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二、拓展性作业
8. 如图 4-2-6,现有四种底面积相同的容器,从容器口以均匀的速度倒入某溶液。
图 4-2-6
图 4-2-7
(1)如果容器内液面高度 h 关于时间 t 的图象如图 4-2-7 所示,那么该容器的形状为
(2)在问题的研究中有定性分析法和定量分析法:
请根据你对函数概念的理解,结合容器的形状特征,关注变化的不同阶段,关注变化的不同趋势,在除(1)问所选容器外的其他三个容器中选择一个,尝试画出在匀速倒入溶液的过程中,容器内液面高度 h 关于时间 t 的大致图象,并与你的小伙伴交流一下吧。
8. 如图 4-2-6,现有四种底面积相同的容器,从容器口以均匀的速度倒入某溶液。
图 4-2-6
图 4-2-7
(1)如果容器内液面高度 h 关于时间 t 的图象如图 4-2-7 所示,那么该容器的形状为
A
;(填相应容器字母)(2)在问题的研究中有定性分析法和定量分析法:
请根据你对函数概念的理解,结合容器的形状特征,关注变化的不同阶段,关注变化的不同趋势,在除(1)问所选容器外的其他三个容器中选择一个,尝试画出在匀速倒入溶液的过程中,容器内液面高度 h 关于时间 t 的大致图象,并与你的小伙伴交流一下吧。
答案
8. (1)A
(2)解：
若选择容器 B,则图象如答图 4-2-1①所示：
B容器从底部往上逐渐变细，
所以液面高度上升速度逐渐增大。
若选择容器 C,则图象如答图 4-2-1②所示：
C容器从底部往上逐渐变粗，
所以液面高度上升速度逐渐减小。
若选择容器 D,则图象如答图 4-2-1③所示：
D容器从底部往上先逐渐变粗,再逐渐变细，
所以液面高度上升速度先逐渐减小,再逐渐增大。
解析
【分析】
解决这类问题的核心逻辑是：匀速注水时，单位时间注入的液体体积是固定的，液面高度的上升速度和容器当前液面处的横截面积成反比：横截面积越大，相同体积的液体带来的液面高度上升越慢，反映在h-t图像上就是图像越平缓（斜率越小）；横截面积越小，液面高度上升越快，图像越陡（斜率越大）。
(1)问中给定的h-t图像为过原点的直线，说明液面上升速度恒定，即容器的横截面积处处相等，对应上下粗细均匀的容器即可。
(2)问需要结合剩余容器的形状，分析横截面积随高度的变化规律，进而得到h-t图像的斜率变化趋势，画出对应图像即可。
【解析】
(1) 匀速注入溶液时，单位时间注入的溶液体积不变，若h随t的变化为过原点的直线，说明液面高度上升速度恒定，即容器任意高度处的横截面积相等，符合上下均匀的圆柱形容器A的特征。
(2) 分三种情况：
① 选择容器B：B容器从底部往上逐渐变细，即液面处横截面积逐渐减小，因此液面高度上升速度逐渐增大，h-t图像的斜率逐渐变大；
② 选择容器C：C容器从底部往上逐渐变粗，即液面处横截面积逐渐增大，因此液面高度上升速度逐渐减小，h-t图像的斜率逐渐变小；
③ 选择容器D：D容器从底部往上先逐渐变粗、再逐渐变细，即液面处横截面积先增大后减小，因此液面高度上升速度先逐渐减小、再逐渐增大，h-t图像的斜率先变小后变大。
【答案】
(1) A
(2) 若选择容器B，图象如图①所示，B容器从底部往上逐渐变细，所以液面高度上升速度逐渐增大；若选择容器C，图象如图②所示，C容器从底部往上逐渐变粗，所以液面高度上升速度逐渐减小；若选择容器D，图象如图③所示，D容器从底部往上先逐渐变粗，再逐渐变细，所以液面高度上升速度先逐渐减小，再逐渐增大。
【知识点】
函数图象分析，变量变化规律，实际问题的函数表示
【点评】
本题结合生活中的注水场景考查函数相关知识，需要将容器的形状特征和函数图像的变化趋势对应起来，能有效培养数形结合的思维能力，加深对函数中变量变化关系的理解。
【难度系数】
0.7
解决这类问题的核心逻辑是：匀速注水时，单位时间注入的液体体积是固定的，液面高度的上升速度和容器当前液面处的横截面积成反比：横截面积越大，相同体积的液体带来的液面高度上升越慢，反映在h-t图像上就是图像越平缓（斜率越小）；横截面积越小，液面高度上升越快，图像越陡（斜率越大）。
(1)问中给定的h-t图像为过原点的直线，说明液面上升速度恒定，即容器的横截面积处处相等，对应上下粗细均匀的容器即可。
(2)问需要结合剩余容器的形状，分析横截面积随高度的变化规律，进而得到h-t图像的斜率变化趋势，画出对应图像即可。
【解析】
(1) 匀速注入溶液时，单位时间注入的溶液体积不变，若h随t的变化为过原点的直线，说明液面高度上升速度恒定，即容器任意高度处的横截面积相等，符合上下均匀的圆柱形容器A的特征。
(2) 分三种情况：
① 选择容器B：B容器从底部往上逐渐变细，即液面处横截面积逐渐减小，因此液面高度上升速度逐渐增大，h-t图像的斜率逐渐变大；
② 选择容器C：C容器从底部往上逐渐变粗，即液面处横截面积逐渐增大，因此液面高度上升速度逐渐减小，h-t图像的斜率逐渐变小；
③ 选择容器D：D容器从底部往上先逐渐变粗、再逐渐变细，即液面处横截面积先增大后减小，因此液面高度上升速度先逐渐减小、再逐渐增大，h-t图像的斜率先变小后变大。
【答案】
(1) A
(2) 若选择容器B，图象如图①所示，B容器从底部往上逐渐变细，所以液面高度上升速度逐渐增大；若选择容器C，图象如图②所示，C容器从底部往上逐渐变粗，所以液面高度上升速度逐渐减小；若选择容器D，图象如图③所示，D容器从底部往上先逐渐变粗，再逐渐变细，所以液面高度上升速度先逐渐减小，再逐渐增大。
【知识点】
函数图象分析，变量变化规律，实际问题的函数表示
【点评】
本题结合生活中的注水场景考查函数相关知识，需要将容器的形状特征和函数图像的变化趋势对应起来，能有效培养数形结合的思维能力，加深对函数中变量变化关系的理解。
【难度系数】
0.7
9. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知点 $ A(2,0) $，动点 $ P(x,y) $ 在第一象限，且 $ x + y = 8 $，$ △ OPA $ 的面积为 $ S $。
(1)求 $ S $ 关于 $ x $ 的函数表达式和 $ x $ 的取值范围；
(2)求当 $ S=2 $ 时点 $ P $ 的坐标；
(3)$ OP + PA $ 的最小值为
(1)求 $ S $ 关于 $ x $ 的函数表达式和 $ x $ 的取值范围；
(2)求当 $ S=2 $ 时点 $ P $ 的坐标；
(3)$ OP + PA $ 的最小值为
10
。答案
9. (1)解:S 关于 x 的函数表达式为 S=8−x。x 的取值范围是 0＜x＜8。
(2)解:当 S=2 时,点 P 的坐标是(6,2)。
(3)10
(2)解:当 S=2 时,点 P 的坐标是(6,2)。
(3)10
解析
【分析】
(1) 求解△OPA的面积先确定底和高：OA为底，长度是点A到原点的距离2，高是动点P的纵坐标y；结合已知条件x+y=8，将y替换为含x的式子代入面积公式，就能得到S关于x的函数表达式；再根据P在第一象限，横纵坐标均为正，即可求出x的取值范围。
(2) 把S=2直接代入第一问得到的函数表达式，解出x的值，再结合x+y=8求出对应的y，即可得到点P的坐标。
(3) 本题是典型的将军饮马最短路径问题：要让OP+PA最小，可作点O关于直线x+y=8的对称点O'，根据对称性质OP=O'P，因此OP+PA可转化为O'P+PA，当O'、P、A三点共线时和最小，最小值就是线段O'A的长度，用勾股定理计算即可。
【解析】
(1) 由点A(2,0)可得OA=2，△OPA的高为点P的纵坐标y（y＞0），
根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2} × OA × y = \frac{1}{2} × 2 × y = y$，
∵ $x+y=8$，
∴ $y=8-x$，代入得$S=8-x$，
∵ 点P在第一象限，
∴ $x＞0$且$y=8-x＞0$，解得$0＜x＜8$。
(2) 当$S=2$时，代入$S=8-x$得：$8-x=2$，解得$x=6$，
将$x=6$代入$x+y=8$得：$y=8-6=2$，
∴ 点P的坐标为(6,2)。
(3) 作点O关于直线$x+y=8$的对称点$O'$，连接$O'A$交直线$x+y=8$于点P，此时$OP+PA=O'P+PA=O'A$，值最小。
求得$O'$的坐标为(8,8)，由勾股定理得：
$O'A=\sqrt{(8-2)^2+(8-0)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$，
即$OP+PA$的最小值为10。
【答案】
(1) $S=8-x$，x的取值范围是$0＜x＜8$；
(2) $(6,2)$；
(3) $10$
【知识点】
一次函数解析式求解，最短路径问题，三角形面积公式
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，前两问侧重基础公式的应用，难度较低；第三问考查将军饮马模型的实际应用，需要结合对称性质和勾股定理求解，能有效锻炼数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7
(1) 求解△OPA的面积先确定底和高：OA为底，长度是点A到原点的距离2，高是动点P的纵坐标y；结合已知条件x+y=8，将y替换为含x的式子代入面积公式，就能得到S关于x的函数表达式；再根据P在第一象限，横纵坐标均为正，即可求出x的取值范围。
(2) 把S=2直接代入第一问得到的函数表达式，解出x的值，再结合x+y=8求出对应的y，即可得到点P的坐标。
(3) 本题是典型的将军饮马最短路径问题：要让OP+PA最小，可作点O关于直线x+y=8的对称点O'，根据对称性质OP=O'P，因此OP+PA可转化为O'P+PA，当O'、P、A三点共线时和最小，最小值就是线段O'A的长度，用勾股定理计算即可。
【解析】
(1) 由点A(2,0)可得OA=2，△OPA的高为点P的纵坐标y（y＞0），
根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2} × OA × y = \frac{1}{2} × 2 × y = y$，
∵ $x+y=8$，
∴ $y=8-x$，代入得$S=8-x$，
∵ 点P在第一象限，
∴ $x＞0$且$y=8-x＞0$，解得$0＜x＜8$。
(2) 当$S=2$时，代入$S=8-x$得：$8-x=2$，解得$x=6$，
将$x=6$代入$x+y=8$得：$y=8-6=2$，
∴ 点P的坐标为(6,2)。
(3) 作点O关于直线$x+y=8$的对称点$O'$，连接$O'A$交直线$x+y=8$于点P，此时$OP+PA=O'P+PA=O'A$，值最小。
求得$O'$的坐标为(8,8)，由勾股定理得：
$O'A=\sqrt{(8-2)^2+(8-0)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$，
即$OP+PA$的最小值为10。
【答案】
(1) $S=8-x$，x的取值范围是$0＜x＜8$；
(2) $(6,2)$；
(3) $10$
【知识点】
一次函数解析式求解，最短路径问题，三角形面积公式
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，前两问侧重基础公式的应用，难度较低；第三问考查将军饮马模型的实际应用，需要结合对称性质和勾股定理求解，能有效锻炼数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7
