4.(合肥蜀山区期中)如图,在$□ ABCD$中,点E在边AD上,CE交BD于点F,$∠ DCE=∠ ADB$.
(1)求证:$AB· BC=BF· CE$;
(2)若$AD=3DE=9$,求CF的长.

(1)证明:$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore AD// BC$,$AB=CD$.$\therefore ∠ADB=∠FBC$,$∠DEC=∠BCF$.$\because ∠DCE=∠ADB$,$\therefore ∠DCE=∠FBC$.$\therefore △DCE∽△FBC$.$\therefore \frac{CD}{BF}=\frac{CE}{BC}$.又$\because AB=CD$,$\therefore \frac{AB}{BF}=\frac{CE}{BC}$,即$AB· BC=BF· CE$.
(2)解:$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore AD// BC$,$BC=AD=9$.$\therefore △DEF∽△BCF$.$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{EF}{CF}$.$\because AD=3DE=9$,$\therefore DE=3$.$\therefore \frac{EF}{CF}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$.$\therefore CF=3EF$.$\because ∠DCE=∠ADB$,$∠DEF=∠CED$,$\therefore △DEF∽△CED$.$\therefore \frac{DE}{CE}=\frac{EF}{DE}$,即$CE· EF=DE^2=9$.$\therefore (CF+EF)· EF=4EF^2=9$.$\therefore EF=\frac{3}{2}$.$\therefore CF=3EF=\frac{9}{2}$.

【分析】
(1)要证明等积式$AB· BC=BF· CE$，可先将其转化为比例式$\frac{AB}{BF}=\frac{CE}{BC}$，结合平行四边形对边相等的性质$AB=CD$，只需证明$\frac{CD}{BF}=\frac{CE}{BC}$，即证$△ DCE ∽ △ FBC$。先利用平行四边形对边平行的性质得对应角相等，再结合已知$∠ DCE=∠ ADB$推导得到两组对应角相等，即可证明相似，进而转化得到待证等积式。
(2)求$CF$的长，首先由$AD=3DE=9$得$DE=3$、$BC=AD=9$，先利用$AD// BC$证明$△ DEF ∽ △ BCF$，得到$EF$与$CF$的比例关系；再结合已知$∠ DCE=∠ ADB$和公共角$∠ DEF=∠ CED$，证明$△ DEF ∽ △ CED$，得到边的乘积关系，代入$EF$和$CF$的数量关系即可求解$CF$。
【解析】
(1)证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AB=CD$，
$\therefore ∠ ADB=∠ FBC$，$∠ DEC=∠ BCF$，
$\because ∠ DCE=∠ ADB$，
$\therefore ∠ DCE=∠ FBC$，
$\therefore △ DCE ∽ △ FBC$，
$\therefore \frac{CD}{BF}=\frac{CE}{BC}$，
又$\because AB=CD$，
$\therefore \frac{AB}{BF}=\frac{CE}{BC}$，即$AB· BC=BF· CE$。
(2)解：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$BC=AD=9$，
$\therefore △ DEF ∽ △ BCF$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{EF}{CF}$，
$\because AD=3DE=9$，
$\therefore DE=3$，
$\therefore \frac{EF}{CF}=\frac{DE}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，即$CF=3EF$，
$\because ∠ DCE=∠ ADB$，$∠ DEF=∠ CED$，
$\therefore △ DEF ∽ △ CED$，
$\therefore \frac{DE}{CE}=\frac{EF}{DE}$，即$CE· EF=DE^2=3^2=9$，
$\because CE=CF+EF=3EF+EF=4EF$，
$\therefore 4EF· EF=9$，解得$EF=\frac{3}{2}$（线段长度为正，舍去负解），
$\therefore CF=3EF=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$\frac{9}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题以平行四边形为背景，考查等积式证明和线段长度求解，等积式通常转化为比例式，通过证明对应三角形相似得到，解题时要注意挖掘图中公共角、平行线带来的等角关系，灵活运用相似的判定和性质推导边的数量关系。
【难度系数】
0.6

5.(合肥瑶海区期中)如图，P是$□ ABCD$的边BC的延长线上任意一点，AP分别交BD，CD于点M，N.
(1)若$\frac{BC}{CP}=\frac{3}{2}$，求$\frac{CN}{DN}$的值；

(2)求证:$AM^2=MN· PM.$

(1)解:$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore AD=BC$,$AD// BC$.$\therefore △ADN∽△PCN$.$\because \frac{BC}{CP}=\frac{3}{2}$,$\therefore \frac{AD}{CP}=\frac{3}{2}$.$\therefore \frac{CN}{DN}=\frac{CP}{AD}=\frac{2}{3}$.
(2)证明:$\because AD// BC$,$\therefore △ADM∽△PBM$.$\therefore \frac{AM}{PM}=\frac{DM}{BM}$.$\because AB// CD$,$\therefore △ABM∽△NDM$.$\therefore \frac{AM}{MN}=\frac{BM}{DM}$.$\therefore \frac{AM}{MN}=\frac{PM}{AM}$.$\therefore AM^2=MN· PM$.

【分析】
(1) 要求$\frac{CN}{DN}$的值，首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，可证得$△ ADN$与$△ PCN$相似，再将已知的$\frac{BC}{CP}$转化为$\frac{AD}{CP}$，结合相似三角形对应边成比例即可求出目标比值。
(2) 要证明等积式$AM^2=MN· PM$，先将其转化为比例式$\frac{AM}{MN}=\frac{PM}{AM}$，再利用平行四边形两组对边分别平行的性质，得到两组相似三角形，通过中间比代换得到目标比例式，交叉相乘即可完成证明。
【解析】
(1) 解：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD=BC$，$AD// BC$，
$\therefore ∠ DAN=∠ CPN$，$∠ ADN=∠ PCN$，
$\therefore △ ADN ∽ △ PCN$，
$\therefore \frac{CN}{DN}=\frac{CP}{AD}$，
$\because \frac{BC}{CP}=\frac{3}{2}$，且$AD=BC$，
$\therefore \frac{AD}{CP}=\frac{3}{2}$，
$\therefore \frac{CN}{DN}=\frac{CP}{AD}=\frac{2}{3}$。
(2) 证明：$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ DAM=∠ P$，$∠ ADM=∠ PBM$，
$\therefore △ ADM ∽ △ PBM$，
$\therefore \frac{AM}{PM}=\frac{DM}{BM}$ ①，
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ BAM=∠ DNM$，$∠ ABM=∠ NDM$，
$\therefore △ ABM ∽ △ NDM$，
$\therefore \frac{AM}{MN}=\frac{BM}{DM}$ ②，
结合①②可得$\frac{AM}{MN}=\frac{PM}{AM}$，
交叉相乘得$AM^2=MN· PM$。
【答案】
(1) $\frac{CN}{DN}=\frac{2}{3}$；(2) $AM^2=MN· PM$得证。
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 等积式证明技巧
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的常规题型，核心是利用平行构造相似三角形，等积式转化为比例式后通过中间比代换是解题的关键，能有效考查相似性质的应用能力。
【难度系数】
0.65

6.(六安金安区月考)如图,在$△ ABC$中,点D在边BC上,$AE// BC$,BE与AD,AC分别相交于点F,G,且$AF^2=FG· FE$.
(1)求证:$△ FAG∽ △ FEA$;
(2)求证:$AG· BF=AE· DF$.

证明:(1)$\because AF^2=FG· FE$,$\therefore \frac{AF}{FE}=\frac{FG}{AF}$.$\because ∠AFG=∠EFA$,$\therefore △FAG∽△FEA$.
(2)$\because △FAG∽△FEA$,$\therefore \frac{AG}{AE}=\frac{FG}{AF}$,$∠FAG=∠E$.$\because AE// BC$,$\therefore ∠FBD=∠E$.$\therefore ∠FBD=∠FAG$.$\because ∠BFD=∠AFG$,$\therefore △BDF∽△AGF$.$\therefore \frac{BF}{AF}=\frac{DF}{FG}$.$\therefore \frac{FG}{AF}=\frac{DF}{BF}$.$\therefore \frac{AG}{AE}=\frac{DF}{BF}$.$\therefore AG· BF=AE· DF$.

【分析】
(1) 要证$△ FAG∽△ FEA$，首先将已知等积式$AF^2=FG· FE$转化为比例式，可得到两组对应边成比例，再结合两个三角形的公共角相等，即可根据相似三角形的判定定理完成证明。
(2) 要证$AG· BF=AE· DF$，先将待证等积式转化为比例式$\frac{AG}{AE}=\frac{DF}{BF}$。首先利用第(1)问的相似结论，得到对应边比例关系和对应角相等；再结合$AE// BC$的平行线性质，得到等角，进而证明$△ BDF∽△ AGF$，得到新的比例关系，最后通过等量代换得到目标比例式，交叉相乘即可得证。
【解析】
(1) $\because AF^2=FG· FE$，
$\therefore \frac{AF}{FE}=\frac{FG}{AF}$，
又$\because ∠AFG=∠EFA$（公共角），
$\therefore △FAG∽△FEA$。
(2) $\because △FAG∽△FEA$，
$\therefore \frac{AG}{AE}=\frac{FG}{AF}$，$∠FAG=∠E$，
$\because AE// BC$，
$\therefore ∠FBD=∠E$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠FBD=∠FAG$，
又$\because ∠BFD=∠AFG$（对顶角相等），
$\therefore △BDF∽△AGF$，
$\therefore \frac{BF}{AF}=\frac{DF}{FG}$，即$\frac{FG}{AF}=\frac{DF}{BF}$，
$\therefore \frac{AG}{AE}=\frac{DF}{BF}$，
$\therefore AG· BF=AE· DF$。
【答案】
(1) 已证$△ FAG∽△FEA$；
(2) 已证$AG· BF=AE· DF$，证明过程如上。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是相似证明的典型题型，核心考查等积式与比例式的互化技巧，需要结合已知的边、角关系推导相似三角形，再通过等量代换完成结论证明，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7