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1. 某厂第二车间的人数比第一车间的人数的$\frac{4}{5}$少30人. 如果从第一车间调10人到第二车间,那么第二车间的人数就是第一车间的$\frac{3}{4}$. 问这两个车间各有多少人?
答案
1. 第一车间 250 人,第二车间 170 人
解析
【分析】
这是一道人员调配类的应用题，解题核心是找准两个等量关系。我们可以先设第一车间的人数为未知数，利用第一个条件“第二车间人数比第一车间的$\frac{4}{5}$少30人”表示出第二车间的人数；再根据“从第一车间调10人到第二车间后，第二车间人数是第一车间的$\frac{3}{4}$”这个调配后的等量关系列出方程，求解即可得到两个车间的人数。
【解析】
解：设第一车间原有$x$人，则第二车间原有$(\frac{4}{5}x - 30)$人。
人员调动后，第一车间人数为$(x - 10)$人，第二车间人数为$\frac{4}{5}x - 30 + 10 = \frac{4}{5}x - 20$人。
根据调动后第二车间人数是第一车间的$\frac{3}{4}$，列方程：
$\frac{4}{5}x - 20 = \frac{3}{4}(x - 10)$
两边同时乘20消去分母：
$16x - 400 = 15(x - 10)$
展开括号：
$16x - 400 = 15x - 150$
移项计算得：
$x = 250$
则第二车间原有：$\frac{4}{5} × 250 - 30 = 200 - 30 = 170$（人）
【答案】
第一车间250人，第二车间170人
【知识点】
一元一次方程应用，分数运算，等量关系构建
【点评】
本题属于常见的调配类应用题，解题的关键是准确梳理调配前后两个车间人数的变化，正确列出等量关系，计算时先消去分数分母可降低运算出错概率。
【难度系数】
0.7
这是一道人员调配类的应用题，解题核心是找准两个等量关系。我们可以先设第一车间的人数为未知数，利用第一个条件“第二车间人数比第一车间的$\frac{4}{5}$少30人”表示出第二车间的人数；再根据“从第一车间调10人到第二车间后，第二车间人数是第一车间的$\frac{3}{4}$”这个调配后的等量关系列出方程，求解即可得到两个车间的人数。
【解析】
解：设第一车间原有$x$人，则第二车间原有$(\frac{4}{5}x - 30)$人。
人员调动后，第一车间人数为$(x - 10)$人，第二车间人数为$\frac{4}{5}x - 30 + 10 = \frac{4}{5}x - 20$人。
根据调动后第二车间人数是第一车间的$\frac{3}{4}$，列方程：
$\frac{4}{5}x - 20 = \frac{3}{4}(x - 10)$
两边同时乘20消去分母：
$16x - 400 = 15(x - 10)$
展开括号：
$16x - 400 = 15x - 150$
移项计算得：
$x = 250$
则第二车间原有：$\frac{4}{5} × 250 - 30 = 200 - 30 = 170$（人）
【答案】
第一车间250人，第二车间170人
【知识点】
一元一次方程应用，分数运算，等量关系构建
【点评】
本题属于常见的调配类应用题，解题的关键是准确梳理调配前后两个车间人数的变化，正确列出等量关系，计算时先消去分数分母可降低运算出错概率。
【难度系数】
0.7
2. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是7，把这个两位数加上45，所得结果正好与原来两位数个位、十位上的数调换位置后得到的数一样，求原来的两位数。
答案
2. 16
解析
【分析】
这是一道数字类一元一次方程应用题，解题思路如下：①首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；②根据“十位与个位数字的和是7”，可设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位的数字用含未知数的式子表示；③找到题中等量关系：原两位数+45=个位、十位调换后得到的新两位数，将原数和新数用含未知数的式子表示后代入等量关系列方程，最后解方程求出未知数即可得到原两位数。
【解析】
解：设原来两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$7-x$。
原来的两位数可表示为：$10(7-x)+x$
个位与十位调换后的新两位数可表示为：$10x+(7-x)$
根据题意列方程：
$10(7-x)+x + 45 = 10x+(7-x)$
去括号得：$70-10x+x+45=10x+7-x$
合并同类项得：$115-9x=9x+7$
移项得：$-9x-9x=7-115$
合并同类项得：$-18x=-108$
系数化为1得：$x=6$
则十位数字为$7-6=1$，原来的两位数为$1×10+6=16$。
【答案】
16
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示
【点评】
本题是基础的数字类方程应用题，解题关键是掌握多位数的数位表示方法，准确梳理题目中的等量关系列方程求解，可巩固学生用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类一元一次方程应用题，解题思路如下：①首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；②根据“十位与个位数字的和是7”，可设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位的数字用含未知数的式子表示；③找到题中等量关系：原两位数+45=个位、十位调换后得到的新两位数，将原数和新数用含未知数的式子表示后代入等量关系列方程，最后解方程求出未知数即可得到原两位数。
【解析】
解：设原来两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$7-x$。
原来的两位数可表示为：$10(7-x)+x$
个位与十位调换后的新两位数可表示为：$10x+(7-x)$
根据题意列方程：
$10(7-x)+x + 45 = 10x+(7-x)$
去括号得：$70-10x+x+45=10x+7-x$
合并同类项得：$115-9x=9x+7$
移项得：$-9x-9x=7-115$
合并同类项得：$-18x=-108$
系数化为1得：$x=6$
则十位数字为$7-6=1$，原来的两位数为$1×10+6=16$。
【答案】
16
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示
【点评】
本题是基础的数字类方程应用题，解题关键是掌握多位数的数位表示方法，准确梳理题目中的等量关系列方程求解，可巩固学生用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
某快递公司规定:寄件不超过1千克的部分按起步价计费;寄件超过1千克的部分按千克计费.小明分别寄快递到上海和北京,收费标准及实际收费如下表:
收费标准
实际收费
求$a,b$的值.
收费标准
实际收费
求$a,b$的值.
答案
a=7,b=2.
解析
【分析】
本题属于二元一次方程组的实际应用类题目，解题思路如下：首先明确快递收费规则：总费用=不超过1千克的起步价 + 超出1千克部分的重量×超出部分每千克的费用；接下来分别对应寄往上海和北京的寄件重量、收费标准，找到两个关于a、b的等量关系，列出二元一次方程组；最后用加减消元法或代入消元法解方程组，即可求出a、b的值。
【解析】
根据收费规则和实际收费情况，可列如下方程组：
1. 寄往上海的快递重量为2千克，总收费9元，可得：$a + (2-1)b = 9$ ①
2. 寄往北京的快递重量为3千克，起步价比上海高3元，超出1千克部分每千克比上海高1元，总收费16元，可得：$(a + 3) + (3-1)(b + 1) = 16$ ②
化简②式：
$a + 3 + 2b + 2 = 16$
$a + 2b = 11$ ③
用③式减去①式消去a：
$(a + 2b) - (a + b) = 11 - 9$
解得$b = 2$
将$b = 2$代入①式：
$a + 2 = 9$
解得$a = 7$
【答案】
$a=7,b=2$
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题结合生活中的快递收费场景考查方程的实际应用，解题的核心是找准等量关系正确列方程组，再熟练运用消元法求解即可，和生活联系紧密，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题属于二元一次方程组的实际应用类题目，解题思路如下：首先明确快递收费规则：总费用=不超过1千克的起步价 + 超出1千克部分的重量×超出部分每千克的费用；接下来分别对应寄往上海和北京的寄件重量、收费标准，找到两个关于a、b的等量关系，列出二元一次方程组；最后用加减消元法或代入消元法解方程组，即可求出a、b的值。
【解析】
根据收费规则和实际收费情况，可列如下方程组：
1. 寄往上海的快递重量为2千克，总收费9元，可得：$a + (2-1)b = 9$ ①
2. 寄往北京的快递重量为3千克，起步价比上海高3元，超出1千克部分每千克比上海高1元，总收费16元，可得：$(a + 3) + (3-1)(b + 1) = 16$ ②
化简②式：
$a + 3 + 2b + 2 = 16$
$a + 2b = 11$ ③
用③式减去①式消去a：
$(a + 2b) - (a + b) = 11 - 9$
解得$b = 2$
将$b = 2$代入①式：
$a + 2 = 9$
解得$a = 7$
【答案】
$a=7,b=2$
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题结合生活中的快递收费场景考查方程的实际应用，解题的核心是找准等量关系正确列方程组，再熟练运用消元法求解即可，和生活联系紧密，难度适中。
【难度系数】
0.7
