1 [2025北京中考]能说明命题“若$a^2＞4b^2$,则$a＞2b$”是假命题的一组实数$a,b$的值为$a=$,$b=$.

1. (答案不唯一)-3 1 【解析】当$a=-3,b=1$时,$a^2＞4b^2$,但是$a＜2b$,故答案为-3,1(答案不唯一).

【分析】
要判断一个命题是假命题，只需构造一个反例即可，反例需要满足命题的条件，但不满足命题的结论。本题命题的条件是$a^2＞4b^2$，结论是$a＞2b$，因此我们只需找到一组$a,b$，使得$a^2＞4b^2$成立，但$a＞2b$不成立即可。我们可以先取正数$b$，例如$b=1$，此时$4b^2=4$，只要取平方大于4的负数作为$a$，就能满足$a$为负数、小于正数$2b$，即可构成反例。
【解析】
取$a=-3$，$b=1$：
1. 验证条件：$a^2=(-3)^2=9$，$4b^2=4×1^2=4$，可得$9＞4$，满足$a^2＞4b^2$；
2. 验证结论：$2b=2×1=2$，此时$-3＜2$，即$a＜2b$，不满足结论$a＞2b$。
因此该组值可说明命题为假命题，答案不唯一。
【答案】
$-3$，$1$（答案不唯一）
【知识点】
假命题的判定；有理数的乘方；有理数大小比较
【点评】
本题考查假命题的反例构造，解题核心是明确反例需满足“符合题设、不符合结论”的要求，题目开放性较强，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

2[2025湖南长沙中考]衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.
例如:下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.
命题:如果$a,b,c$为实数，且满足$a+b=-c$.那么$2=1$.
推理过程如下:
第一步:根据上述命题条件有$a+b=-c$；①
第二步:根据七年级学过的整式运算法则有$a=2a-a,b=2b-b,c=2c-c$；②
第三步:把②代入①，可得$(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c)$；③
第四步:把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得$2(a+b+c)=(a+b+c)$；④
第五步:把④两边同时除以$(a+b+c)$，得$2=1$.⑤
请你判断上述推理过程中，第步是错误的，它违背了数学的基本法则.

2. 五 【解析】等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式,等式仍然成立. 对于等式$2(a+b+c)=(a+b+c)$,$\because a+b=-c$,$\therefore a+b+c=0$,故该等式恒成立,且该等式两边不能同时除以$(a+b+c)$,$\therefore$第五步是错误的. 故答案为五.

【分析】
解题时首先回忆等式的基本性质，明确等式两边同时除以同一个数（或整式）时，必须保证这个数（或整式）不为0，等式才仍然成立。接着依次检查每一步推理：前四步的整式变形、代入、移项整理都符合运算法则，再结合已知条件$a+b=-c$，可推出$a+b+c=0$，此时看第五步的变形是两边同时除以$(a+b+c)$，相当于除以0，不符合等式性质的要求，即可确定错误步骤。
【解析】
根据等式的基本性质，等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。
已知$a+b=-c$，移项可得$a+b+c=0$。
推理的第四步得到等式$2(a+b+c)=(a+b+c)$，本质是$2×0=0$，该等式恒成立，但第五步将等式两边同时除以$(a+b+c)$，也就是除以0，违背了等式的基本性质，因此第五步是错误的。
【答案】
五
【知识点】
等式的基本性质；整式的加减运算
【点评】
本题结合趣味推理考查数学基础法则的应用，易错点是容易忽略除以含字母的式子前需先判断其是否为0，提醒同学们要牢固掌握基础概念的适用条件，避免因忽略细节出现错误。
【难度系数】
0.8

3[2025江苏常州中考]如图,将两块相同的直角三角尺按图示摆放,则AB与CD平行.这一判断过程体现的数学依据是()

A.垂线段最短
B.内错角相等,两直线平行
C.两点确定一条直线
D.平行于同一条直线的两条直线平行

（第3题图）
（第4题图）

3. B 【解析】由题意得$∠ A=∠ D$,$\therefore AB// CD$(内错角相等,两直线平行). 故选 B.

【分析】
要判断AB与CD平行的数学依据，首先回忆平行线的判定相关定理，再结合图形分析角的关系：两块相同的直角三角尺对应锐角相等，即∠A=∠D，观察这两个角的位置，它们是直线AB、CD被直线AD所截形成的内错角，由此可对应到“内错角相等，两直线平行”的判定定理；再逐一排除其他选项：A选项垂线段最短是描述点到直线距离的性质，与平行判定无关；C选项两点确定一条直线是直线的基本性质，不符合题意；D选项平行公理的推论需要涉及第三条平行直线，本题没有相关条件，因此可确定答案。
【解析】
由题意可知两块直角三角尺完全相同，因此对应锐角∠A=∠D。
∠A和∠D是直线AB、CD被直线AD所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AB//CD，因此判断依据是内错角相等，两直线平行。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定；内错角的识别
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查平行线的判定，解题关键是准确识别截线和被截线形成的内错角，再结合平行线判定定理进行判断，属于基础类题目，侧重对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.85

4[2025浙江中考]如图所示，直线$a,b$被直线$c$所截.若$a// b$，$∠ 1=91°$，则（）

A.$∠ 2=91°$
B.$∠ 3=91°$
C.$∠ 4=91°$
D.$∠ 5=91°$

4. B 【解析】$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$,$∠ 1 = 91°$,$\therefore ∠ 2 = 180°-91°=89°$. $\because a// b$,$\therefore ∠ 3 = ∠ 1 = 91°$,$∠ 4 = ∠ 2 = 89°$. $\because ∠ 4$与$∠ 5$是对顶角,$\therefore ∠ 5 = ∠ 4 = 89°$. 故选 B.

【分析】
解题时先梳理已知条件：直线a//b，∠1=91°，需要判断四个选项中角的度数是否正确。首先回忆相关性质：1. 邻补角之和为180°；2. 两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补；3. 对顶角相等。解题时先计算与∠1共顶点的∠2的度数，再利用平行线的性质推导∠3、∠4的度数，最后结合对顶角相等推导∠5的度数，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
∵∠1与∠2是邻补角，
∴∠1 + ∠2 = 180°，
又
∵∠1=91°，
∴∠2 = 180° - 91° = 89°，故A选项错误；
∵a//b，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠3 = ∠1 = 91°，故B选项正确；
∵a//b，根据两直线平行，同位角相等，
∴∠4 = ∠2 = 89°，故C选项错误；
∵∠4与∠5是对顶角，根据对顶角相等，
∴∠5 = ∠4 = 89°，故D选项错误。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；邻补角的定义；对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何题，重点考查相交线与平行线的相关性质，解题的核心是准确识别不同角的位置关系，结合对应性质推导计算即可，注意不要混淆各类角的性质。
【难度系数】
0.8

5[2025河北中考]榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图,其中$AD// BC$,$∠ ABC=70°$,则$∠ BAD= ( )$

A.$70°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$130°$

（第5题图）
（第6题图）

5. C 【解析】$\because AD// BC$,$\therefore ∠ DAB + ∠ ABC = 180°$. $\because ∠ ABC = 70°$,$\therefore ∠ BAD = 110°$,故选 C.

【分析】
首先读取题中已知条件：$AD// BC$，$∠ ABC=70°$，需求$∠ BAD$的度数。观察角的位置可知，$∠ ABC$和$∠ BAD$是直线$AD$、$BC$被直线$AB$所截形成的同旁内角，结合平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”，可知两个角的和为$180°$，代入已知角的度数即可计算出所求角的大小。
【解析】
解：$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ BAD + ∠ ABC = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠ ABC=70°$，
$\therefore ∠ BAD = 180° - 70° = 110°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，角度计算
【点评】
本题结合传统榫卯结构的实际场景出题，考查平行线性质的基础应用，解题核心是准确识别平行线被截后形成的同旁内角，属于基础考查题。
【难度系数】
0.9

6[2025黑龙江绥化中考]，AD是∠EAC的平分线，AD//BC，∠B=38°，则∠C的度数是（）

A.16°
B.30°
C.38°
D.76°

6. C 【解析】$\because AD// BC$,$\therefore ∠ EAD = ∠ B$,$∠ DAC = ∠ C$. $\because AD$是$∠ EAC$的平分线,$\therefore ∠ EAD = ∠ DAC$,$\therefore ∠ B = ∠ C$. $\because ∠ B = 38°$,$\therefore ∠ C=38°$. 故选 C.

【分析】
解题时先结合已知条件梳理思路：首先由AD//BC的条件，可利用平行线的性质得到同位角、内错角的等量关系；再结合AD是∠EAC的平分线，能得到两个被平分的角相等；最后通过等量代换建立∠B和∠C的相等关系，代入已知的∠B的度数即可求出∠C的度数。
【解析】
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ EAD = ∠ B$（两直线平行，同位角相等），$∠ DAC = ∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AD$是$∠ EAC$的平分线，
$\therefore ∠ EAD = ∠ DAC$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ B = ∠ C$（等量代换）。
$\because ∠ B = 38°$，
$\therefore ∠ C=38°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.平行线的性质 2.角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何题，主要考查平行线性质与角平分线定义的综合运用，解题的关键是准确识别平行线间的同位角、内错角，结合角平分线的性质完成角的等量代换，整体逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.85

7[2025江苏扬州中考]如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G。若∠ABE=130°，∠CDF=150°，则∠EGF的度数是（）

A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
（第7题图） （第8题图）

7. C 【解析】由题意可知$AB// PQ// CD$,$\therefore ∠ ABE+ ∠ BGP = 180°$,$∠ PGD + ∠ CDF = 180°$. $\because ∠ ABE = 130°$,$∠ CDF = 150°$,$\therefore ∠ BGP=180°-130°=50°$,$∠ PGD = 180°-150°=30°$,$\therefore ∠ BGD = ∠ BGP+ ∠ PGD = 50°+30°=80°$,$\therefore ∠ EGF = ∠ BGD = 80°$. 故选 C.

【分析】
本题结合凸透镜光路图考查角度计算，解题思路如下：首先根据题意可知入射光线AB、CD均与主光轴PQ平行，可利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别求出∠BGP和∠PGD的度数，二者相加可得∠BGD的度数；最后观察图形可知∠EGF与∠BGD是对顶角，根据对顶角相等即可求出∠EGF的度数。
【解析】
解：由题意得$AB// PQ// CD$，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ ABE + ∠ BGP = 180°$，$∠ CDF + ∠ PGD = 180°$，
已知$∠ ABE=130°$，$∠ CDF=150°$，代入得：
$∠ BGP=180° - 130°=50°$，
$∠ PGD=180° - 150°=30°$，
则$∠ BGD=∠ BGP + ∠ PGD=50° + 30°=80°$，
又
∵$∠ EGF$与$∠ BGD$是对顶角，根据对顶角相等，
∴$∠ EGF=∠ BGD=80°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题以凸透镜光路为背景，将几何知识和物理常识结合，考查基础的角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线和对顶角的性质，能从图形中找到角之间的数量关系。
【难度系数】
0.75

8[2025江苏连云港中考]如图，AB//CD，直线AB与射线DE相交于点O。若∠D = 50°，则∠BOE=°。

8. 130 【解析】根据题意可知,$AB// CD$,$\therefore ∠ AOE= ∠ D = 50°$,$\therefore ∠ BOE = 180° - ∠ AOE = 180°-50°=130°$. 故答案为 130.

【分析】
解题时首先观察图形，已知AB//CD，可优先考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，找到与∠D相等的同位角∠AOE；再观察∠AOE和∠BOE的位置关系，二者是邻补角，和为180°，代入数值即可求出∠BOE的度数。
【解析】
∵ AB//CD，
∴ ∠AOE = ∠D = 50°（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠AOE与∠BOE互为邻补角，即∠AOE + ∠BOE = 180°，
∴ ∠BOE = 180° - ∠AOE = 180° - 50° = 130°。
【答案】
130
【知识点】
平行线的性质、邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将平行线的性质与邻补角的计算结合考察，解题的关键是准确识别同位角和邻补角的位置关系。
【难度系数】
0.85

9[2025江西中考节选]如图，已知点C在AE上，AB//CD，∠1=∠2。求证：AE//DF。

9.【证明】$\because AB// CD$,$\therefore ∠ 1 = ∠ ACD$. $\because ∠ 1 = ∠ 2$,$\therefore ∠ ACD = ∠ 2$,$\therefore AE// DF$.

【分析】
要证明$AE// DF$，需先找到$AE$、$DF$被截后形成的相等或互补的角。首先利用已知的$AB// CD$的条件，根据平行线的性质可推出$∠1=∠ ACD$；再结合题干给出的$∠1=∠2$，通过等量代换得到$∠ ACD=∠2$，这两个角是$AE$、$DF$被$CD$所截形成的内错角，内错角相等即可判定两直线平行，完成证明。
【解析】
证明：$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ ACD$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ 1 = ∠ 2$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ 2$（等量代换），
$\therefore AE// DF$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明：$\because AB// CD$,$\therefore ∠ 1 = ∠ ACD$. $\because ∠ 1 = ∠ 2$,$\therefore ∠ ACD = ∠ 2$,$\therefore AE// DF$.
【知识点】
平行线的性质、等量代换、平行线的判定
【点评】
本题属于平行线性质与判定的基础综合题，核心是准确识别截线和被截线形成的同位角、内错角，熟练运用平行线相关定理完成简单的逻辑推导。
【难度系数】
0.8