1. 如图，点A,B,C是边长相等的正方形网格中的三个格点(即正方形的顶点)，则$\cos∠ ABC$的值为()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

1. D 【点拨】如图,连接 AC,设每个小正方形的边长为 1,则$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2},BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},\therefore AB^2= AC^2+BC^2,\therefore ∠ACB=90°$，$\therefore \cos∠ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$

2. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的每个顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值为。

2. $\frac{4}{5}$ 【点拨】如图,过点 C 作 $CD⊥AB$,垂足为 D. 由题意得，△ABC 的面积$=4×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×2×4=16-4-2-4=6$. 易知 $AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5},AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}.∵△ABC$ 的面积 $=\frac{1}{2}AB·CD=6,∴\frac{1}{2}×2\sqrt{5}CD=6$,解得 $CD=\frac{6}{5}\sqrt{5}$. 在 $Rt△ACD$ 中,$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-(\frac{6}{5}\sqrt{5})^2}=\frac{8}{5}\sqrt{5},∴\cos∠CAB=\frac{AD}{AC}=\frac{\frac{8}{5}\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{4}{5}.$

3. 如图,在边长相等的正方形网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则$\tan∠ APD$的值为 （）

A.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.2
D.$2\sqrt{2}$

3. C 【点拨】如图,连接 BE,与 CD 交于点 F.
∵四边形 BCEG 是正方形,
∴GF=CF=BF=EF,BE⊥CG. 根据题意,得 $AC// BG$,
∴易得$△ACP∽△BGP$.
∴GP: CP=BG: AC=1: 3.
∴GP: GF=1: 2.
∴$GP=PF=\frac{1}{2}GF=\frac{1}{2}BF$. 在 $Rt△PBF$ 中,$\tan∠BPF=\frac{BF}{PF}=2$.
∵∠APD=∠BPF,
∴$\tan∠APD=2.$

4. 如图，在$6×6$的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点$A,B,C,D$均在格点上，$AB,CD$相交于点$E$，则$\cos∠ AEC$的值为（）

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$1$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

4. A 【点拨】如图,过点 C 作 $FG// AB$,连接 GD,则∠AEC=∠DCG. 由题意得 $CG^2=1^2+2^2=5,DG^2=1^2+2^2=5,CD^2=1^2+3^2=10,∴CG=\sqrt{5},CD=\sqrt{10},CG^2+DG^2=CD^2.∴△CDG$ 是直角三角形,且∠CGD=90°.
∴$\cos∠AEC=\cos∠DCG=\frac{CG}{CD}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

5. 如图是6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角(∠O)为$60°$，A,B,C,D都在格点上，且线段AB,CD相交于点P，求$\tan∠ BPD$的值.

5. 【解】如图,取格点 E,连接 EC,DE. 设菱形的边长为 1. 易得 $EC// AB$,
∴∠BPD=∠ECD. 易知∠CDO=60°,∠EDB=30°,
∴∠CDE=90°. 易得 $CD=2,DE=\sqrt{3}$,
∴$\tan∠BPD=\tan∠ECD=\frac{DE}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

6. 如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点（小正方形的顶点）上，D是CA延长线上一点，求$\tan∠ BAD$的值.

6. 【解】如图,连接 AM,由勾股定理得 $AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$.
∵BM=2,BC=5,
∴BM: AB=2: $\sqrt{10}$,AB: BC=$\sqrt{10}$: 5=2: $\sqrt{10}$,
∴BM: AB=AB: BC. 又
∵∠ABM= ∠CBA,
∴$△BAM ∽ △BCA$,
∴∠BAM=∠ACB,
∴∠BAD=∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠BAM.
∵∠ABC+∠BAM=∠AMC=45°,
∴∠BAD=45°,
∴$\tan∠BAD=1.$