1[中]如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, $AB = \sqrt{5}$, $BC=2$, 以点 $A$ 为圆心, $AC$ 的长为半径画弧,交 $AB$ 于点 $D$,以点 $B$ 为圆心, $AC$ 的长为半径画弧,交 $AB$ 于点 $E$,交 $BC$ 于点 $F$,则图中阴影部分的面积为 ()


A.$8 - π$
B.$4 - π$
C.$2 - \dfrac{π}{4}$
D.$1 - \dfrac{π}{4}$

1. D 【解析】根据题意知 $AC = \sqrt{AB^2-BC^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2} = 1$, 则 $BE = BF = AD = AC = 1$. 设 $∠ B = n°, ∠ A = m°. \because ∠ ACB = 90°, \therefore ∠ B + ∠ A = 90°$, 即 $n + m = 90, \therefore S_{\mathrm{阴影部分}} = S_{△ ABC} - (S_{\mathrm{扇形}EBF} + S_{\mathrm{扇形}DAC}) = \dfrac{1}{2} × 2 × 1 - (\dfrac{nπ × 1^2}{360} + \dfrac{mπ × 1^2}{360}) = 1 - \dfrac{(n+m)π}{360} = 1 - \dfrac{π}{4}$, 故选 D.

2[2025山西晋中期中,中]如图是5×4的小正方形网格,小正方形的边长为2,点A和点B是格点,连接AB,小明在网格中画出以AB为直径的半圆,圆心为点O,点C是格点且在半圆O上,连接BC,则图中阴影部分的面积是 ()


A.$5π +10$
B.$4π -9$
C.$\dfrac{5π -5}{4}$
D.$\dfrac{5π +10}{4}$

2. A 【解析】如图所示,连接 $CO. \because$ 小正方形的边长为 $2, \therefore OC = OB = \sqrt{4^2+2^2} = 2\sqrt{5}, BC = \sqrt{2^2+6^2} = 2\sqrt{10}, \therefore OC^2 + OB^2 = BC^2, \therefore ∠ COB = 90° = ∠ AOC, \therefore$ 图中阴影部分的面积是 $S_{△ COB} + S_{\mathrm{扇形}AOC} = \dfrac{1}{2} × (2\sqrt{5})^2 + \dfrac{90π × (2\sqrt{5})^2}{360} = 5π + 10$. 故选 A.

3[中]如图,在边长为6的正方形ABCD中,以BC为直径画半圆,连接AC,则阴影部分的面积是 ()

A.9
B.6
C.3
D.12

(第3题图)
(第4题图)

3. A 【解析】如图,设 $AC$ 与半圆交于点 $E$,半圆的圆心为 $O$,连接 $BE,OE$,则 $BO = CO. \because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $\therefore ∠ OCE = 45°$. $\because OE = OC, \therefore ∠ OEC = ∠ OCE = 45°, \therefore ∠ EOC = 90°, \therefore OE$ 垂直平分 $BC, \therefore BE = CE, \therefore$ 弓形 $BE$ 的面积=弓形 $CE$ 的面积, $\therefore S_{\mathrm{阴影部分}} = S_{△ ABE} = S_{△ ABC} - S_{△ BCE} = \dfrac{1}{2} × 6 × 6 - \dfrac{1}{2} × 6 × 3 = 9$, 故选 A.

4 如图，Rt △ABC 内接于$\overset{\frown}{ABC}$，∠BAC = 90°，∠ABC=30°，AC=2，点D在$\overset{\frown}{BC}$上，且CD=CA，点P是线段BC上的动点，当PA+PD的值最小时，阴影部分的面积为.(结果保留π)

4. $\dfrac{2}{3}π$ 【解析】$\because \mathrm{Rt}△ ABC$ 内接于 $\overset{\frown}{ABC}, ∠ BAC = 90°, \therefore BC$ 是直径. 设 $BC$ 的中点为 $O$. 如图, 连接 $OD$.
$\because ∠ BAC = 90°, ∠ ABC = 30°, AC = 2, \therefore BC = 2AC = 4, \therefore CO = BO = 2 = CA. \because CD = CA, \therefore CD = CO = DO, \therefore △ COD$ 是等边三角形, $\therefore ∠ COD = ∠ CDO = 60°. P$ 是线段 $BC$ 上的动点, 当点 $A,P,D$ 共线时, $PA + PD$ 的值最小, 此时 $∠ CAD = ∠ CDA = 30°, \therefore ∠ ADO = 30° = ∠ CAD$. 在 $△ APC$ 和 $△ DPO$ 中,
$\begin{cases}∠ CAP = ∠ PDO, \\∠ APC = ∠ DPO, \\AC = OD,\end{cases}$
$\therefore △ APC ≌ △ DPO \ (\mathrm{AAS}), \therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}COD} = \dfrac{60π × 2^2}{360} = \dfrac{2}{3}π$, 故答案为 $\dfrac{2}{3}π$.

5 如图,正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的面积为 ()

A.$\frac{1}{4}π a^2 - \frac{1}{4}a^2$
B.$\frac{1}{2}π a^2 - a^2$
C.$\frac{1}{4}π a^2 - \frac{1}{2}a^2$
D.$\frac{1}{3}π a^2 - \frac{1}{2}a^2$

(第5题图)
(第6题图)

5. B 【解析】由题意可得 $S_{\mathrm{阴影}} = 2S_{\mathrm{扇形}ABC} - S_{\mathrm{正方形}ABCD} = 2 × \dfrac{90π · a^2}{360} - a^2 = \dfrac{1}{2}π a^2 - a^2$, 故选 B.

6 如图,正方形ABCD的边AB=1,$\overset{\frown}{BD}$和$\overset{\frown}{AC}$都是以1为半径的圆弧,两部分阴影的面积分别记为$S_1$和$S_2$,则$S_1 - S_2$等于 ()

A.$\frac{π}{2} -1$
B.$1 - \frac{π}{4}$
C.$\frac{π}{3} -1$
D.$1 - \frac{π}{6}$

6. A 【解析】如图. $S_{\mathrm{正方形}} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$, ① 两个扇形的面积和为 $2S_{\mathrm{扇形}} = 2S_1 + S_3 + S_4$, ② ② - ①, 得 $S_1 - S_2 = 2S_{\mathrm{扇形}} - S_{\mathrm{正方形}} = \dfrac{90π × 1^2 × 2}{360} - 1 = \dfrac{π}{2} - 1$. 故选 A.