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1.「2026河南安阳月考」在①$\frac{1}{2x^2} + 3x^2 = 1$，②$4x^2 - 4xy + y^2 = 0$，③$3x - 5x^2 = 0$，④$x^2 - 4$中，一元二次方程的个数是（
A.3
B.2
C.1
D.0
C
）A.3
B.2
C.1
D.0
答案
1.C $\frac{1}{2x^2}+3x^2=1$不是整式方程,故不是一元二次方程；$4x^2-4xy+y^2=0$含有两个未知数,故不是一元二次方程；$3x-5x^2=0$满足一元二次方程的定义,是一元二次方程；$x^2-4$不是方程.综上,一元二次方程的个数是1.故选C.
解析
【分析】
要判断一元二次方程的个数，首先要明确一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。解题时我们就按照这三个标准逐个判断给出的4个式子即可，不符合任意一个条件的都不是一元二次方程。
【解析】
我们逐一分析每个式子：
1. 式子①$\frac{1}{2x^2} + 3x^2 = 1$：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程；
2. 式子②$4x^2 - 4xy + y^2 = 0$：式子中含有$x$和$y$两个未知数，属于二元方程，因此不是一元二次方程；
3. 式子③$3x - 5x^2 = 0$：是整式方程，只含有未知数$x$，且$x$的最高次数为2，满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程；
4. 式子④$x^2 - 4$：它只是一个多项式，不是等式，因此不属于方程，更不是一元二次方程。
综上，只有1个一元二次方程，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的判定、方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确把握一元二次方程的判定要点，尤其要注意不要忽略“整式方程”“是等式”这两个前置条件，避免误判分式方程或多项式为一元二次方程。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程的个数，首先要明确一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。解题时我们就按照这三个标准逐个判断给出的4个式子即可，不符合任意一个条件的都不是一元二次方程。
【解析】
我们逐一分析每个式子：
1. 式子①$\frac{1}{2x^2} + 3x^2 = 1$：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程；
2. 式子②$4x^2 - 4xy + y^2 = 0$：式子中含有$x$和$y$两个未知数，属于二元方程，因此不是一元二次方程；
3. 式子③$3x - 5x^2 = 0$：是整式方程，只含有未知数$x$，且$x$的最高次数为2，满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程；
4. 式子④$x^2 - 4$：它只是一个多项式，不是等式，因此不属于方程，更不是一元二次方程。
综上，只有1个一元二次方程，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的判定、方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确把握一元二次方程的判定要点，尤其要注意不要忽略“整式方程”“是等式”这两个前置条件，避免误判分式方程或多项式为一元二次方程。
【难度系数】
0.7
2. 学科特色「2026河南新乡月考」若关于x的方程$(k-1)x^{k^2+1}-(k+1)x-2=0$是一元二次方程，则k的值为
-1
。答案
2.答案 -1
解析 由题意得$k^2+1=2$,且$k-1≠0$,
∴$k=-1$.故答案为-1.
易错警示 若方程是一元二次方程,则需同时满足三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为2.本题易忽略二次项的系数不为0而出错.
解析 由题意得$k^2+1=2$,且$k-1≠0$,
∴$k=-1$.故答案为-1.
易错警示 若方程是一元二次方程,则需同时满足三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为2.本题易忽略二次项的系数不为0而出错.
解析
【分析】
要确定参数k的值，首先回忆一元二次方程的核心判定规则：一是方程中未知数的最高次数必须是2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，二次项就会消失，方程就不再是二次方程）。我们先根据最高次数为2列方程求出k的可能取值，再用二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，就能得到正确结果。
【解析】
解：
∵关于x的方程$(k-1)x^{k^2+1}-(k+1)x-2=0$是一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2，即$k^2+1=2$
解得$k^2=1$，即$k=1$或$k=-1$
2. 二次项系数不为0，即$k-1≠0$
解得$k≠1$
结合两个条件可得，$k=-1$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的定义，含参方程系数限制
【点评】
本题是一元二次方程定义的常规考法，设置了容易被忽略的二次项系数不为0的陷阱，解题时要把所有判定条件考虑周全，避免遗漏条件得到错误答案。
【难度系数】
0.7
要确定参数k的值，首先回忆一元二次方程的核心判定规则：一是方程中未知数的最高次数必须是2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，二次项就会消失，方程就不再是二次方程）。我们先根据最高次数为2列方程求出k的可能取值，再用二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，就能得到正确结果。
【解析】
解：
∵关于x的方程$(k-1)x^{k^2+1}-(k+1)x-2=0$是一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2，即$k^2+1=2$
解得$k^2=1$，即$k=1$或$k=-1$
2. 二次项系数不为0，即$k-1≠0$
解得$k≠1$
结合两个条件可得，$k=-1$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的定义，含参方程系数限制
【点评】
本题是一元二次方程定义的常规考法，设置了容易被忽略的二次项系数不为0的陷阱，解题时要把所有判定条件考虑周全，避免遗漏条件得到错误答案。
【难度系数】
0.7
3. 学科
特色
教材变式
「2026河南平顶山月考」填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
$(3x+1)^2 -2x=0$
$3x^2 -2x =x^2 +1$
特色
教材变式
「2026河南平顶山月考」填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
$(3x+1)^2 -2x=0$
$9x^2+4x+1=0$
9
4
1
$3x^2 -2x =x^2 +1$
$2x^2-2x-1=0$
2
-2
-1
答案
3.解析 填表如下：
|方程|一般形式|二次项系数|一次项系数|常数项|
|----|----|----|----|----|
|$(3x+1)^2-2x=0$|$9x^2+4x+1=0$|9|4|1|
|$3x^2-2x=x^2+1$|$2x^2-2x-1=0$|2|-2|-1|
|方程|一般形式|二次项系数|一次项系数|常数项|
|----|----|----|----|----|
|$(3x+1)^2-2x=0$|$9x^2+4x+1=0$|9|4|1|
|$3x^2-2x=x^2+1$|$2x^2-2x-1=0$|2|-2|-1|
解析
【分析】
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题步骤为：先对给出的方程进行展开、移项操作，再合并同类项，将方程整理为等号右侧为0的标准整式形式，最后对应提取各项的系数和常数项即可，注意系数要包含本身的正负符号。
【解析】
1. 化简方程$(3x+1)^2 -2x = 0$：
① 展开完全平方项：$(3x+1)^2=9x^2+6x+1$，代入原方程得：$9x^2+6x+1-2x=0$
② 合并同类项得一般形式：$9x^2+4x+1=0$
对应可得：二次项系数为9，一次项系数为4，常数项为1。
2. 化简方程$3x^2 -2x =x^2 +1$：
① 移项（移项变号），将右侧项全部移到左侧：$3x^2 -2x -x^2 -1=0$
② 合并同类项得一般形式：$2x^2-2x-1=0$
对应可得：二次项系数为2，一次项系数为-2，常数项为-1。
【答案】
$9x^2+4x+1=0$；9；4；1
$2x^2-2x-1=0$；2；-2；-1
【知识点】
一元二次方程一般形式，完全平方公式，合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，主要考察一元二次方程标准形式的化简，解题时要注意完全平方展开的正确性，移项不要忘记变号，提取系数时要保留原有的正负符号。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题步骤为：先对给出的方程进行展开、移项操作，再合并同类项，将方程整理为等号右侧为0的标准整式形式，最后对应提取各项的系数和常数项即可，注意系数要包含本身的正负符号。
【解析】
1. 化简方程$(3x+1)^2 -2x = 0$：
① 展开完全平方项：$(3x+1)^2=9x^2+6x+1$，代入原方程得：$9x^2+6x+1-2x=0$
② 合并同类项得一般形式：$9x^2+4x+1=0$
对应可得：二次项系数为9，一次项系数为4，常数项为1。
2. 化简方程$3x^2 -2x =x^2 +1$：
① 移项（移项变号），将右侧项全部移到左侧：$3x^2 -2x -x^2 -1=0$
② 合并同类项得一般形式：$2x^2-2x-1=0$
对应可得：二次项系数为2，一次项系数为-2，常数项为-1。
【答案】
$9x^2+4x+1=0$；9；4；1
$2x^2-2x-1=0$；2；-2；-1
【知识点】
一元二次方程一般形式，完全平方公式，合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，主要考察一元二次方程标准形式的化简，解题时要注意完全平方展开的正确性，移项不要忘记变号，提取系数时要保留原有的正负符号。
【难度系数】
0.8
4. 情境 数学文化 发展史「2026四川南充月考」我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等。问方（面）圆径各若干？”意思是现在有正方形田和圆形田各一块，面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等。问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为x，则可列出方程为（
A.$x^2 + πx^2 = 252$
B.$(2x)^2 + πx^2 = 252$
C.$x^2 + 2πx^2 = 252$
D.$x^2 + π(\dfrac{x}{2})^2 = 252$
D
）A.$x^2 + πx^2 = 252$
B.$(2x)^2 + πx^2 = 252$
C.$x^2 + 2πx^2 = 252$
D.$x^2 + π(\dfrac{x}{2})^2 = 252$
答案
4.D
∵正方形田的边长为x,
∴圆形田的直径为x,由题意得$x^2+π(\dfrac{x}{2})^2=252$.故选D.
∵正方形田的边长为x,
∴圆形田的直径为x,由题意得$x^2+π(\dfrac{x}{2})^2=252$.故选D.
解析
【分析】
解题时首先明确题目中的等量关系：正方形面积+圆形面积=252，且正方形边长与圆形直径相等。我们设正方形边长为x后，先推导圆形的半径，再分别代入正方形、圆形的面积公式，最后根据面积和的等量关系列出方程即可。
【解析】
设正方形田的边长为x，由题意可知圆形田的直径等于正方形的边长，即圆形田的直径为x，因此圆形田的半径为$\frac{x}{2}$。
根据面积公式：
正方形的面积 = 边长×边长 = $x^2$；
圆形的面积 = $π×半径^2$ = $π(\frac{x}{2})^2$；
已知两块田的面积之和为252，因此可列方程：
$x^2 + π(\frac{x}{2})^2 = 252$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；正方形面积公式；圆的面积公式
【点评】
本题结合传统数学文化命题，解题的关键是找准正方形边长与圆形直径的等量关系，准确代入对应面积公式列式即可，需要注意不要混淆圆形的直径和半径。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目中的等量关系：正方形面积+圆形面积=252，且正方形边长与圆形直径相等。我们设正方形边长为x后，先推导圆形的半径，再分别代入正方形、圆形的面积公式，最后根据面积和的等量关系列出方程即可。
【解析】
设正方形田的边长为x，由题意可知圆形田的直径等于正方形的边长，即圆形田的直径为x，因此圆形田的半径为$\frac{x}{2}$。
根据面积公式：
正方形的面积 = 边长×边长 = $x^2$；
圆形的面积 = $π×半径^2$ = $π(\frac{x}{2})^2$；
已知两块田的面积之和为252，因此可列方程：
$x^2 + π(\frac{x}{2})^2 = 252$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；正方形面积公式；圆的面积公式
【点评】
本题结合传统数学文化命题，解题的关键是找准正方形边长与圆形直径的等量关系，准确代入对应面积公式列式即可，需要注意不要混淆圆形的直径和半径。
【难度系数】
0.8
5. 情境 数学文化 发展史 「2026辽宁葫芦岛月考，★☆」在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸.问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门(AD和BC)，门边缘D，C两点到门槛的距离是1尺(即C，D到线段AB的距离为1尺)，两扇门的间隙CD为2寸，问门宽AB是多少尺(1尺=10寸)？设一扇门的宽度AO是x尺，则所列方程可以为 (
A.$x^2=1+(x+0.1)^2$
B.$x^2=1+(x-0.1)^2$
C.$x^2=1+(x+0.2)^2$
D.$x^2=1+(x-0.2)^2$
B
)A.$x^2=1+(x+0.1)^2$
B.$x^2=1+(x-0.1)^2$
C.$x^2=1+(x+0.2)^2$
D.$x^2=1+(x-0.2)^2$
答案
5.B 如图,过点D作$DE⊥AB$于点E,过点C作$CF⊥AB$于点F,
易得四边形DEFC是矩形,
∴$EF=CD=2$寸,$DE=CF=1$尺,
在$Rt△ADE$与$Rt△BCF$中,$\begin{cases} AD=BC, \\ DE=CF, \end{cases}$
∴$Rt△ADE≌Rt△BCF(HL),∴AE=BF$,
又
∵$AO=BO$,
∴$OE=OF=1$寸=$0.1$尺,
∵$AO=x$尺,
∴$AD=x$尺,$AE=(x-0.1)$尺,
在$Rt△ADE$中,由勾股定理得$AD^2=AE^2+DE^2$,即$x^2=1+(x-0.1)^2$.故选B.
解析
【分析】
这是一道结合古代数学情境的实际应用题，解题思路如下：首先统一单位，将2寸换算为0.2尺；其次通过作辅助线构造直角三角形与矩形，结合门的对称性、矩形性质和全等三角形的性质，推导直角三角形各边的表达式：一扇门的宽度$AO=AD=x$尺，点D到AB的距离DE为1尺，AE的长度为AO减去CD长度的一半，即$AE=x-0.1$尺；最后在$Rt△ADE$中利用勾股定理建立等量关系，即可列出对应方程。
【解析】
过点D作$DE⊥AB$于点E，过点C作$CF⊥AB$于点F，
易得四边形DEFC是矩形，因此$EF=CD=2$寸，$DE=CF=1$尺。
在$Rt△ADE$和$Rt△BCF$中，$\begin{cases} AD=BC \\ DE=CF \end{cases}$，故$Rt△ADE≌Rt△BCF(HL)$，可得$AE=BF$。
又因为$AO=BO$，所以$OE=OF=1$寸=$0.1$尺。
已知$AO=x$尺，因此$AD=x$尺，$AE=AO-OE=(x-0.1)$尺。
在$Rt△ADE$中，根据勾股定理$AD^2=AE^2+DE^2$，代入边长可得$x^2=1+(x-0.1)^2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用；列一元二次方程；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合传统数学文化创设情境，需要学生将实际问题转化为几何模型求解，解题时要注意单位统一，同时利用图形的对称性和勾股定理找准等量关系，能有效考查学生的建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道结合古代数学情境的实际应用题，解题思路如下：首先统一单位，将2寸换算为0.2尺；其次通过作辅助线构造直角三角形与矩形，结合门的对称性、矩形性质和全等三角形的性质，推导直角三角形各边的表达式：一扇门的宽度$AO=AD=x$尺，点D到AB的距离DE为1尺，AE的长度为AO减去CD长度的一半，即$AE=x-0.1$尺；最后在$Rt△ADE$中利用勾股定理建立等量关系，即可列出对应方程。
【解析】
过点D作$DE⊥AB$于点E，过点C作$CF⊥AB$于点F，
易得四边形DEFC是矩形，因此$EF=CD=2$寸，$DE=CF=1$尺。
在$Rt△ADE$和$Rt△BCF$中，$\begin{cases} AD=BC \\ DE=CF \end{cases}$，故$Rt△ADE≌Rt△BCF(HL)$，可得$AE=BF$。
又因为$AO=BO$，所以$OE=OF=1$寸=$0.1$尺。
已知$AO=x$尺，因此$AD=x$尺，$AE=AO-OE=(x-0.1)$尺。
在$Rt△ADE$中，根据勾股定理$AD^2=AE^2+DE^2$，代入边长可得$x^2=1+(x-0.1)^2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用；列一元二次方程；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合传统数学文化创设情境，需要学生将实际问题转化为几何模型求解，解题时要注意单位统一，同时利用图形的对称性和勾股定理找准等量关系，能有效考查学生的建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
6.「★☆」小明说：“关于$x$的方程$(m^2 + m - 2)x^{m+1} + 3x = 6$不可能是一元二次方程.”你认为小明的话有道理吗？为什么？
答案
6.解析 有道理.理由:若关于x的方程$(m^2+m-2)x^{m+1}+3x=6$是一元二次方程,则$m+1=2$,解得$m=1$,此时$m^2+m-2=0$,故关于x的方程$(m^2+m-2)x^{m+1}+3x=6$不可能是一元二次方程.
解析
【分析】
要判断小明的说法是否正确，我们可以采用反证法的思路：先假设该方程是一元二次方程，结合一元二次方程的判定条件推导m的取值。一元二次方程需要同时满足两个核心条件：一是未知数x的最高次数为2，二是二次项系数不能为0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能值，再代入二次项系数验证是否符合要求，若不存在同时满足两个条件的m，就说明小明的说法正确。
【解析】
小明的话有道理，理由如下：
假设关于$x$的方程$(m^2 + m - 2)x^{m+1} + 3x = 6$是一元二次方程，根据一元二次方程“未知数最高次数为2”的要求，可得：
$m+1=2$，解得$m=1$。
将$m=1$代入二次项系数$m^2 + m - 2$中计算，得$1^2 + 1 - 2 = 0$，此时二次项系数为0，方程不含二次项，不符合一元二次方程的定义。
因此不存在使该方程为一元二次方程的m值，小明的说法有道理。
【答案】
有道理.理由:若关于x的方程$(m^2+m-2)x^{m+1}+3x=6$是一元二次方程,则$m+1=2$,解得$m=1$,此时$m^2+m-2=0$,故关于x的方程$(m^2+m-2)x^{m+1}+3x=6$不可能是一元二次方程.
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.一元二次方程的判定
【点评】
本题重点考查对一元二次方程判定条件的理解，易错点是解题时容易忽略“二次项系数不为0”这个隐含前提，仅根据未知数最高次数为2就下结论，因此做这类题时一定要同时验证两个判定条件。
【难度系数】
0.7
要判断小明的说法是否正确，我们可以采用反证法的思路：先假设该方程是一元二次方程，结合一元二次方程的判定条件推导m的取值。一元二次方程需要同时满足两个核心条件：一是未知数x的最高次数为2，二是二次项系数不能为0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能值，再代入二次项系数验证是否符合要求，若不存在同时满足两个条件的m，就说明小明的说法正确。
【解析】
小明的话有道理，理由如下：
假设关于$x$的方程$(m^2 + m - 2)x^{m+1} + 3x = 6$是一元二次方程，根据一元二次方程“未知数最高次数为2”的要求，可得：
$m+1=2$，解得$m=1$。
将$m=1$代入二次项系数$m^2 + m - 2$中计算，得$1^2 + 1 - 2 = 0$，此时二次项系数为0，方程不含二次项，不符合一元二次方程的定义。
因此不存在使该方程为一元二次方程的m值，小明的说法有道理。
【答案】
有道理.理由:若关于x的方程$(m^2+m-2)x^{m+1}+3x=6$是一元二次方程,则$m+1=2$,解得$m=1$,此时$m^2+m-2=0$,故关于x的方程$(m^2+m-2)x^{m+1}+3x=6$不可能是一元二次方程.
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.一元二次方程的判定
【点评】
本题重点考查对一元二次方程判定条件的理解，易错点是解题时容易忽略“二次项系数不为0”这个隐含前提，仅根据未知数最高次数为2就下结论，因此做这类题时一定要同时验证两个判定条件。
【难度系数】
0.7
