8[2026江苏南京期末]如图,在四边形ABCD中,AD//BC,经过A,B,C三点的⊙O与AD相切于点A,与CD交于点E,连接BE.若∠ABC=58°,则∠BEC的度数为°.

(第8题图)
(第9题图)

8. 64 【解析】如图,连接AO并延长,交$\odot O$于H,连接AC. $\because AD$是$\odot O$的切线,$\therefore AH⊥ AD$. $\because AD// BC$,$\therefore AH⊥ BC$,$\therefore \overset{\frown}{BH} = \overset{\frown}{CH}$,$∠ BAH=90°-∠ ABC=90°-58°=32°$,$\therefore ∠ CAH=∠ BAH=32°$,$\therefore ∠ BEC=∠ BAC=32°+32°=64°$,故答案为64.

9[2025 江苏南京质检]如图，$\odot O$与正八边形ABCDEFGH相切于点A,E，则劣弧$\overset{\frown}{AE}$的度数为。

9. $135°$ 【解析】如图,连接OA,OE. $\because \odot O$与正八边形ABCDEFGH相切于点A,E,$\therefore ∠ OAH = ∠ OEF = 90°$. $\because$ 六边形AHGFEO的内角和为$(6-2)×180°=720°$,$∠ H = ∠ G = ∠ F = \frac{(8-2)×180°}{8} = 135°$,$\therefore ∠ AOE=720°-90°×2 -135°×3 = 135°$,$\therefore \overset{\frown}{AE}$ 的度数为$135°$,故答案为$135°$.

10 如图,在平面直角坐标系中,点 P 的坐标是$(8,10)$,$\odot P$与 x 轴相切,点 A,B 在$\odot P$上,它们的横坐标分别是 0,18. 若$\odot P$沿着 x 轴向右无滑动地滚动,当点 B 第一次落在 x 轴上时,点 A 的坐标是.

(第10题图) (第11题图)

10. $(14+5π,18)$ 【解析】如图(1),连接AP,PB,过点P作$PC⊥ y$轴于点C,$PD⊥ x$轴于点D. $\because P(8,10)$,$\therefore PD=OC=10$,$PC=OD=8$. $\because \odot P$与x轴相切,$\therefore PA=PB=PD=10$,$\therefore AC=\sqrt{10^2-8^2}=6$,$\therefore OA=OC+AC=16$,$\therefore A(0,16)$. $\because$ 点B的横坐标为18,$PC+PB=18$,$\therefore$ 点P,B在平行于x轴的同一条直线上,即$B(18,10)$,$\therefore ∠ BPD=90°$,$\therefore \overset{\frown}{BD}$ 的长为$\frac{90π×10}{180} =5π$. 当点B第一次落在x轴上时,点P移动的距离为$\overset{\frown}{BD}$的长,$\therefore$ 此时点P的坐标为$(8+5π,10)$,当$\odot P$沿着x轴向右无滑动地滚动时,$\overset{\frown}{AB}$的长度保持不变,$\therefore$ 点A转动到如图(2)所示的位置. $\because AC=6$,$PC=8$,$\therefore BC=PB+PC=18$,$\therefore A(8+5π+6,18)$,即$A(14+5π,18)$. 故答案为$(14+5π,18)$.

11 如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,CD上的动点,且AE=DF,连接BE,AF,线段BE和AF相交于点G,连接CG,取CG的中点H,连接DH,则线段DH的最小值为.

11. $\frac{\sqrt{13}-1}{2}$ 【解析】如图,以AD所在的直线为对称轴,作正方形ABCD的对称图形正方形ANMD,连接GM,$\therefore MD=CD=MN=AD=2$,$∠ N=90°$. $\because H$为GC的中点,$\therefore HD$为$△ GMC$的中位线,$\therefore DH=\frac{1}{2} GM$,$\therefore$ 当GM最短时,DH最短. $\because$ 四边形ABCD是正方形,$\therefore BA=AD$,$∠ BAE=∠ ADF=90°$. $\because AE=DF$,$\therefore △ ABE≌△ DAF$,$\therefore ∠ ABE=∠ DAF$. $\because ∠ BAD=∠ BAG+∠ DAF=90°$,$\therefore ∠ ABE+∠ BAG=90°$,$\therefore ∠ AGB=90°$,$\therefore$ 点G在以AB为直径的圆O上. 连接OG,OM. $\because GM≥ OM-OG$,$\therefore$ 当点G在OM上时,GM最短. $\because OM=\sqrt{ON^2+MN^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$, $\therefore GM= OM - OG = \sqrt{13} - 1$ , $\therefore DH=\frac{1}{2} GM=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$,故答案为$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$.
思路分析
以 AD 所在的直线为对称轴,作正方形 ABCD 的对称图形正方形 ANMD,连接 GM, 可得 $DH = \frac{1}{2} GM$,证明 $△ ABE≌△ DAF$ 可推得 $∠ AGB = 90°$,即点 G 在以 AB 为直径的圆上,从而可得点 G 在 OM 上时,GM 最短. 利用勾股定理求得 OM 的长,进而求出 GM 的长,即可解决问题.

三、解答题(本大题共3小题,共49分)
12[2026福建福州期中](1)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,求作$\odot O$,使它经过点$B$,且与射线$AC$、射线$AB$相切.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图中,若$AC=3$,$BC=4$,求$\odot O$的半径.

12. 【解】(1)如图所示,$\odot O$即为所求作的圆.
(2)设$\odot O$的半径为r,如图,作$OF⊥ BC$于点F,则$∠ OFB=∠ OFC=90°$. $\because ∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. 设$\odot O$与射线AC相切于点E,连接OE. 由题意可知$\odot O$与射线AB相切于点B,则射线$AC⊥ OE$于点E,$AB⊥ OB$于点B,$OE=OB$,$AE=AB=5$,$\therefore ∠ AEO=90°$. 由$∠ ACB=90°$得$∠ ECF=90°$. $\because ∠ OFC=∠ FCE=∠ CEO=90°$,$\therefore$ 四边形OECF是矩形,$\therefore CF=OE=OB=r$,$OF=CE=AE-AC=5-3=2$. $\because BF^2+OF^2=OB^2$,且 $BF=4-r$,$\therefore (4-r)^2+2^2=r^2$,解得 $r=\frac{5}{2}$,$\therefore \odot O$的半径为$\frac{5}{2}$.

13[2026江苏苏州质检]如图,在△ABC中,已知AB=BC=CA=4 cm,AD⊥BC于D,点P,Q分别从B,C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1 cm/s;点Q沿CA→AB向终点B运动,速度为2 cm/s,设它们运动的时间为x s.
(1)求x为何值时,PQ⊥AC;
(2)设△PQD的面积为y cm²,当0＜x＜2时,求y与x的函数关系式;
(3)当0＜x＜2时,求证:AD将△PQD分成面积相等的两部分;
(4)探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系,请写出相应位置关系的x的取值范围.

13. (1)【解】当Q在AB上时,显然PQ不垂直于AC. 当Q在AC上时,由题意得$BP=x$ cm,$CQ=2x$ cm,$\therefore PC=(4-x)$ cm. $\because AB=BC=CA=4$ cm,$\therefore △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ C=60°$. 若$PQ⊥ AC$,则有$∠ QPC=30°$,$\therefore PC=2CQ$,$\therefore 4-x=2×2x$,$\therefore x=\frac{4}{5}$.
(2)【解】如图,当$0＜x＜2$时,P在BD上,Q在AC上,过点Q作$QN⊥ BC$于N. 由(1)知$∠ C=60°$,$QC=2x$ cm,$\therefore ∠ NQC=30°$,$\therefore CN=x$ cm,$\therefore$ 易得$QN=\sqrt{3}x$ cm. $\because AB=AC$,$AD⊥ BC$,$\therefore BD=CD=\frac{1}{2} BC=2$ cm,$\therefore DP=(2-x)$ cm,$\therefore y=\frac{1}{2} PD · QN=\frac{1}{2} (2-x) · \sqrt{3} x = -\frac{\sqrt{3}}{2} x^2 +\sqrt{3} x$.
(3)【证明】如上图,当$0＜x＜2$时,$NC=x$ cm,$\therefore BP=NC$. $\because BD=CD$,$\therefore DP=DN$. $\because AD⊥ BC$,$QN⊥ BC$,$\therefore AD// QN$,$\therefore OD$是$△ PQN$的中位线,$\therefore O$是PQ的中点,$\therefore OP=OQ$,$\therefore S_{△ PDO} = S_{△ DQO}$,$\therefore AD$将$△ PQD$分成面积相等的两部分.
(4)【解】显然,不存在x的值,使得以PQ为直径的圆与AC相离. 由(1)可知,当$x=\frac{4}{5}$时,以PQ为直径的圆与AC相切;当点Q在AB上,且以PQ为直径的圆与AC相切时,易知与AB也相切,则易得$BQ=\frac{1}{2} BP$,$\therefore 8-2x = \frac{x}{2}$,解得 $x=\frac{16}{5}$,故当$x=\frac{4}{5}$或$\frac{16}{5}$时,以PQ为直径的圆与AC相切;当$0≤ x＜\frac{4}{5}$ 或$\frac{4}{5}＜x＜\frac{16}{5}$ 或$\frac{16}{5}＜x≤4$时,以PQ为直径的圆与AC相交.

14[2026云南文山质检]如图,A,B,C,D在$\odot O$上,$∠ ACB=∠ ABD=45°$,点E在BD的延长线上,连接AD,CD,CE,且$∠ DCE=∠ CBD$.
(1)求$∠ BAD$的度数.
(2)求证:CE是$\odot O$的切线.
(3)是否存在常数$k$,使等式$BC+CD=kAC$成立?若存在,求出这个$k$值;若不存在,请说明理由.

14. (1)【解】$\because A,B,C,D$在$\odot O$上,$\therefore ∠ ADB=∠ ACB$. $\because ∠ ACB=∠ ABD=45°$,$\therefore ∠ ADB=45°$,$\therefore ∠ ABD + ∠ ADB = 45° + 45° = 90°$,$\therefore ∠ BAD=180°-90°=90°$,$\therefore ∠ BAD$的度数为$90°$.
(2)【证明】如图(1),连接OC. $\because A,B,C,D$在$\odot O$上,$∠ BAD=90°$,$\therefore BD$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ BCD=90°$,$OB=OC$,$\therefore ∠ OBC=∠ OCB$. $\because ∠ DCE=∠ CBD$,$\therefore ∠ DCE=∠ OCB$,$\therefore ∠ DCE+∠ OCD=∠ OCB+∠ OCD=∠ BCD=90°$,$\therefore ∠ OCE=90°$,$\therefore CE⊥ OC$. 又$\because$ 点C在$\odot O$上,$\therefore CE$是$\odot O$的切线.
(3)【解】存在. 如图(2),延长CD至M,使$DM=BC$,连接AM. $\because ∠ ADB=∠ ABD=45°$,$\therefore AB=AD$. $\because A,B,C,D$在$\odot O$上,$\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°$. $\because ∠ ADC+∠ ADM=180°$,$\therefore ∠ ABC=∠ ADM$. 在$△ ABC$和$△ ADM$中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ ABC=∠ ADM, \\ BC=DM, \end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ ADM(\mathrm{SAS})$,$\therefore AC=AM$,$∠ BAC=∠ DAM$,$\therefore ∠ DAM+∠ CAD=∠ BAC+∠ CAD=∠ BAD=90°$, $\therefore ∠ CAM=90°$, $\therefore CD + DM = \sqrt{AC^2+AM^2}=\sqrt{2} AC$,$\therefore BC+CD=\sqrt{2} AC$,$\therefore$ 存在常数$k=\sqrt{2}$,使等式$BC+CD=\sqrt{2} AC$成立.