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一、填空题
1. 若$ x=\sqrt{5}+1 $，$ y=\sqrt{5}-1 $，则$\frac{x-y}{x^2 - y^2}$的值为
1. 若$ x=\sqrt{5}+1 $，$ y=\sqrt{5}-1 $，则$\frac{x-y}{x^2 - y^2}$的值为
$\frac{\sqrt{5}}{10}$
。答案
1. $\frac{\sqrt{5}}{10}$
2. 已知$x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}-1$，则$\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2}$的值为
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
2. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
3. 已知$a+b=-8$，$ab=1$，则$\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}$的值为
8
。答案
3. 8
4. 已知$a=\dfrac{1}{\sqrt{10}-3},b=\dfrac{1}{\sqrt{10}+3}$,则$\sqrt{a^2+b^2+7}$的值为________.
答案
4. $3\sqrt{5}$
5. 已知实数$x,y$满足$y=\frac{\sqrt{x^2 -9}+\sqrt{9 -x^2}+1}{x-3}$,则$x+y=$
$-3\frac{1}{6}$
.答案
5. $-3\frac{1}{6}$
二、解答题
6. 先化简,再求值: $\frac{1}{3}\sqrt{9x} + y^2\sqrt{\frac{x}{y^3}} - (x\sqrt{\frac{1}{x}} -5x\sqrt{\frac{y}{x}})$,其中 $x=3,y=2.$
6. 先化简,再求值: $\frac{1}{3}\sqrt{9x} + y^2\sqrt{\frac{x}{y^3}} - (x\sqrt{\frac{1}{x}} -5x\sqrt{\frac{y}{x}})$,其中 $x=3,y=2.$
答案
6. 原式$=6\sqrt{xy}$. 当$x=3,y=2$时, 原式$=6×\sqrt{3×2}=6\sqrt{6}$
7. 先化简,再求值:$[\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - (\sqrt{b}-\sqrt{a})](\sqrt{a}+\sqrt{b})$,其中$a=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1},b=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$.
答案
7. 原式$=2a+2\sqrt{ab}.\because a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1,b=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1,\therefore$ 原式$=2×(\sqrt{2}+1)+2×\sqrt{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=2\sqrt{2}+4$
8. 已知$ a = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, b = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} $，求下面各式的值：
(1) $ a^2 + b^2 $；
(2) $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $。
(1) $ a^2 + b^2 $；
(2) $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $。
答案
8. $\because a=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2},b=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore a+b=-1,ab=-\frac{1}{2}.$
(1) $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=2$
(2) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=2$
(1) $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=2$
(2) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=2$
