1[2025福建中考]中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题,是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形,其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是 ()

1.D 【解析】
选项 分析 选项正误
A 是轴对称图形,也是中心对称图形 ×
B 是轴对称图形,也是中心对称图形 ×
C 是轴对称图形,不是中心对称图形 ×
D 不是轴对称图形,也不是中心对称图形 √

2[2025山东中考]在中国古代文化中,玉璧寓意宇宙的广阔与秩序,也经常被视为君子修身齐家的象征.下图是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是 ()

A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$

(第2题图)
(第3题图)

2.D 【解析】如图,设正方形的中心为O,边AB与内切圆的切点为C,连接OA,OC,则∠OCA = 90°,∠OAC = ∠AOC = 45°,OC = 2,
∴ OA = 2√2,
∴ S阴影 = π·OA² - π·OC² = 8π - 4π = 4π. 故选 D.

3[2025河南中考]我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形，$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与$\odot O$相切于点E，连接BE，$∠ ABE=15°$，连接OE交AB于点F.若AB=4，则图中阴影部分的面积为.

3.$\frac{4π}{3}-2\sqrt{3}$ 【解析】
∵ CD 与 ⊙O 相切于点 E,
∴ OE ⊥ CD,
∴ ∠OEC = ∠OED = 90°.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AB//CD.
∵ ∠ABE = 15°,
∴ ∠BEC = 15°,
∴ ∠OEB = ∠OEC - ∠BEC = 75°.
∵ OB = OE,
∴ ∠OBE = ∠OEB,
∴ ∠ABO = ∠OBE - ∠ABE = 75° - 15° = 60°. 又
∵ OA = OB,
∴ △OAB 是等边三角形,
∴ AB = OA = OB = 4,∠AOB = 60°.
∵ ∠OED = 90°,AB//DC,
∴ ∠AFO = 90°.在 Rt△AOF 中,易知 ∠AOF = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°,
∴ AF = $\frac{1}{2}$OA = 2,
∴ OF = 2√3,
∴ S阴影 = S扇形AOE - S△AOF = $\frac{30×π×4^2}{360} - \frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2 = \frac{4π}{3}-2\sqrt{3}$,故答案为$\frac{4π}{3}-2\sqrt{3}$.

4[2025广西中考]绣球是广西民族文化的特色载体.如图,设计某种绣球叶瓣时,可以先在图纸上建立平面直角坐标系,再分别以原点O, O'(5,5)为圆心、以5为半径作圆,两圆相交于A,B两点,其公共部分构成叶瓣①(阴影部分),同理得到叶瓣②.
(1)写出A,B两点的坐标;
(2)求叶瓣①的周长;(结果保留π)
(3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到.

4.【解】(1)
∵ 以原点 O,O'(5,5)为圆心、以 5 为半径作圆,两圆相交于 A,B 两点,
∴ OA = OB = O'A = O'B = 5,∠OBO' = 90°,
∴ 四边形 OAO'B 是正方形,
∴ ∠AOB = ∠BO'A = ∠O'AO = 90°,
∴ A(0,5),B(5,0).
(2)由(1)知,∠AOB = ∠AO'B = 90°,OA = O'A = 5,
∴ 叶瓣①的周长为$\frac{90π×5}{180}×2 = 5π$.
(3)叶瓣②可以由叶瓣①绕点 B 逆时针旋转 90°得到.(答案不唯一)