1. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离.

1. 相等

【分析】
这道题考查线段垂直平分线的基本性质，解题时首先回忆线段垂直平分线的相关性质内容，直接对应性质即可得出答案，也可以通过构造全等三角形的方式验证结论，符合八年级全等三角形的知识范畴。
【解析】
我们可以通过全等证明该结论：假设线段AB，其垂直平分线为l，垂足为O，任取l上一点P，连接PA、PB。
∵ l是AB的垂直平分线，
∴ AO=BO，∠AOP=∠BOP=90°，
又
∵ OP=OP（公共边），
∴ △AOP≌△BOP（SAS），
∴ PA=PB，
因此线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
【答案】
相等
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要要求学生熟记线段垂直平分线的性质，是后续解决轴对称、几何证明等相关问题的基础。
【难度系数】
0.9

2. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的上.

2. 垂直平分线

【分析】
这道题考查线段垂直平分线的判定相关知识，解题时先回忆线段垂直平分线的相关定理：我们学过线段垂直平分线的性质是“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，其对应的逆定理也就是判定定理，刚好匹配题目的描述，对应写出判定定理的结论即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此此处应填垂直平分线。
【答案】
垂直平分线
【知识点】
线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对基础几何定理的记忆与理解，熟练掌握相关定理就能轻松作答。
【难度系数】
0.9

3. 两个命题的题设、结论正好，具有这种关系的两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题。

3. 相反

【分析】
这道题考查互逆命题的基础定义，解题时先回忆命题的构成：所有命题都由题设、结论两部分组成，互逆命题的核心特征就是两个命题的题设和结论位置互换，对应定义描述就能直接得出空缺处的内容。
【解析】
根据互逆命题的定义：若两个命题的题设、结论正好相反，也就是其中一个命题的题设是另一个命题的结论，它的结论是另一个命题的题设，这样的两个命题叫作互逆命题，因此此处应填写“相反”。
【答案】
相反
【知识点】
互逆命题的概念
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考察对教材基础定义的识记和理解，只要熟练掌握相关概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9

4. 如果一个定理的逆命题经过证明是命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。

4. 真

【分析】
解题时首先回忆互逆定理的相关定义：我们已知定理是经过证明的真命题，要判断一个定理的逆命题能不能成为另一个定理，核心是看这个逆命题经过证明后是否为真命题，只有真命题才能被称为定理，符合互逆定理的构成条件，因此结合定义即可确定应填的内容。
【解析】
根据互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。因此空缺处应填写“真”。
【答案】
真
【知识点】
1.互逆定理的定义
2.真假命题的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对课本基础定义的识记和理解，熟练掌握相关概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

例 如图15.1-11，AB比AC长2，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14，求AB和AC的长。

解 ∵BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，∴BD=DC. ∵△ACD的周长是14，∴AD+DC+AC=14.
∴AD+BD+AC=AB+AC=14.
∵AB比AC长2，∴AB−AC=2.
∴AC=6，AB=8.
方法感悟 1. 线段垂直平分线上的点与

解：
∵BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，
∴BD=DC。
∵△ACD的周长是14，
∴AD+DC+AC=14。
∴AD+BD+AC=14，即AB+AC=14。
∵AB比AC长2，
∴AB - AC = 2。
将两个等式相加得$2AB=16$，解得$AB=8$，
把$AB=8$代入$AB+AC=14$，得$AC=6$。
答：AB的长为8，AC的长为6。

【分析】
解题时首先结合已知条件“BC的垂直平分线交AB于D”，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得BD=DC。接下来分析△ACD的周长构成：AD+DC+AC，把DC替换为等量BD后，周长可转化为AD+BD+AC，也就是AB+AC，由此得到AB与AC的和为14。再结合题目给出的“AB比AC长2”的条件，得到AB与AC的差为2，联立两个数量关系即可求出AB、AC的长度。
【解析】
∵BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，
∴根据线段垂直平分线的性质，得BD=DC。
∵△ACD的周长是14，
∴AD+DC+AC=14。
将DC=BD代入上式，得AD+BD+AC=14，即AB+AC=14。
∵AB比AC长2，
∴AB - AC = 2。
将上述两个等式相加，得$2AB=16$，解得$AB=8$，
把$AB=8$代入$AB+AC=14$，得$8+AC=14$，解得$AC=6$。
【答案】
AB的长为8，AC的长为6。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算、二元一次方程组的应用
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知三角形的周长转化为两条待求线段的和，再结合已知的线段差联立求解，解题时要注意等量代换的逻辑严谨性。
【难度系数】
0.7

1. 如图15.1-12，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为().

A.6
B.5
C.4
D.3

1. B

【分析】
首先梳理题目已知条件：直线CD是线段AB的垂直平分线，P是CD上的点，已知PA=5，要求PB的长度。解题时先回忆线段垂直平分线的相关性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。结合已知PA的长度，直接利用该性质就能推导得到PB的长度。
【解析】
解：
∵直线CD是线段AB的垂直平分线，点P在CD上，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴PB = PA，
又
∵PA = 5，
∴PB = 5。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，直接考查线段垂直平分线的性质应用，熟记对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 如图15.1-13，在△ABC中，BC = 8 cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于18 cm，则AC的长等于（）。


A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm

2. C

【分析】
首先看到题目中出现AB的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得EA=EB。接下来观察△BCE的周长构成，其周长为BE+CE+BC，我们可以将BE替换为等量的EA，此时周长就转化为EA+CE+BC，而EA+CE恰好是AC的长度，因此建立起△BCE的周长与AC、BC的关系，代入已知数值即可求出AC的长。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得EA = EB
∵△BCE的周长为18 cm
∴BE + CE + BC = 18 cm
将BE替换为EA，得：EA + CE + BC = 18 cm
又
∵EA + CE = AC
∴AC + BC = 18 cm
已知BC = 8 cm，代入得：
AC = 18 - 8 = 10 cm
故选：C
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是轴对称章节的基础常考题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知三角形的周长转化为已知边和待求边的和，进而计算得到结果。
【难度系数】
0.8

3. 如图15.1 - 14，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）.

A.点P在∠ABC的平分线上
B.点P在∠ACB的平分线上
C.点P在边AB的垂直平分线上
D.点P在边BC的垂直平分线上

3. D

【分析】
解题时首先明确已知条件为PB=PC，即点P到点B、点C的距离相等，接下来回忆相关判定定理：①线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；②角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。先判断PB=PC对应的是到两个点的距离相等，对应线段垂直平分线的判定，且两个端点是B、C，对应线段是BC，再逐一核对选项排除错误选项即可得出答案。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知PB=PC，即点P到线段BC的两个端点B、C的距离相等，因此点P在边BC的垂直平分线上。
对其余选项分析如下：
A选项：点P在∠ABC的平分线上的条件是点P到BA、BC两边的距离相等，与已知条件不符，错误；
B选项：点P在∠ACB的平分线上的条件是点P到CA、CB两边的距离相等，与已知条件不符，错误；
C选项：点P在边AB的垂直平分线上的条件是PA=PB，与已知条件不符，错误。
综上，只有D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定、角平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分线段垂直平分线判定和角平分线判定的适用场景：前者对应到两个点的距离相等，后者对应到两条边的距离相等，学习时要注意区分两类定理的条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

4. 在直角坐标系中有$A(-3,1)$，$B(3,1)$两点，则在坐标轴上与$A$，$B$两点距离相等的点有（）.

A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个

4. D

【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：平面内到两点距离相等的所有点都在这两点连线的垂直平分线上。因此我们只需要先求出线段AB的垂直平分线，再判断该垂直平分线与坐标轴的交点情况即可。首先观察A、B两点坐标特征，纵坐标相同，说明AB平行于x轴，可快速求出它的垂直平分线，再结合坐标轴的定义判断满足条件的点的数量。
【解析】
1. 分析线段AB的位置：已知A(-3,1)、B(3,1)，两点纵坐标相等，因此线段AB平行于x轴。
2. 求AB的中点坐标：根据中点坐标公式，AB中点的横坐标为$\frac{-3+3}{2}=0$，纵坐标为$\frac{1+1}{2}=1$，即中点为$(0,1)$。
3. 求AB的垂直平分线：因为AB平行于x轴，所以它的垂直平分线是垂直于x轴的竖直直线，且过中点$(0,1)$，因此垂直平分线的方程为$x=0$，也就是y轴。
4. 判断满足条件的点的数量：y轴本身就是坐标轴的一部分，y轴上有无数个点，所有y轴上的点到A、B两点的距离都相等，因此满足条件的点有无数个。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题解题的核心是掌握到两点距离相等的点的轨迹是两点连线的垂直平分线，结合坐标特点快速求出垂直平分线后，结合坐标轴的定义即可判断结果，注意不要误以为只有垂直平分线与坐标轴的交点才满足条件。
【难度系数】
0.6