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8.如图,矩形ABCD和矩形AEFG关于点A对称.
(1)判断四边形BDEG是不是菱形,并说明理由.
(2)若矩形ABCD的面积为8,求四边形BDEG的面积.
(1)判断四边形BDEG是不是菱形,并说明理由.
(2)若矩形ABCD的面积为8,求四边形BDEG的面积.
答案
8.【解】(1)四边形 BDEG 是菱形.理由如下：
$\because$ 矩形 $ABCD$ 和矩形 $AEFG$ 关于点 $A$ 对称，
$\therefore AB=AE,AD=AG,BE⊥ DG.$
$\therefore$ 四边形 $BDEG$ 是菱形.
(2)$\because$ 矩形 $ABCD$ 的面积为 8，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=4.$
$\therefore S_{\mathrm{菱形}BDEG}=4S_{△ ABD}=16.$
$\because$ 矩形 $ABCD$ 和矩形 $AEFG$ 关于点 $A$ 对称，
$\therefore AB=AE,AD=AG,BE⊥ DG.$
$\therefore$ 四边形 $BDEG$ 是菱形.
(2)$\because$ 矩形 $ABCD$ 的面积为 8，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=4.$
$\therefore S_{\mathrm{菱形}BDEG}=4S_{△ ABD}=16.$
解析
【分析】
（1）判断四边形BDEG的形状可从菱形的判定入手：首先利用中心对称的性质，可得两个矩形的对应边AB=AE、AD=AG，即点A分别是BE、DG的中点，因此四边形BDEG的对角线互相平分；再结合矩形内角为直角，可推出两条对角线BE与DG互相垂直，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”即可得出结论。
（2）计算四边形BDEG的面积时，先找到已知矩形和所求菱形的面积关联：矩形ABCD中，对角线BD将矩形分为面积相等的两部分，因此△ABD的面积为矩形面积的一半；再观察菱形BDEG，其两条对角线将菱形分为4个面积和△ABD相等的直角三角形，因此将△ABD的面积乘4即可得到菱形的面积。
【解析】
(1) 四边形BDEG是菱形，理由如下：
∵ 矩形ABCD和矩形AEFG关于点A对称，
∴ AB=AE，AD=AG，BE⊥DG，
∴ 四边形BDEG的对角线互相垂直且平分，因此四边形BDEG是菱形。
(2)
∵ 矩形ABCD的面积为8，
∴ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=\frac{1}{2}×8=4$，
∴ $S_{\mathrm{菱形}BDEG}=4S_{△ ABD}=4×4=16$。
【答案】
(1) 四边形BDEG是菱形；(2) $\boxed{16}$
【知识点】
中心对称的性质，菱形的判定，矩形的性质
【点评】
本题围绕特殊四边形和中心对称的知识点展开考查，解题的核心是熟练掌握中心对称的性质，以及菱形的判定方法和面积计算技巧，能准确找到不同图形间的面积转化关系，属于基础类题型，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）判断四边形BDEG的形状可从菱形的判定入手：首先利用中心对称的性质，可得两个矩形的对应边AB=AE、AD=AG，即点A分别是BE、DG的中点，因此四边形BDEG的对角线互相平分；再结合矩形内角为直角，可推出两条对角线BE与DG互相垂直，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”即可得出结论。
（2）计算四边形BDEG的面积时，先找到已知矩形和所求菱形的面积关联：矩形ABCD中，对角线BD将矩形分为面积相等的两部分，因此△ABD的面积为矩形面积的一半；再观察菱形BDEG，其两条对角线将菱形分为4个面积和△ABD相等的直角三角形，因此将△ABD的面积乘4即可得到菱形的面积。
【解析】
(1) 四边形BDEG是菱形，理由如下：
∵ 矩形ABCD和矩形AEFG关于点A对称，
∴ AB=AE，AD=AG，BE⊥DG，
∴ 四边形BDEG的对角线互相垂直且平分，因此四边形BDEG是菱形。
(2)
∵ 矩形ABCD的面积为8，
∴ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=\frac{1}{2}×8=4$，
∴ $S_{\mathrm{菱形}BDEG}=4S_{△ ABD}=4×4=16$。
【答案】
(1) 四边形BDEG是菱形；(2) $\boxed{16}$
【知识点】
中心对称的性质，菱形的判定，矩形的性质
【点评】
本题围绕特殊四边形和中心对称的知识点展开考查，解题的核心是熟练掌握中心对称的性质，以及菱形的判定方法和面积计算技巧，能准确找到不同图形间的面积转化关系，属于基础类题型，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$□ ABCO$ 和$□ A'B'C'O$ 关于点O对称，$∠ BAO$ 的平分线交BC于点D.若$BD=3,CD=2$，则$□ A'B'C'O$ 的周长为
16
.答案
9.16
解析
【分析】
要计算A'B'C'O的周长，首先根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等，可知A'B'C'O的周长等于ABCO的周长，因此只需先求ABCO的周长即可。接下来结合平行四边形的性质和角平分线的定义推导等腰三角形，求出平行四边形的邻边长度：①平行四边形对边平行，可得∠OAD=∠ADB；②AD是∠BAO的平分线，可得∠BAD=∠OAD，等量代换后得到∠BAD=∠ADB，即△ABD为等腰三角形，AB=BD；③结合已知BD、CD的长度求出BC的长度，最后用平行四边形周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AO//BC，AB=OC，BC=AO，
∴∠OAD=∠ADB。
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAD=∠OAD，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD=3。
∵BD=3，CD=2，
∴BC=BD+CD=3+2=5。
∴ABCO的周长为：$2×(AB+BC)=2×(3+5)=16$。
又
∵ABCO和A'B'C'O关于点O对称，
根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等，
∴A'B'C'O的周长=ABCO的周长=16。
【答案】
16
【知识点】
平行四边形的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题的关键是掌握“平行线+角平分线”的组合可推导出等腰三角形的常见结论，再结合中心对称的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算A'B'C'O的周长，首先根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等，可知A'B'C'O的周长等于ABCO的周长，因此只需先求ABCO的周长即可。接下来结合平行四边形的性质和角平分线的定义推导等腰三角形，求出平行四边形的邻边长度：①平行四边形对边平行，可得∠OAD=∠ADB；②AD是∠BAO的平分线，可得∠BAD=∠OAD，等量代换后得到∠BAD=∠ADB，即△ABD为等腰三角形，AB=BD；③结合已知BD、CD的长度求出BC的长度，最后用平行四边形周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AO//BC，AB=OC，BC=AO，
∴∠OAD=∠ADB。
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAD=∠OAD，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD=3。
∵BD=3，CD=2，
∴BC=BD+CD=3+2=5。
∴ABCO的周长为：$2×(AB+BC)=2×(3+5)=16$。
又
∵ABCO和A'B'C'O关于点O对称，
根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等，
∴A'B'C'O的周长=ABCO的周长=16。
【答案】
16
【知识点】
平行四边形的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题的关键是掌握“平行线+角平分线”的组合可推导出等腰三角形的常见结论，再结合中心对称的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若△BOC和△B'O'C关于点C对称,AC=2,AB'=5,求菱形ABCD的边长.
答案
10.【解】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,$△ BOC$ 和$△ B'O'C$ 关于点 $C$ 对称,$AC=2$，
$\therefore OA=OC=O'C=1,OB⊥ OC,BC=B'C.$
$\therefore O'B'⊥ O'C,O'A=AC+O'C=2+1=3.$
又 $AB'=5$，
$\therefore O'B'=\sqrt{AB'^2-O'A^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.$
$\therefore B'C=\sqrt{O'B'^2+O'C^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}.$
$\therefore BC=B'C=\sqrt{17}.$
故菱形 $ABCD$ 的边长是 $\sqrt{17}.$
$\therefore OA=OC=O'C=1,OB⊥ OC,BC=B'C.$
$\therefore O'B'⊥ O'C,O'A=AC+O'C=2+1=3.$
又 $AB'=5$，
$\therefore O'B'=\sqrt{AB'^2-O'A^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.$
$\therefore B'C=\sqrt{O'B'^2+O'C^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}.$
$\therefore BC=B'C=\sqrt{17}.$
故菱形 $ABCD$ 的边长是 $\sqrt{17}.$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件，回忆对应性质逐步推导：首先根据菱形对角线互相垂直且平分的性质，可得到OC的长度和OB⊥OC的垂直关系；再利用中心对称的性质，得到对应边OC=O'C、BC=B'C，对应角相等推出O'B'⊥O'C，先算出O'A的长度；接着在Rt△AO'B'中用勾股定理求出O'B'的长度，最后在Rt△O'B'C中用勾股定理求出B'C的长度，也就是菱形的边长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，△BOC和△B'O'C关于点C对称，AC=2，
∴ OA=OC=O'C=1，OB⊥OC，BC=B'C。
∴ O'B'⊥O'C，O'A=AC+O'C=2+1=3。
又
∵ AB'=5，
∴ 在Rt△AO'B'中，$O'B'=\sqrt{AB'^2-O'A^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∴ 在Rt△O'B'C中，$B'C=\sqrt{O'B'^2+O'C^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
∴ BC=B'C=$\sqrt{17}$，即菱形ABCD的边长为$\sqrt{17}$。
【答案】
$\sqrt{17}$
【知识点】
菱形的性质，中心对称的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将菱形、中心对称与勾股定理相结合考查，解题的关键是利用菱形和中心对称的性质推导得到直角三角形与相关线段的长度，再通过勾股定理求解，是中心对称应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件，回忆对应性质逐步推导：首先根据菱形对角线互相垂直且平分的性质，可得到OC的长度和OB⊥OC的垂直关系；再利用中心对称的性质，得到对应边OC=O'C、BC=B'C，对应角相等推出O'B'⊥O'C，先算出O'A的长度；接着在Rt△AO'B'中用勾股定理求出O'B'的长度，最后在Rt△O'B'C中用勾股定理求出B'C的长度，也就是菱形的边长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，△BOC和△B'O'C关于点C对称，AC=2，
∴ OA=OC=O'C=1，OB⊥OC，BC=B'C。
∴ O'B'⊥O'C，O'A=AC+O'C=2+1=3。
又
∵ AB'=5，
∴ 在Rt△AO'B'中，$O'B'=\sqrt{AB'^2-O'A^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∴ 在Rt△O'B'C中，$B'C=\sqrt{O'B'^2+O'C^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
∴ BC=B'C=$\sqrt{17}$，即菱形ABCD的边长为$\sqrt{17}$。
【答案】
$\sqrt{17}$
【知识点】
菱形的性质，中心对称的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将菱形、中心对称与勾股定理相结合考查，解题的关键是利用菱形和中心对称的性质推导得到直角三角形与相关线段的长度，再通过勾股定理求解，是中心对称应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
11.如图,先绘制出函数$y=x^2 - 2x +1$（$x≥1$）的图象L,然后作与该图象关于点A(1,0)对称的图象G.当$x=-100$时,图象G所对应的函数的函数值是（
A.-12 001
B.-10 201
C.-10 199
D.-9 799
B
）A.-12 001
B.-10 201
C.-10 199
D.-9 799
答案
11.B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先明确中心对称的点的坐标规律：若两点关于点$(a,b)$对称，则两点的横、纵坐标之和分别等于$2a$、$2b$。2. 设图象$G$上任意一点坐标为$(x,y)$，求出其关于$A(1,0)$对称的点的坐标，该点在图象$L$上，满足$L$的函数解析式。3. 将对称点坐标代入$L$的解析式，化简得到图象$G$对应的函数解析式。4. 将$x=-100$代入$G$的解析式计算函数值即可。
【解析】
设点$P(x,y)$是图象$G$上的任意一点，则点$P$关于点$A(1,0)$对称的点$P'$的坐标为$(2-x, -y)$。
由题意可知，点$P'$在图象$L$上，图象$L$对应的函数可整理为$y=(x-1)^2 \ (x≥1)$，因此将$P'$坐标代入$L$的解析式可得：
$-y=(2-x -1)^2=(1-x)^2=(x-1)^2$
整理得图象$G$对应的函数解析式为：$y=-(x-1)^2 \ (x≤1)$
将$x=-100$代入解析式得：
$y=-(-100 -1)^2=-101^2=-10201$
【答案】
B
【知识点】
中心对称的坐标性质；二次函数图象变换；函数值计算
【点评】
本题核心是利用中心对称的坐标特征推导对称图象的函数解析式，解题时要注意两个对称图象的自变量取值范围的对应关系，掌握对称点坐标的推导方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先明确中心对称的点的坐标规律：若两点关于点$(a,b)$对称，则两点的横、纵坐标之和分别等于$2a$、$2b$。2. 设图象$G$上任意一点坐标为$(x,y)$，求出其关于$A(1,0)$对称的点的坐标，该点在图象$L$上，满足$L$的函数解析式。3. 将对称点坐标代入$L$的解析式，化简得到图象$G$对应的函数解析式。4. 将$x=-100$代入$G$的解析式计算函数值即可。
【解析】
设点$P(x,y)$是图象$G$上的任意一点，则点$P$关于点$A(1,0)$对称的点$P'$的坐标为$(2-x, -y)$。
由题意可知，点$P'$在图象$L$上，图象$L$对应的函数可整理为$y=(x-1)^2 \ (x≥1)$，因此将$P'$坐标代入$L$的解析式可得：
$-y=(2-x -1)^2=(1-x)^2=(x-1)^2$
整理得图象$G$对应的函数解析式为：$y=-(x-1)^2 \ (x≤1)$
将$x=-100$代入解析式得：
$y=-(-100 -1)^2=-101^2=-10201$
【答案】
B
【知识点】
中心对称的坐标性质；二次函数图象变换；函数值计算
【点评】
本题核心是利用中心对称的坐标特征推导对称图象的函数解析式，解题时要注意两个对称图象的自变量取值范围的对应关系，掌握对称点坐标的推导方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
