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1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$是$AB$的中点，连接$CD$，过点$D$作$AB$的垂线，交$BC$于点$E$，交$AC$的延长线于点$F$，求证：$CD^2=DE· DF$。
答案
证明:$\because ∠ACB=90°$,D是AB的中点,$\therefore ∠A+∠B=90°$,$CD=\frac{1}{2}AB=BD$.$\therefore ∠DCE=∠B$.$\because DF⊥AB$,$\therefore ∠A+∠F=90°$.$\therefore ∠F=∠B$.$\therefore ∠DCE=∠F$.$\because ∠CDE=∠FDC$,$\therefore △CDE∽△FDC$.$\therefore \frac{CD}{DF}=\frac{DE}{CD}$.$\therefore CD^2=DE· DF$.
解析
【分析】
要证明等积式$CD^2=DE· DF$，可先将其转化为比例式$\frac{CD}{DF}=\frac{DE}{CD}$，只需证明包含这四条线段的$△ CDE$和$△ FDC$相似即可。首先利用直角三角形斜边中线的性质可得$CD=BD$，推出$∠ DCE=∠ B$；再结合$DF⊥ AB$和$∠ ACB=90°$，利用同角的余角相等推出$∠ F=∠ B$，进而得到$∠ DCE=∠ F$，再加上两个三角形的公共角$∠ CDE=∠ FDC$，即可证明两三角形相似，最后根据相似三角形对应边成比例得到所需比例式，转化为等积式即可得证。
【解析】
证明:$\because ∠ACB=90°$,D是AB的中点,
$\therefore ∠A+∠B=90°$,$CD=\frac{1}{2}AB=BD$,
$\therefore ∠DCE=∠B$.
$\because DF⊥AB$,
$\therefore ∠A+∠F=90°$,
$\therefore ∠F=∠B$,
$\therefore ∠DCE=∠F$.
$\because ∠CDE=∠FDC$,
$\therefore △CDE∽△FDC$,
$\therefore \frac{CD}{DF}=\frac{DE}{CD}$,
$\therefore CD^2=DE· DF$.
【答案】
$CD^2=DE· DF$得证，证明过程如上。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是等积式证明的典型题型，解题核心是将等积式转化为比例式，通过寻找等角证明三角形相似得到结论，解题时要注意挖掘直角三角形、公共角等隐含的角的关系，为证明相似创造条件。
【难度系数】
0.6
要证明等积式$CD^2=DE· DF$，可先将其转化为比例式$\frac{CD}{DF}=\frac{DE}{CD}$，只需证明包含这四条线段的$△ CDE$和$△ FDC$相似即可。首先利用直角三角形斜边中线的性质可得$CD=BD$，推出$∠ DCE=∠ B$；再结合$DF⊥ AB$和$∠ ACB=90°$，利用同角的余角相等推出$∠ F=∠ B$，进而得到$∠ DCE=∠ F$，再加上两个三角形的公共角$∠ CDE=∠ FDC$，即可证明两三角形相似，最后根据相似三角形对应边成比例得到所需比例式，转化为等积式即可得证。
【解析】
证明:$\because ∠ACB=90°$,D是AB的中点,
$\therefore ∠A+∠B=90°$,$CD=\frac{1}{2}AB=BD$,
$\therefore ∠DCE=∠B$.
$\because DF⊥AB$,
$\therefore ∠A+∠F=90°$,
$\therefore ∠F=∠B$,
$\therefore ∠DCE=∠F$.
$\because ∠CDE=∠FDC$,
$\therefore △CDE∽△FDC$,
$\therefore \frac{CD}{DF}=\frac{DE}{CD}$,
$\therefore CD^2=DE· DF$.
【答案】
$CD^2=DE· DF$得证，证明过程如上。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是等积式证明的典型题型，解题核心是将等积式转化为比例式，通过寻找等角证明三角形相似得到结论，解题时要注意挖掘直角三角形、公共角等隐含的角的关系，为证明相似创造条件。
【难度系数】
0.6
2.(铜陵期末)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,对角线AC,BD交于点E,点F在边AB上,连接CF交线段BE于点G,$CG^2=GE·GD$.
(1)求证:$∠ACF=∠ABD$.
(2)连接EF.求证:$EF·CG=EG·CB$.
(1)求证:$∠ACF=∠ABD$.
(2)连接EF.求证:$EF·CG=EG·CB$.
答案
证明:(1)$\because CG^2=GE· GD$,$\therefore \frac{CG}{GE}=\frac{GD}{CG}$.又$\because ∠CGD=∠EGC$,$\therefore △GCD∽△GEC$.$\therefore ∠GDC=∠GCE$.$\because AB// CD$,$\therefore ∠ABD=∠BDC$.$\therefore ∠ACF=∠ABD$.
(2)$\because ∠ABD=∠ACF$,$∠BGF=∠CGE$,$\therefore △BGF∽△CGE$.$\therefore \frac{FG}{BG}=\frac{EG}{CG}$.又$\because ∠FGE=∠BGC$,$\therefore △FGE∽△BGC$.$\therefore \frac{EF}{CB}=\frac{EG}{CG}$.$\therefore EF· CG=EG· CB$.
(2)$\because ∠ABD=∠ACF$,$∠BGF=∠CGE$,$\therefore △BGF∽△CGE$.$\therefore \frac{FG}{BG}=\frac{EG}{CG}$.又$\because ∠FGE=∠BGC$,$\therefore △FGE∽△BGC$.$\therefore \frac{EF}{CB}=\frac{EG}{CG}$.$\therefore EF· CG=EG· CB$.
解析
【分析】
(1) 要证∠ACF=∠ABD，首先将已知等积式$CG^2=GE·GD$转化为比例式，结合公共角相等可证△GCD与△GEC相似，得到对应角相等；再利用AB//CD的内错角相等性质，通过等量代换即可完成证明。
(2) 要证$EF·CG=EG·CB$，先将等积式转化为比例式$\frac{EF}{CB}=\frac{EG}{CG}$，需证明△FGE∽△BGC。首先借助(1)的结论和对顶角相等，证△BGF∽△CGE得到对应边成比例，再结合另一组对顶角相等，即可证△FGE∽△BGC，最后将所得比例式转化为等积式即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because CG^2=GE· GD$，
$\therefore \frac{CG}{GE}=\frac{GD}{CG}$。
又$\because ∠CGD=∠EGC$，
$\therefore △GCD∽△GEC$，
$\therefore ∠GDC=∠GCE$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ABD=∠BDC$，
$\therefore ∠ACF=∠ABD$。
(2) 证明：
$\because ∠ABD=∠ACF$，$∠BGF=∠CGE$，
$\therefore △BGF∽△CGE$，
$\therefore \frac{FG}{BG}=\frac{EG}{CG}$。
又$\because ∠FGE=∠BGC$，
$\therefore △FGE∽△BGC$，
$\therefore \frac{EF}{CB}=\frac{EG}{CG}$，
$\therefore EF· CG=EG· CB$。
【答案】
(1)$\because CG^2=GE· GD$,$\therefore \frac{CG}{GE}=\frac{GD}{CG}$.又$\because ∠CGD=∠EGC$,$\therefore △GCD∽△GEC$.$\therefore ∠GDC=∠GCE$.$\because AB// CD$,$\therefore ∠ABD=∠BDC$.$\therefore ∠ACF=∠ABD$.
(2)$\because ∠ABD=∠ACF$,$∠BGF=∠CGE$,$\therefore △BGF∽△CGE$.$\therefore \frac{FG}{BG}=\frac{EG}{CG}$.又$\because ∠FGE=∠BGC$,$\therefore △FGE∽△BGC$.$\therefore \frac{EF}{CB}=\frac{EG}{CG}$.$\therefore EF· CG=EG· CB$.
【知识点】
相似三角形判定与性质，平行线的性质，比例的基本性质
【点评】
本题是几何证明的常见题型，核心是通过等积式与比例式的互化寻找相似三角形，解题过程中需灵活运用角的等量代换，能较好地考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证∠ACF=∠ABD，首先将已知等积式$CG^2=GE·GD$转化为比例式，结合公共角相等可证△GCD与△GEC相似，得到对应角相等；再利用AB//CD的内错角相等性质，通过等量代换即可完成证明。
(2) 要证$EF·CG=EG·CB$，先将等积式转化为比例式$\frac{EF}{CB}=\frac{EG}{CG}$，需证明△FGE∽△BGC。首先借助(1)的结论和对顶角相等，证△BGF∽△CGE得到对应边成比例，再结合另一组对顶角相等，即可证△FGE∽△BGC，最后将所得比例式转化为等积式即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because CG^2=GE· GD$，
$\therefore \frac{CG}{GE}=\frac{GD}{CG}$。
又$\because ∠CGD=∠EGC$，
$\therefore △GCD∽△GEC$，
$\therefore ∠GDC=∠GCE$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ABD=∠BDC$，
$\therefore ∠ACF=∠ABD$。
(2) 证明：
$\because ∠ABD=∠ACF$，$∠BGF=∠CGE$，
$\therefore △BGF∽△CGE$，
$\therefore \frac{FG}{BG}=\frac{EG}{CG}$。
又$\because ∠FGE=∠BGC$，
$\therefore △FGE∽△BGC$，
$\therefore \frac{EF}{CB}=\frac{EG}{CG}$，
$\therefore EF· CG=EG· CB$。
【答案】
(1)$\because CG^2=GE· GD$,$\therefore \frac{CG}{GE}=\frac{GD}{CG}$.又$\because ∠CGD=∠EGC$,$\therefore △GCD∽△GEC$.$\therefore ∠GDC=∠GCE$.$\because AB// CD$,$\therefore ∠ABD=∠BDC$.$\therefore ∠ACF=∠ABD$.
(2)$\because ∠ABD=∠ACF$,$∠BGF=∠CGE$,$\therefore △BGF∽△CGE$.$\therefore \frac{FG}{BG}=\frac{EG}{CG}$.又$\because ∠FGE=∠BGC$,$\therefore △FGE∽△BGC$.$\therefore \frac{EF}{CB}=\frac{EG}{CG}$.$\therefore EF· CG=EG· CB$.
【知识点】
相似三角形判定与性质，平行线的性质，比例的基本性质
【点评】
本题是几何证明的常见题型，核心是通过等积式与比例式的互化寻找相似三角形，解题过程中需灵活运用角的等量代换，能较好地考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图，已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$，$E$分别在边$CB$，$AC$的延长线上，且$∠ DAB=∠ EBC$，$EB$的延长线交$AD$于点$F$。
(1)求证：$△ DBF ∽ △ EBC$；
(2)若$AB=BC$，求证：$CE^2=DF · AD$。
(1)求证：$△ DBF ∽ △ EBC$；
(2)若$AB=BC$，求证：$CE^2=DF · AD$。
答案
证明:(1)$\because AB=AC$,$\therefore ∠ABC=∠ACB$.$\because ∠ABC=∠DAB+∠D$,$∠ACB=∠EBC+∠E$,$∠DAB=∠EBC$,$\therefore ∠D=∠E$.$\because ∠DBF=∠EBC$,$\therefore △DBF∽△EBC$.
(2)$\because ∠DBF=∠EBC$,$∠DAB=∠EBC$,$\therefore ∠DBF=∠DAB$.$\because ∠D=∠D$,$\therefore △DBF∽△DAB$.$\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{DF}{BD}$,即$BD^2=DF· AD$.在$△ADB$和$△BEC$中,$\begin{cases}∠D=∠E,\\∠DAB=∠EBC,\\AB=BC,\end{cases}$$\therefore △ADB≌△BEC(\mathrm{AAS})$.$\therefore BD=CE$.$\therefore CE^2=DF· AD$.
(2)$\because ∠DBF=∠EBC$,$∠DAB=∠EBC$,$\therefore ∠DBF=∠DAB$.$\because ∠D=∠D$,$\therefore △DBF∽△DAB$.$\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{DF}{BD}$,即$BD^2=DF· AD$.在$△ADB$和$△BEC$中,$\begin{cases}∠D=∠E,\\∠DAB=∠EBC,\\AB=BC,\end{cases}$$\therefore △ADB≌△BEC(\mathrm{AAS})$.$\therefore BD=CE$.$\therefore CE^2=DF· AD$.
解析
【分析】
(1) 要证△DBF∽△EBC，根据相似三角形两角对应相等则相似的判定思路，先利用AB=AC得到等腰三角形底角相等，再结合三角形外角的性质，由已知∠DAB=∠EBC推得∠D=∠E，加上∠DBF和∠EBC是对顶角相等，即可完成相似证明。
(2) 要证等积式CE²=DF·AD，通常先将其转化为比例式，再通过相似、全等找等量代换。首先由角的等量关系证△DBF∽△DAB，得到BD²=DF·AD，再结合AB=BC的条件，通过AAS证△ADB≌△BEC得到BD=CE，将BD替换为CE即可得证。
【解析】
证明：(1) $\because AB=AC$，$\therefore ∠ABC=∠ACB$。
$\because ∠ABC=∠DAB+∠D$，$∠ACB=∠EBC+∠E$，$∠DAB=∠EBC$，
$\therefore ∠D=∠E$。
$\because ∠DBF=∠EBC$（对顶角相等），
$\therefore △DBF∽△EBC$。
(2) $\because ∠DBF=∠EBC$，$∠DAB=∠EBC$，
$\therefore ∠DBF=∠DAB$。
又$\because ∠D=∠D$，
$\therefore △DBF∽△DAB$，
$\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{DF}{BD}$，即$BD^2=DF· AD$。
在$△ADB$和$△BEC$中，
$\begin{cases}∠D=∠E,\\∠DAB=∠EBC,\\AB=BC,\end{cases}$
$\therefore △ADB≌△BEC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=CE$，
$\therefore CE^2=DF· AD$。
【答案】
(1) $△ DBF ∽ △ EBC$得证；
(2) $CE^2=DF·AD$得证。
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何证明的常见题型，综合考查了三角形相关的性质与判定，证明等积式的核心思路是先转化为比例式，再结合相似、全等寻找等量关系进行代换，对逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.65
(1) 要证△DBF∽△EBC，根据相似三角形两角对应相等则相似的判定思路，先利用AB=AC得到等腰三角形底角相等，再结合三角形外角的性质，由已知∠DAB=∠EBC推得∠D=∠E，加上∠DBF和∠EBC是对顶角相等，即可完成相似证明。
(2) 要证等积式CE²=DF·AD，通常先将其转化为比例式，再通过相似、全等找等量代换。首先由角的等量关系证△DBF∽△DAB，得到BD²=DF·AD，再结合AB=BC的条件，通过AAS证△ADB≌△BEC得到BD=CE，将BD替换为CE即可得证。
【解析】
证明：(1) $\because AB=AC$，$\therefore ∠ABC=∠ACB$。
$\because ∠ABC=∠DAB+∠D$，$∠ACB=∠EBC+∠E$，$∠DAB=∠EBC$，
$\therefore ∠D=∠E$。
$\because ∠DBF=∠EBC$（对顶角相等），
$\therefore △DBF∽△EBC$。
(2) $\because ∠DBF=∠EBC$，$∠DAB=∠EBC$，
$\therefore ∠DBF=∠DAB$。
又$\because ∠D=∠D$，
$\therefore △DBF∽△DAB$，
$\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{DF}{BD}$，即$BD^2=DF· AD$。
在$△ADB$和$△BEC$中，
$\begin{cases}∠D=∠E,\\∠DAB=∠EBC,\\AB=BC,\end{cases}$
$\therefore △ADB≌△BEC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=CE$，
$\therefore CE^2=DF· AD$。
【答案】
(1) $△ DBF ∽ △ EBC$得证；
(2) $CE^2=DF·AD$得证。
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何证明的常见题型，综合考查了三角形相关的性质与判定，证明等积式的核心思路是先转化为比例式，再结合相似、全等寻找等量关系进行代换，对逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.65
