属于二次函数定义的基础应用题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，误选A选项，解题时要注意将定义对应的所有限制条件考虑完整。
【难度系数】
0.7
要确定参数a的取值，需紧扣二次函数的定义：二次函数需同时满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件缺一不可。我们只需分别依据这两个条件列方程和不等式，联立求解就能得到a的正确取值。
【解析】
根据二次函数的定义，可列出以下两个要求：
1. 自变量x的次数等于2：
$a^2 - 2a - 1 = 2$
移项整理得：$a^2 - 2a - 3 = 0$
因式分解得：$(a - 3)(a + 1) = 0$
解得：$a = 3$ 或 $a = -1$
2. 二次项系数不为0：
$a^2 + a ≠ 0$
因式分解得：$a(a + 1) ≠ 0$
解得：$a ≠ 0$ 且 $a ≠ -1$
联立两个条件，排除不符合系数要求的$a=-1$，最终可得$a=3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义、一元二次方程的解法、不等式求解
【点评】
本题属于二次函数定义的基础应用题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，误选A选项，解题时要注意将定义对应的所有限制条件考虑完整。
【难度系数】
0.7
8. 某共享单车公司第一个月投放1 000辆共享单车，计划三个月总共投放共享单车的数量为y(单位:辆).设该公司投放共享单车数量的月平均增长率为x，那么y关于x的函数解析式是
$y=1\ 000x^2+3\ 000x+3\ 000$
.答案
8. $y=1\ 000x^2+3\ 000x+3\ 000$
解析
【分析】
本题是平均增长率背景下的函数解析式列写问题，解题思路如下：首先明确平均增长率的基本数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)；其次分别表示出第一个月、第二个月、第三个月的共享单车投放量；最后将三个月的投放量相加得到总投放量y，展开化简即可得到函数解析式。解题时要注意题目要求的是三个月的总投放量，不要误算为第三个月的投放量。
【解析】
已知第一个月投放1000辆，月平均增长率为x：
1. 第二个月的投放量为：$1000(1+x)$辆；
2. 第三个月的投放量是在第二个月的基础上增长x，即：$1000(1+x)·(1+x)=1000(1+x)^2$辆；
3. 三个月总投放量y为三个月投放量之和，因此：
$\begin{aligned}y&=1000 + 1000(1+x) + 1000(1+x)^2\\&=1000 + 1000 + 1000x + 1000(1+2x+x^2)\\&=1000 + 1000 + 1000x + 1000 + 2000x + 1000x^2\\&=1000x^2 + 3000x + 3000\end{aligned}$
【答案】
$y=1000x^2+3000x+3000$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列二次函数解析式
3. 整式化简
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是正确理解“三个月总投放量”的含义，准确表示出每个月的投放量后求和化简即可，易错点是容易误将第三个月的投放量当成三个月的总投放量导致列式错误。
【难度系数】
0.7
本题是平均增长率背景下的函数解析式列写问题，解题思路如下：首先明确平均增长率的基本数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)；其次分别表示出第一个月、第二个月、第三个月的共享单车投放量；最后将三个月的投放量相加得到总投放量y，展开化简即可得到函数解析式。解题时要注意题目要求的是三个月的总投放量，不要误算为第三个月的投放量。
【解析】
已知第一个月投放1000辆，月平均增长率为x：
1. 第二个月的投放量为：$1000(1+x)$辆；
2. 第三个月的投放量是在第二个月的基础上增长x，即：$1000(1+x)·(1+x)=1000(1+x)^2$辆；
3. 三个月总投放量y为三个月投放量之和，因此：
$\begin{aligned}y&=1000 + 1000(1+x) + 1000(1+x)^2\\&=1000 + 1000 + 1000x + 1000(1+2x+x^2)\\&=1000 + 1000 + 1000x + 1000 + 2000x + 1000x^2\\&=1000x^2 + 3000x + 3000\end{aligned}$
【答案】
$y=1000x^2+3000x+3000$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列二次函数解析式
3. 整式化简
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是正确理解“三个月总投放量”的含义，准确表示出每个月的投放量后求和化简即可，易错点是容易误将第三个月的投放量当成三个月的总投放量导致列式错误。
【难度系数】
0.7
9.有一个长方体木块,其长和宽相等,高比长多2 m.已知长方体的长和宽用x(单位:m)表示.
(1)求长方体的表面积S(单位:$\mathrm{m}^2$)关于x的函数解析式.
(2)将长方体木块的表面涂上油漆,每平方米所需要的油漆费用是3元,用油漆涂满这个长方体木块的表面所需要的费用为y(单位:元),求y关于x的函数解析式.
(1)求长方体的表面积S(单位:$\mathrm{m}^2$)关于x的函数解析式.
(2)将长方体木块的表面涂上油漆,每平方米所需要的油漆费用是3元,用油漆涂满这个长方体木块的表面所需要的费用为y(单位:元),求y关于x的函数解析式.
答案
9. 【解】(1)$S=2x^2+4x(x+2)=6x^2+8x$.
(2)$y=3(6x^2+8x)=18x^2+24x$.
(2)$y=3(6x^2+8x)=18x^2+24x$.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：长方体的长和宽均为x m，高比长多2 m，因此高为(x+2)m。
第(1)问求表面积，先回忆长方体表面积公式：表面积是6个面的面积总和，上下两个面是边长为x的正方形，面积和为$2x^2$；前后左右4个面是完全相同的长方形，每个面面积为$x(x+2)$，4个面面积和为$4x(x+2)$，将两部分面积相加后化简即可得到S的解析式。
第(2)问求油漆总费用，根据“总费用=单位面积费用×总面积”的数量关系，把第(1)问得到的表面积S代入，展开化简就能得到y的解析式。
【解析】
(1) 由题意得：长方体的长为x m，宽为x m，高为$(x+2)$m。
根据长方体表面积公式：
$\begin{aligned}S&=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)\\&=2[x· x + x·(x+2) + x·(x+2)]\\&=2(x^2 + x^2 + 2x + x^2 + 2x)\\&=2(3x^2 + 4x)\\&=6x^2 + 8x \quad (x＞0)\end{aligned}$
(2) 已知每平方米油漆费用为3元，总费用$y=3S$，将$S=6x^2 + 8x$代入得：
$\begin{aligned}y&=3×(6x^2 + 8x)\\&=18x^2 + 24x \quad (x＞0)\end{aligned}$
【答案】
(1)$S=6x^2+8x$
(2)$y=18x^2+24x$
【知识点】
长方体表面积计算；列函数解析式；整式化简
【点评】
本题属于基础应用型题目，结合几何图形性质考查函数解析式的列法，解题核心是熟练掌握长方体表面积公式，理清总费用、单位费用和总面积之间的数量关系，计算时注意整式合并同类项、去括号的运算规则即可。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：长方体的长和宽均为x m，高比长多2 m，因此高为(x+2)m。
第(1)问求表面积，先回忆长方体表面积公式：表面积是6个面的面积总和，上下两个面是边长为x的正方形，面积和为$2x^2$；前后左右4个面是完全相同的长方形，每个面面积为$x(x+2)$，4个面面积和为$4x(x+2)$，将两部分面积相加后化简即可得到S的解析式。
第(2)问求油漆总费用，根据“总费用=单位面积费用×总面积”的数量关系，把第(1)问得到的表面积S代入，展开化简就能得到y的解析式。
【解析】
(1) 由题意得：长方体的长为x m，宽为x m，高为$(x+2)$m。
根据长方体表面积公式：
$\begin{aligned}S&=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)\\&=2[x· x + x·(x+2) + x·(x+2)]\\&=2(x^2 + x^2 + 2x + x^2 + 2x)\\&=2(3x^2 + 4x)\\&=6x^2 + 8x \quad (x＞0)\end{aligned}$
(2) 已知每平方米油漆费用为3元，总费用$y=3S$，将$S=6x^2 + 8x$代入得：
$\begin{aligned}y&=3×(6x^2 + 8x)\\&=18x^2 + 24x \quad (x＞0)\end{aligned}$
【答案】
(1)$S=6x^2+8x$
(2)$y=18x^2+24x$
【知识点】
长方体表面积计算；列函数解析式；整式化简
【点评】
本题属于基础应用型题目，结合几何图形性质考查函数解析式的列法，解题核心是熟练掌握长方体表面积公式，理清总费用、单位费用和总面积之间的数量关系，计算时注意整式合并同类项、去括号的运算规则即可。
【难度系数】
0.8
10. 如图，用颜色不同但规格相同的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题.
(1)在第$n$个图形中，每一横行有
(2)设铺设矩形地面所用瓷砖的总块数为$y$，请写出$y$关于$n$的函数解析式.
(3)按上述铺设方案，如果铺一块矩形地面用了506块瓷砖，求此时$n$的值.
(1)在第$n$个图形中，每一横行有
$(n+3)$
块瓷砖，每一竖列有$(n+2)$
块瓷砖.(用含$n$的代数式表示)(2)设铺设矩形地面所用瓷砖的总块数为$y$，请写出$y$关于$n$的函数解析式.
(3)按上述铺设方案，如果铺一块矩形地面用了506块瓷砖，求此时$n$的值.
答案
10. 【解】(1)$(n+3)$ $(n+2)$
(2)$y=(n+3)(n+2)=n^2+5n+6$.
(3)根据题意,得$n^2+5n+6=506$.
解得$n_1=20,n_2=-25$(不合题意,舍去).
故$n$的值为20.
(2)$y=(n+3)(n+2)=n^2+5n+6$.
(3)根据题意,得$n^2+5n+6=506$.
解得$n_1=20,n_2=-25$(不合题意,舍去).
故$n$的值为20.
解析
【分析】
解决本题可按照从特殊到一般的思路推导：首先观察前3个图形的横行、竖列瓷砖数量和图形序号的对应关系，归纳出第n个图形的横行、竖列瓷砖数的表达式；再根据“总瓷砖数=横行瓷砖数×竖列瓷砖数”列出总块数y关于n的函数解析式；最后将y=506代入函数式，求解一元二次方程，结合n的实际意义舍去负根即可得到结果。
【解析】
(1) 观察已知图形：
第1个图形：横行瓷砖数为$4=1+3$，竖列瓷砖数为$3=1+2$；
第2个图形：横行瓷砖数为$5=2+3$，竖列瓷砖数为$4=2+2$；
第3个图形：横行瓷砖数为$6=3+3$，竖列瓷砖数为$5=3+2$；
由此可归纳得：第$n$个图形中，每一横行有$(n+3)$块瓷砖，每一竖列有$(n+2)$块瓷砖。
(2) 矩形地面总瓷砖数为横行瓷砖数与竖列瓷砖数的乘积，因此：
$y=(n+3)(n+2)$
展开得：$y=n^2+5n+6$。
(3) 当总瓷砖数为506时，代入解析式得：
$n^2+5n+6=506$
整理得$n^2+5n-500=0$，
解方程得$n_1=20$，$n_2=-25$，
因为$n$为正整数，故$n_2=-25$不符合题意，舍去。
【答案】
(1)$n+3$；$n+2$
(2)$y=n^2+5n+6$
(3)$20$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；一元二次方程的应用
【点评】
本题结合图形规律考查了归纳推理能力和一元二次方程的实际应用，解题的关键是准确找到图形数量的变化规律，求解方程后要注意结合实际意义筛选根。
【难度系数】
0.7
解决本题可按照从特殊到一般的思路推导：首先观察前3个图形的横行、竖列瓷砖数量和图形序号的对应关系，归纳出第n个图形的横行、竖列瓷砖数的表达式；再根据“总瓷砖数=横行瓷砖数×竖列瓷砖数”列出总块数y关于n的函数解析式；最后将y=506代入函数式，求解一元二次方程，结合n的实际意义舍去负根即可得到结果。
【解析】
(1) 观察已知图形：
第1个图形：横行瓷砖数为$4=1+3$，竖列瓷砖数为$3=1+2$；
第2个图形：横行瓷砖数为$5=2+3$，竖列瓷砖数为$4=2+2$；
第3个图形：横行瓷砖数为$6=3+3$，竖列瓷砖数为$5=3+2$；
由此可归纳得：第$n$个图形中，每一横行有$(n+3)$块瓷砖，每一竖列有$(n+2)$块瓷砖。
(2) 矩形地面总瓷砖数为横行瓷砖数与竖列瓷砖数的乘积，因此：
$y=(n+3)(n+2)$
展开得：$y=n^2+5n+6$。
(3) 当总瓷砖数为506时，代入解析式得：
$n^2+5n+6=506$
整理得$n^2+5n-500=0$，
解方程得$n_1=20$，$n_2=-25$，
因为$n$为正整数，故$n_2=-25$不符合题意，舍去。
【答案】
(1)$n+3$；$n+2$
(2)$y=n^2+5n+6$
(3)$20$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；一元二次方程的应用
【点评】
本题结合图形规律考查了归纳推理能力和一元二次方程的实际应用，解题的关键是准确找到图形数量的变化规律，求解方程后要注意结合实际意义筛选根。
【难度系数】
0.7
