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14.「2024河北中考，★☆」若$a,b$是正整数，且满足$\underbrace{2^a + 2^a + \dots + 2^a}_{8个2^a相加} = \underbrace{2^b × 2^b × \dots × 2^b}_{8个2^b相乘}$，则$a$与$b$的关系正确的是（
A.$a+3=8b$
B.$3a=8b$
C.$a+3=b^8$
D.$3a=8+b$
A
）A.$a+3=8b$
B.$3a=8b$
C.$a+3=b^8$
D.$3a=8+b$
答案
根据已知得,$8×2^a=(2^b)^8,\therefore 2^3×2^a=2^{8b}$,即$2^{a+3}=2^{8b},\therefore a+3=8b$.故选A.
15.「2026四川德阳期中，★☆」已知$9^x = a$，$3^y = b$，$27^z = ab$，那么$x,y,z$满足的等量关系是（
A.$2x+y=z$
B.$xy=3z$
C.$2x+y=3z$
D.$2xy=z$
C
）A.$2x+y=z$
B.$xy=3z$
C.$2x+y=3z$
D.$2xy=z$
答案
$\because 9^x=a,27^z=ab$,
$\therefore 3^{2x}=a,3^{3z}=ab,\because 3^y=b,\therefore 3^{2x}·3^y=3^{3z}$,
$\therefore 3^{2x+y}=3^{3z},\therefore 2x+y=3z$.故选C.
$\therefore 3^{2x}=a,3^{3z}=ab,\because 3^y=b,\therefore 3^{2x}·3^y=3^{3z}$,
$\therefore 3^{2x+y}=3^{3z},\therefore 2x+y=3z$.故选C.
16.「★☆」若$3^x × 4^y = 18, 4^x × 3^y = 8$, 则$x+y=$
2
.答案
由题意得$3^x×4^y×4^x×3^y=18×8$,
$\therefore 3^x×4^x×(4^y×3^y)=144$,
$\therefore 12^x×12^y=144,\therefore 12^{x+y}=12^2,\therefore x+y=2$.
$\therefore 3^x×4^x×(4^y×3^y)=144$,
$\therefore 12^x×12^y=144,\therefore 12^{x+y}=12^2,\therefore x+y=2$.
17.「2026天津红桥期中，★☆」若$(ka^{m-n}b^{m+n})^{4}=16a^{8}b^{16}$，则$k+m+n=$
6或2
。答案
$\because (ka^{m-n}b^{m+n})^4=k^4a^{4(m-n)}b^{4(m+n)}=16a^8b^{16}$,
$\therefore k^4=16,b^{4(m+n)}=b^{16}$,
$\therefore k=2或-2,m+n=4$,
$\therefore$当$k=2$时,$k+m+n=2+4=6$,
当$k=-2$时,$k+m+n=-2+4=2$.
故答案为6或2.
$\therefore k^4=16,b^{4(m+n)}=b^{16}$,
$\therefore k=2或-2,m+n=4$,
$\therefore$当$k=2$时,$k+m+n=2+4=6$,
当$k=-2$时,$k+m+n=-2+4=2$.
故答案为6或2.
18. 聚焦 中考 代数推理 「2026 江苏南通月考，★★☆」设n为正整数，若$64^n -7^n$能被57整除，试说明$8^{2n+1} +7^{n+2}$（n为正整数）能被57整除。
答案
$\because 64^n-7^n$能被57整除,
$\therefore$设$64^n-7^n=57m$(m为正整数),$\therefore 64^n=57m+7^n$,
$\therefore 8^{2n+1}+7^{n+2}=8×8^{2n}+49×7^n=8×64^n+49×7^n$
$=8×(57m+7^n)+49×7^n=8×57m+8×7^n+49×7^n=8×57m+57×7^n=57(8m+7^n)$,
$\therefore 8^{2n+1}+7^{n+2}$能被57整除.
$\therefore$设$64^n-7^n=57m$(m为正整数),$\therefore 64^n=57m+7^n$,
$\therefore 8^{2n+1}+7^{n+2}=8×8^{2n}+49×7^n=8×64^n+49×7^n$
$=8×(57m+7^n)+49×7^n=8×57m+8×7^n+49×7^n=8×57m+57×7^n=57(8m+7^n)$,
$\therefore 8^{2n+1}+7^{n+2}$能被57整除.
19. 核心素养 推理能力 「2026湖北武汉期中」规定两数$a,b$之间的一种运算，记作$(a,b)$：如果$a^c = b$，那么$(a,b)=c$。例如：因为$2^3 = 8$，所以$(2,8)=3$。
(1) 根据上述规定，填空：$(3,9)=$
(2) 小明在研究这种运算时发现一个特征：$(3^n,4^n)=(3,4)$，并作出了如下的证明：
设$(3^n,4^n)=x$，则$(3^n)^x = 4^n$，即$(3^x)^n = 4^n$，
$\therefore 3^x = 4$，即$(3,4)=x$，$\therefore (3^n,4^n)=(3,4)$。
试解决下列问题：
① 计算：$(8,1000)-(32,100000)$。
② 若令$(3,2)=a,(3,5)=b,(3,10)=c$，试探索$(3,2)+(3,5)$与$(3,10)$的大小关系。
(1) 根据上述规定，填空：$(3,9)=$
2
。(2) 小明在研究这种运算时发现一个特征：$(3^n,4^n)=(3,4)$，并作出了如下的证明：
设$(3^n,4^n)=x$，则$(3^n)^x = 4^n$，即$(3^x)^n = 4^n$，
$\therefore 3^x = 4$，即$(3,4)=x$，$\therefore (3^n,4^n)=(3,4)$。
试解决下列问题：
① 计算：$(8,1000)-(32,100000)$。
② 若令$(3,2)=a,(3,5)=b,(3,10)=c$，试探索$(3,2)+(3,5)$与$(3,10)$的大小关系。
答案
(1)2.
①原式=$(2^3,10^3)-(2^5,10^5)=(2,10)-(2,10)=0$.
②$\because (3,2)=a,(3,5)=b,(3,10)=c$,
$\therefore 3^a=2,3^b=5,3^c=10,\because 2×5=10,\therefore 3^a×3^b=3^c$,
$\therefore 3^{a+b}=3^c,\therefore a+b=c$,即$(3,2)+(3,5)=(3,10)$.
①原式=$(2^3,10^3)-(2^5,10^5)=(2,10)-(2,10)=0$.
②$\because (3,2)=a,(3,5)=b,(3,10)=c$,
$\therefore 3^a=2,3^b=5,3^c=10,\because 2×5=10,\therefore 3^a×3^b=3^c$,
$\therefore 3^{a+b}=3^c,\therefore a+b=c$,即$(3,2)+(3,5)=(3,10)$.
1.已知$ a=81^{31}, b=27^{41}, c=9^{61} $，则$ a,b,c $的大小关系是（
A.$ a＞b＞c $
B.$ a＞c＞b $
C.$ a＜c＜b $
D.$ b＞c＞a $
A
）A.$ a＞b＞c $
B.$ a＞c＞b $
C.$ a＜c＜b $
D.$ b＞c＞a $
答案
$a=81^{31}=(3^4)^{31}=3^{124},b=27^{41}=(3^3)^{41}=3^{123},c=9^{61}=(3^2)^{61}=3^{122},\because 124＞123＞122,\therefore 3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$,
$\therefore a＞b＞c$.故选A.
$\therefore a＞b＞c$.故选A.
2. 学科特色多解法 比较大小：$3^{20}$
＜
$9^{15}$（填“＞”“＜”或“=”）。答案
【解法一】化为底数相同的幂:$9^{15}=(3^2)^{15}=3^{30}$,
$\because 20＜30,\therefore 3^{20}＜3^{30}$,即$3^{20}＜9^{15}$.
【解法二】化为指数相同的幂:$3^{20}=(3^4)^5=81^5,9^{15}=(9^3)^5=729^5,\because 81＜729,\therefore 81^5＜729^5$,即$3^{20}＜9^{15}$.
$\because 20＜30,\therefore 3^{20}＜3^{30}$,即$3^{20}＜9^{15}$.
【解法二】化为指数相同的幂:$3^{20}=(3^4)^5=81^5,9^{15}=(9^3)^5=729^5,\because 81＜729,\therefore 81^5＜729^5$,即$3^{20}＜9^{15}$.
3.设$a=2^{55}, b=3^{33}, c=4^{22}$
则a,b,c的大小关系是
则a,b,c的大小关系是$a＞b＞c$
.答案
$\because a=2^{55}=(2^5)^{11}=32^{11},b=3^{33}=(3^3)^{11}=27^{11}$,
$c=4^{22}=(4^2)^{11}=16^{11},\therefore a＞b＞c$.
$c=4^{22}=(4^2)^{11}=16^{11},\therefore a＞b＞c$.
