登录
7.[2025·安庆潜山期中]如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2 m的A处发出，其运行的高度y(m)与水平距离x(m)满足关系式$y=-\frac{1}{60}(x-6)^2 +2.6$。已知球网与点O的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距点O的水平距离为18 m。下列判断正确的是（
A.球运行的最大高度是2.43 m
B.球不会过球网
C.球会过球网且不会出界
D.球会过球网且会出界
第7题图 第8题图
D
）A.球运行的最大高度是2.43 m
B.球不会过球网
C.球会过球网且不会出界
D.球会过球网且会出界
第7题图 第8题图
答案
7.D
8.如图,这是喷水管OA从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图,喷出的水花是形状相同的抛物线.以点O为原点,水平方向为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.点C,D为水花的落水点且均在x轴上,其中右侧抛物线的表达式为$y=a(x-4)^2+5$,喷水管OA的高度为$\frac{7}{3}$ m.
(1)a的值为
(2)现重新改建喷泉,降低喷水管的高度,使落水点与喷水管的水平距离为9 m,则喷水管OA要降低的高度为
(1)a的值为
$-\frac{1}{6}$
;(2)现重新改建喷泉,降低喷水管的高度,使落水点与喷水管的水平距离为9 m,则喷水管OA要降低的高度为
$\frac{5}{6}$
m.答案
8.(1)$-\frac{1}{6}$ (2)$\frac{5}{6}$
9. [2025·合肥四十六中期中]某数学兴趣小组利用公园里一个斜坡做数学探究活动.如图,已知斜坡OA(其中AB=5.6 m,OB=7 m),小组成员站在O处抛球,球从离地面1.5 m高的C处扔出,小球的运动轨迹可看作抛物线的一部分,已知小球在水平距离点O 3 m时达到最高6 m,小球抛向斜坡OA上.设小球的水平距离为x(m),竖直高度为y(m).
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若小球的落点为M,并沿着斜坡经历3 s滚回到起点O,求这次滚动的平均速度;
(3)[分类讨论思想]若$t-1≤x≤t$时,小球的最大高度为5.5 m,求t的值.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若小球的落点为M,并沿着斜坡经历3 s滚回到起点O,求这次滚动的平均速度;
(3)[分类讨论思想]若$t-1≤x≤t$时,小球的最大高度为5.5 m,求t的值.
答案
9.解:(1)由图知抛物线的顶点坐标为$(3,6)$,
设$y$与$x$的函数关系式为$y=a(x-3)^2+6$,
把点$C(0,1.5)$代入,得$1.5=a×(-3)^2+6$,
解得$a=-\frac{1}{2}$,
$\therefore y$与$x$的函数关系式为$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+6$.
(2)设$OA$的表达式为$y=kx$.
把点$A(7,5.6)$代入,得$5.6=7k$,解得$k=0.8$,
$\therefore$直线$OA$的表达式为$y=0.8x$,
由$-\frac{1}{2}(x-3)^2+6=0.8x$,解得$x_1=5,x_2=-\frac{3}{5}$(舍去),
$\because 5×0.8=4,\therefore$点$M(5,4)$,
由勾股定理,得$OM=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}(\mathrm{m})$,
$\therefore$小球滚动的平均速度为$\frac{\sqrt{41}}{3}\mathrm{m/s}$.
(3)当$t＜3$时,$y$随$x$的增大而增大,
$\therefore x=t$时,$y_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{2}(t-3)^2+6=5.5$,
解得$t_1=2,t_2=4$(舍去);
当$t-1＞3$,即$t＞4$时,$y$随$x$的增大而减小,
$\therefore x=t-1$时,$y_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{2}(t-1-3)^2+6=5.5$,
解得$t_1=5,t_2=3$(舍去);
当$t-1＜3＜t$时,$y_{\mathrm{max}}$为顶点$(3,6)$的纵坐标6,不符合题意.
综上所述,$t$的值为2或5.
设$y$与$x$的函数关系式为$y=a(x-3)^2+6$,
把点$C(0,1.5)$代入,得$1.5=a×(-3)^2+6$,
解得$a=-\frac{1}{2}$,
$\therefore y$与$x$的函数关系式为$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+6$.
(2)设$OA$的表达式为$y=kx$.
把点$A(7,5.6)$代入,得$5.6=7k$,解得$k=0.8$,
$\therefore$直线$OA$的表达式为$y=0.8x$,
由$-\frac{1}{2}(x-3)^2+6=0.8x$,解得$x_1=5,x_2=-\frac{3}{5}$(舍去),
$\because 5×0.8=4,\therefore$点$M(5,4)$,
由勾股定理,得$OM=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}(\mathrm{m})$,
$\therefore$小球滚动的平均速度为$\frac{\sqrt{41}}{3}\mathrm{m/s}$.
(3)当$t＜3$时,$y$随$x$的增大而增大,
$\therefore x=t$时,$y_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{2}(t-3)^2+6=5.5$,
解得$t_1=2,t_2=4$(舍去);
当$t-1＞3$,即$t＞4$时,$y$随$x$的增大而减小,
$\therefore x=t-1$时,$y_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{2}(t-1-3)^2+6=5.5$,
解得$t_1=5,t_2=3$(舍去);
当$t-1＜3＜t$时,$y_{\mathrm{max}}$为顶点$(3,6)$的纵坐标6,不符合题意.
综上所述,$t$的值为2或5.
