2026年状元成才路创优作业八年级数学上册沪科版安徽专版第81页答案

1. 如图，$DE ⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$，$DF ⊥ AC$ 于点 $F$，$BD = CD$，$∠ DBE = ∠ C$. 求证：$AE = AF$.

答案

证明:如图,连接 AD.

解析

【分析】
要证明$AE=AF$，可先观察两条线段所属的三角形：$AE$在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$AF$在$\mathrm{Rt}△ADF$中，若能证明这两个直角三角形全等，即可得到对应边$AE=AF$。要证$\mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ADF$，已有公共斜边$AD$，还需证明直角边$DE=DF$。结合已知条件：$DE⊥AB$、$DF⊥AC$可得$∠ E=∠ DFC=90°$，又有$BD=CD$、$∠ DBE=∠ C$，可通过AAS判定证明$△BED≌△CFD$，从而得到$DE=DF$，因此解题时先连接辅助线$AD$即可逐步推导。
【解析】
证明：如图，连接$AD$.

$\because DE⊥AB,DF⊥AC$,
$\therefore ∠E=∠DFC=∠AFD=90°$.
在$△BED$和$△CFD$中,
$\because \begin{cases}∠E=∠DFC,\\∠DBE=∠C,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △BED≌△CFD\ (\mathrm{AAS})$.
$\therefore DE=DF$.
在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△ADF$中,
$\because \begin{cases}AD=AD,\\DE=DF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ADF\ (\mathrm{HL})$.
$\therefore AE=AF$.
【答案】
证明:如图,连接 AD.

$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
$\therefore ∠ E=∠ DFC=∠ AFD=90°$.
在$△ BED$ 和$△ CFD$ 中,
$\because \begin{cases}∠ E=∠ DFC,\\∠ DBE=∠ C,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BED≌△ CFD.(AAS)$
$\therefore DE=DF$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$ 和$\mathrm{Rt}△ ADF$ 中,$\because \begin{cases}AD=AD,\\DE=DF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF.(HL)$
$\therefore AE=AF$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，HL定理
【点评】
本题是全等三角形证明的常规题型，通过构造公共边作为辅助线，结合两次全等证明即可得到待证线段相等。解题时可采用逆推法，从结论出发反推需要满足的条件，再结合已知条件正向推导，能快速理清解题思路。
【难度系数】
0.7

2. [2026·安庆期末]如图，AD为$△ ABC$的中线.
(1)求证:$AB+AC＞2AD$；
(2)若$AB=5$，$AC=3$，求$AD$的取值范围.

答案

(1)证明:如图,延长 AD 到点 E,使 $DE=AD$,连接 BE.

解析

【分析】
(1)要证明$AB+AC＞2AD$，观察结论中存在$2AD$，可采用倍长中线法：延长$AD$至$E$，使$DE=AD$，即可得到$AE=2AD$，再通过证明三角形全等将$AC$转化为$BE$，此时$AB$、$BE$、$AE$为$△ ABE$的三边，利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”即可证明结论。
(2)在(1)的结论基础上，结合三角形三边关系“两边之差小于第三边”，可得$AB-AC＜2AD＜AB+AC$，代入已知$AB$、$AC$的数值，解不等式即可得到$AD$的取值范围。
【解析】
(1)证明：如图，延长$AD$到点$E$，使$DE=AD$，连接$BE$。

$\because AD$为$△ ABC$的中线，
$\therefore BD=CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中，
$\because \begin{cases}CD=BD,\\∠ADC=∠EDB,\\AD=ED,\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ EDB$（SAS），
$\therefore AC=EB$。
在$△ ABE$中，根据三角形三边关系得$AB+EB＞AE$，
将$EB=AC$、$AE=2AD$代入，即得$AB+AC＞2AD$。
(2)解：在$△ ABE$中，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，得$AB-EB＜AE＜AB+EB$，
由(1)知$EB=AC$，$AE=2AD$，代入得$AB-AC＜2AD＜AB+AC$，
将$AB=5$，$AC=3$代入得：$5-3＜2AD＜5+3$，
即$2＜2AD＜8$，
不等式各项同时除以2，得$1＜AD＜4$。
【答案】
(1)证明:如图,延长 AD 到点 E,使 $DE=AD$,连接 BE.

$\because AD$ 为$△ ABC$ 的中线,
$\therefore BD=CD$.
在$△ ADC$ 和$△ EDB$ 中,
$\because \begin{cases}CD=BD,\\∠ ADC=∠ EDB,\\AD=ED,\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ EDB,(SAS)\therefore AC=EB$.
在$△ ABE$ 中,$AB+EB＞AE$,即 $AB+AC＞2AD$.
(2)解:由(1)知 $AB-AC＜2AD＜AB+AC$,
$\therefore 5-3＜2AD＜5+3,\therefore 1＜AD＜4$.
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，核心是通过倍长中线的方法将分散的线段集中到同一个三角形中，再结合三角形三边关系求解，倍长中线是处理含中线类几何问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6

3.如图，已知$CD=AB$，$∠ BAD=∠ ADB$，$AE$是$△ ABD$的中线.求证：$AC=2AE$.

答案

证明:如图,延长 AE 至点 F,使 $EF=AE$,连接 BF.

解析

【分析】
要证明AC=2AE，属于线段倍分证明问题，可通过倍长中线的辅助线构造方法转化问题。首先AE是△ABD的中线，我们可以延长AE到F，使EF=AE，此时AF=2AE，只需证明AF=AC即可。首先通过SAS证明△ADE和△FBE全等，得到对应边、对应角相等，再结合已知∠BAD=∠ADB、CD=AB的条件，推导∠ABF=∠CDA，进而通过SAS证明△ABF和△CDA全等，得到AF=AC，即可推出最终结论。
【解析】
证明:如图,延长 AE 至点 F,使 $EF=AE$,连接 BF.

$\because AE$ 是$△ ABD$ 的中线,$\therefore BE=DE$.
在$△ ADE$ 和$△ FBE$ 中,
$\because \begin{cases}AE=FE,\\∠ AED=∠ FEB,\\DE=BE,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ FBE.(SAS)$
$\therefore DA=BF,∠ ADE=∠ FBE$.
$\because ∠ BAD=∠ ADB$,
$\therefore ∠ ABF=∠ ABD+∠ FBE=∠ ABD+∠ ADB=∠ ABD+∠ BAD=∠ CDA$.
在$△ ABF$ 和$△ CDA$ 中,$\because \begin{cases}AB=CD,\\∠ ABF=∠ CDA,\\BF=DA,\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CDA.(SAS)$
$\therefore AF=CA$.
$\because AF=AE+EF=2AE,\therefore AC=2AE$.
【知识点】
倍长中线构造全等，全等三角形的判定与性质，三角形中线定义
【点评】
本题是利用构造全等三角形证明线段倍分关系的典型题，核心思路是通过倍长中线的辅助线，将待证的两倍线段关系转化为两条线段相等的问题，再通过两次全等的推导得出结论。熟练掌握倍长中线这类辅助线的适用场景，能快速找到这类几何题的解题突破口。
【难度系数】
0.6

4.如图,在$△ ABC$中,D是边AC的中点,点M,N在三角形外,$AB = BM$,$BC = BN$,且$∠ ABM=∠ NBC=90°$,连接MN.试判断线段BD与MN的数量关系,并说明理由.

答案

解:$MN=2BD$.理由如下:
如图,延长 BD 至点 E,使 $DE=BD$,连接 CE.

$\because D$ 是 AC 的中点,$\therefore AD=CD$.
在$△ ABD$ 和$△ CED$ 中,
$\because \begin{cases}AD=CD,\\∠ ADB=∠ CDE,\\BD=ED,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CED.(SAS)$
$\therefore ∠ ABD=∠ E,AB=CE$.
$\because ∠ ABM=∠ NBC=90°$,
$\therefore ∠ ABC+∠ MBN=180°$,即$∠ ABD+∠ CBD+∠ MBN=180°$.
$\because ∠ E+∠ CBD+∠ BCE=180°,\therefore ∠ BCE=∠ MBN$.
$\because AB=BM,\therefore CE=BM$.
在$△ BCE$ 和$△ NBM$ 中,$\because \begin{cases}CE=BM,\\∠ BCE=∠ NBM,\\BC=NB,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ NBM.(SAS)$
$\therefore BE=NM$.
又$\because BE=BD+DE=2BD,\therefore MN=2BD$.

解析

【分析】
要判断BD与MN的数量关系，观察到D是AC的中点，遇到中点类问题可优先考虑倍长中线法构造全等三角形，实现边和角的转化。解题思路如下：第一步，延长BD到E使DE=BD，先证△ABD≌△CED，得到AB=CE与角的等量关系；第二步，结合已知AB=BM推出CE=BM，再利用两个90°的角推导∠BCE=∠MBN，结合BC=BN的条件证△BCE≌△NBM，得到BE=MN；最后由BE=2BD即可推出MN与BD的数量关系。
【解析】
如图，延长BD至点E，使 $DE=BD$，连接CE。

$\because D$ 是 AC 的中点，$\therefore AD=CD$。
在$△ ABD$ 和$△ CED$ 中，
$\because \begin{cases}AD=CD,\\∠ ADB=∠ CDE,\\BD=ED,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CED.(SAS)$
$\therefore ∠ ABD=∠ E,AB=CE$。
$\because ∠ ABM=∠ NBC=90°$，
$\therefore ∠ ABC+∠ MBN=360°-90°-90°=180°$，即$∠ ABD+∠ CBD+∠ MBN=180°$。
$\because ∠ E+∠ CBD+∠ BCE=180°$，$\therefore ∠ BCE=∠ MBN$。
$\because AB=BM$，$\therefore CE=BM$。
在$△ BCE$ 和$△ NBM$ 中，$\because \begin{cases}CE=BM,\\∠ BCE=∠ NBM,\\BC=NB,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ NBM.(SAS)$
$\therefore BE=NM$。
又$\because BE=BD+DE=2BD$，$\therefore MN=2BD$。
【答案】
$MN=2BD$

【知识点】
1.全等三角形的判定与性质
2.倍长中线法
3.角的和差计算
【点评】
本题是构造全等三角形的典型习题，核心考查中点类问题的辅助线构造技巧，通过倍长中线将分散的边、角条件集中到全等三角形中，再结合已知的垂直、等边条件证明第二组全等，即可建立待求线段的数量关系。
【难度系数】
0.6

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