8.(2024·新华期中)如图，$AB=AD$，$BC=DC$，点$E$在$AC$上.求证：$BE=DE$.

8.在$△ABC$和$△ADC$中，$\begin{cases} AB=AD, \\ BC=DC, \\ AC=AC, \end{cases}$$∴△ABC≌△ADC(\mathrm{SSS})$,$∴∠BAE=∠DAE$,在$△BAE$和$△DAE$中，$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAE=∠DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$$∴△BAE≌△DAE(\mathrm{SAS})$,$∴BE=DE$

【分析】
要证明$BE=DE$，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先观察已知条件：$AB=AD$、$BC=DC$，且$AC$为两个三角形的公共边，可先通过SSS判定证明$△ ABC≌△ ADC$，得到对应角$∠ BAE=∠ DAE$；此时再看$△ BAE$和$△ DAE$，已有$AB=AD$、公共边$AE=AE$，结合刚得到的角相等的条件，即可通过SAS判定证明两个三角形全等，从而得到对应边$BE=DE$。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ BC=DC, \\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ ADC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore∠ BAE=∠ DAE$，
在$△ BAE$和$△ DAE$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ BAE=∠ DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore△ BAE≌△ DAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=DE$
【答案】
在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ BC=DC, \\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ ADC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore∠ BAE=∠ DAE$，
在$△ BAE$和$△ DAE$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ BAE=∠ DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore△ BAE≌△ DAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=DE$
【知识点】
SSS证三角形全等，SAS证三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的常规题型，需要两次证明三角形全等得到最终结论，解题时可从待证结论出发反向推导所需条件，再结合已知信息逐步推导，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7

9.(教材 P45 习题 T13 变式)如图,点 E,F 在 BD 上,且 AB=CD,BF=DE,AE=CF,求证:点 O 是 AC 的中点.

9.$∵BF=DE,∴BF-EF=DE-EF$,即$BE=DF$,在$△ABE$和$△CDF$中，$\begin{cases} AB=CD, \\ AE=CF, \\ BE=DF, \end{cases}$$∴△ABE≌△CDF(\mathrm{SSS})$,$∴∠B=∠D$,在$△ABO$和$△CDO$中，$\begin{cases} ∠AOB=∠COD, \\ ∠B=∠D, \\ AB=CD, \end{cases}$$∴△ABO≌△CDO(\mathrm{AAS})$.$∴AO=CO$,$∴$点$O$是$AC$的中点

【分析】
要证明点O是AC的中点，本质是要证AO=CO。观察图形可知AO、CO分别属于△ABO和△CDO，因此只需证明这两个三角形全等即可得到对应边相等。目前已知AB=CD，且对顶角∠AOB=∠COD，还缺少一组角相等的条件，即需证∠B=∠D。要得到∠B=∠D，可证明二者所在的△ABE和△CDF全等：已知AB=CD、AE=CF，再结合BF=DE，减去公共线段EF就能得到BE=DF，刚好满足SSS全等判定的条件，按这个逻辑依次完成两次全等证明即可推导得证。
【解析】
证明：
$\because BF=DE$，
$\therefore BF-EF=DE-EF$，即$BE=DF$，
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ AE=CF, \\ BE=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ B=∠ D$，
在$△ ABO$和$△ CDO$中，
$\begin{cases} ∠ AOB=∠ COD, \\ ∠ B=∠ D, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ CDO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AO=CO$，即点O是AC的中点。
【答案】
点O是AC的中点
【知识点】
SSS判定全等；AAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的综合应用题型，需要完成两次三角形全等的证明，解题的突破口是通过线段的和差关系得到相等的边，为第一次全等证明创造条件，再借助全等的性质得到对应角相等，进而完成第二次全等推导，是全等应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7

10.(推理与探究)如图①，AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过点O的直线分别与AD，BC相交于点E，F.
(1)求证:AE=CF；
(2)若将过点O的直线旋转至图②，图③的情况时，其他条件不变，那么AE=CF还成立吗？请说明理由.

10.(1)在$△ABC$和$△CDA$中，$\begin{cases} AB=CD, \\ AC=CA, \\ BC=DA, \end{cases}$$∴△ABC≌△CDA(\mathrm{SSS})$,$∴∠OAE = ∠OCF$,$∵O$为$AC$的中点,$∴AO = CO$,在$△AOE$ 和$△COF$ 中，$\begin{cases} ∠OAE=∠OCF, \\ AO=CO, \\ ∠AOE=∠COF, \end{cases}$$∴△AOE≌△COF(\mathrm{ASA})$,$∴AE=CF$
(2)$AE=CF$还成立.理由如下:在图②中,证法同(1);在图③中,由(1)得$△ABC≌△CDA$,$∴∠OAD=∠OCB$,$∴AD//BC$,$∴∠E= ∠F$,$∵O$为$AC$的中点,$∴AO=CO$,在$△AOE$ 和$△COF$ 中，$\begin{cases} ∠E=∠F, \\ ∠AOE=∠COF, \\ AO=CO, \end{cases}$$∴△AOE≌△COF(\mathrm{AAS})$,$∴AE = CF$

【分析】
要证明线段AE=CF，通常通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先根据已知的三组边相等，先用SSS判定△ABC≌△CDA，得到对应角相等；再结合O是AC中点得AO=CO，加上对顶角相等，即可用ASA判定△AOE≌△COF，从而得到AE=CF。对于图②、图③的旋转情况，旋转过程中AO=CO、对顶角相等的条件始终成立，且AD与BC平行带来的内错角相等关系不变，因此仍可证明△AOE和△COF全等，结论保持成立。
【解析】
(1) 在$△ABC$和$△CDA$中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ AC=CA, \\ BC=DA, \end{cases}$
$∴△ABC≌△CDA(\mathrm{SSS})$，
$∴∠OAE = ∠OCF$，
$∵O$为$AC$的中点，$∴AO = CO$，
在$△AOE$ 和$△COF$ 中，
$\begin{cases} ∠OAE=∠OCF, \\ AO=CO, \\ ∠AOE=∠COF, \end{cases}$
$∴△AOE≌△COF(\mathrm{ASA})$，
$∴AE=CF$。
(2)$AE=CF$还成立，理由如下：
图②中证法同(1)；
图③中，由(1)得$△ABC≌△CDA$，$∴∠OAD=∠OCB$，$∴AD// BC$，$∴∠E= ∠F$，
$∵O$为$AC$的中点，$∴AO=CO$，
在$△AOE$ 和$△COF$ 中，
$\begin{cases} ∠E=∠F, \\ ∠AOE=∠COF, \\ AO=CO, \end{cases}$
$∴△AOE≌△COF(\mathrm{AAS})$，
$∴AE = CF$。
【答案】
(1) 已证$AE=CF$；
(2) $AE=CF$仍然成立，理由见解析。
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于动态几何基础题，核心考查全等三角形的判定与性质的应用，解题时需抓住图形旋转过程中的不变量（如中点、对顶角、平行关系等）寻找全等条件，即可快速推导出结论。
【难度系数】
0.7