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5. 如图15.1-15，在$△ ABC$中，BO平分$∠ ABC$，CO平分$∠ ACB$，连接AO。若$AB=AC$，求证：AO所在的直线垂直平分BC。
答案
证明：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D，E，F。由条件可知OD=OE，OE=OF，
∴OD=OF，
∴OA平分∠BAC。
∵AB=AC，
∴OA为BC边的高线，也是BC边的中线，即AO所在的直线垂直平分BC。
∴OD=OF，
∴OA平分∠BAC。
∵AB=AC，
∴OA为BC边的高线，也是BC边的中线，即AO所在的直线垂直平分BC。
解析
【分析】
要证明AO所在的直线垂直平分BC，已知AB=AC，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需先证明AO是∠BAC的角平分线即可。要证AO平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点O到AB、AC的距离相等。已知BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，根据角平分线的性质，点O到∠ABC两边的距离相等、到∠ACB两边的距离相等，通过等量代换即可得到点O到AB、AC的距离相等，进而推出AO平分∠BAC，最后结合等腰三角形三线合一的性质即可完成证明。
【解析】
证明：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D，E，F。
∵BO平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD=OE，
∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴OE=OF，
∴OD=OF，
∴OA平分∠BAC。
∵AB=AC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，OA既是BC边的高线，也是BC边的中线，即AO所在的直线垂直平分BC。
【答案】
证明：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D，E，F。由条件可知OD=OE，OE=OF，
∴OD=OF，
∴OA平分∠BAC。
∵AB=AC，
∴OA为BC边的高线，也是BC边的中线，即AO所在的直线垂直平分BC。
【知识点】
角平分线的性质与判定；等腰三角形三线合一；垂直平分线判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考察角平分线相关定理和等腰三角形性质的综合应用，解题的关键是明确待证结论的转化思路，通过构造辅助线利用角平分线的性质推导得到AO为顶角平分线，即可结合等腰三角形的性质得证。
【难度系数】
0.7
要证明AO所在的直线垂直平分BC，已知AB=AC，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需先证明AO是∠BAC的角平分线即可。要证AO平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点O到AB、AC的距离相等。已知BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，根据角平分线的性质，点O到∠ABC两边的距离相等、到∠ACB两边的距离相等，通过等量代换即可得到点O到AB、AC的距离相等，进而推出AO平分∠BAC，最后结合等腰三角形三线合一的性质即可完成证明。
【解析】
证明：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D，E，F。
∵BO平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD=OE，
∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴OE=OF，
∴OD=OF，
∴OA平分∠BAC。
∵AB=AC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，OA既是BC边的高线，也是BC边的中线，即AO所在的直线垂直平分BC。
【答案】
证明：过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D，E，F。由条件可知OD=OE，OE=OF，
∴OD=OF，
∴OA平分∠BAC。
∵AB=AC，
∴OA为BC边的高线，也是BC边的中线，即AO所在的直线垂直平分BC。
【知识点】
角平分线的性质与判定；等腰三角形三线合一；垂直平分线判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考察角平分线相关定理和等腰三角形性质的综合应用，解题的关键是明确待证结论的转化思路，通过构造辅助线利用角平分线的性质推导得到AO为顶角平分线，即可结合等腰三角形的性质得证。
【难度系数】
0.7
6. 如图15.1-16，在$△ ABC$中，边AB的垂直平分线$l_1$交AC于点D，边BC的垂直平分线$l_2$交AC于点E，直线$l_1$与直线$l_2$相交于点F，过点F作$FM ⊥ AC$于点M，连接BF.
（1）若$∠ ABC=113°$，求$∠ DBE$的度数.
（2）若$△ BDE$的周长为24，$BF=15$，求FM的长.
图15.1-16
（1）若$∠ ABC=113°$，求$∠ DBE$的度数.
（2）若$△ BDE$的周长为24，$BF=15$，求FM的长.
图15.1-16
答案
6. （1）由条件可知DA=DB，EB=EC，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠EBC。在△ABC中，∠ABC=113°，
∴∠A+∠C=180°−113°=67°，
∴∠ABD+∠EBC=∠A+∠C=67°，
∴∠DBE=∠ABC−（∠ABD+∠EBC）=113°−67°=46° （2）如答图15，连接AF，CF。由条件可知△BDE的周长为BD+DE+BE=AD+DE+EC=AC=24。
∵F是AB，BC垂直平分线的交点，
∴FA=FB=FC=15。
∵FM⊥AC，
∴M是AC的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24$=12。在Rt△AFM中，$FM=\sqrt{AF^2-AM^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$
解析
【分析】
（1）求∠DBE的度数时，首先根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB、EB=EC，进而推出∠A=∠ABD，∠C=∠EBC；再结合三角形内角和为180°，先算出∠A+∠C的度数，即可得到∠ABD+∠EBC的和，最后用∠ABC减去这个和就能求出∠DBE的度数。
（2）求FM的长度时，首先利用垂直平分线的性质将△BDE的周长转化为AC的长度，得到AC的值；再连接AF、CF，根据垂直平分线的性质可知F到A、B、C三点距离相等，即FA=FB=FC，结合FM⊥AC，由等腰三角形三线合一可得M是AC中点，求出AM的长度，最后在直角三角形AFM中用勾股定理计算FM即可。
【解析】
（1）
∵$l_1$是AB的垂直平分线，$l_2$是BC的垂直平分线，
∴$DA=DB$，$EB=EC$，
∴$∠ A=∠ ABD$，$∠ C=∠ EBC$。
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ C+∠ ABC=180°$，已知$∠ ABC=113°$，
∴$∠ A+∠ C=180°-113°=67°$，
∴$∠ ABD+∠ EBC=∠ A+∠ C=67°$，
∴$∠ DBE=∠ ABC-(∠ ABD+∠ EBC)=113°-67°=46°$。
（2）如答图15，连接$AF$、$CF$。
∵$DA=DB$，$EB=EC$，
∴$△ BDE$的周长$=BD+DE+BE=AD+DE+EC=AC=24$。
∵$F$是AB、BC的垂直平分线的交点，
∴$FA=FB=FC=15$，即$△ FAC$为等腰三角形。
又
∵$FM⊥ AC$，
∴$M$是$AC$的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12$。
在$\mathrm{Rt}△ AFM$中，由勾股定理得：
$FM=\sqrt{AF^2-AM^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$。
【答案】
（1）$∠ DBE=46°$；（2）$FM=9$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理
【点评】
本题属于轴对称板块的基础综合题，解题核心是灵活运用线段垂直平分线的性质完成角、线段的等量转化，再结合三角形内角和、勾股定理完成计算，掌握垂直平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）求∠DBE的度数时，首先根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB、EB=EC，进而推出∠A=∠ABD，∠C=∠EBC；再结合三角形内角和为180°，先算出∠A+∠C的度数，即可得到∠ABD+∠EBC的和，最后用∠ABC减去这个和就能求出∠DBE的度数。
（2）求FM的长度时，首先利用垂直平分线的性质将△BDE的周长转化为AC的长度，得到AC的值；再连接AF、CF，根据垂直平分线的性质可知F到A、B、C三点距离相等，即FA=FB=FC，结合FM⊥AC，由等腰三角形三线合一可得M是AC中点，求出AM的长度，最后在直角三角形AFM中用勾股定理计算FM即可。
【解析】
（1）
∵$l_1$是AB的垂直平分线，$l_2$是BC的垂直平分线，
∴$DA=DB$，$EB=EC$，
∴$∠ A=∠ ABD$，$∠ C=∠ EBC$。
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ C+∠ ABC=180°$，已知$∠ ABC=113°$，
∴$∠ A+∠ C=180°-113°=67°$，
∴$∠ ABD+∠ EBC=∠ A+∠ C=67°$，
∴$∠ DBE=∠ ABC-(∠ ABD+∠ EBC)=113°-67°=46°$。
（2）如答图15，连接$AF$、$CF$。
∵$DA=DB$，$EB=EC$，
∴$△ BDE$的周长$=BD+DE+BE=AD+DE+EC=AC=24$。
∵$F$是AB、BC的垂直平分线的交点，
∴$FA=FB=FC=15$，即$△ FAC$为等腰三角形。
又
∵$FM⊥ AC$，
∴$M$是$AC$的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12$。
在$\mathrm{Rt}△ AFM$中，由勾股定理得：
$FM=\sqrt{AF^2-AM^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$。
【答案】
（1）$∠ DBE=46°$；（2）$FM=9$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理
【点评】
本题属于轴对称板块的基础综合题，解题核心是灵活运用线段垂直平分线的性质完成角、线段的等量转化，再结合三角形内角和、勾股定理完成计算，掌握垂直平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7.【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？
【自主研究】（1）如图15.1-17，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量，PA＜PB，请证明这个结论.
【迁移研究】（2）如图15.1-18，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同侧，点D是直线l上的任意一点，连接AD，BC，CD，试判断BC和AD＋CD之间的大小关系，并说明理由.
【自主研究】（1）如图15.1-17，直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量，PA＜PB，请证明这个结论.
【迁移研究】（2）如图15.1-18，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同侧，点D是直线l上的任意一点，连接AD，BC，CD，试判断BC和AD＋CD之间的大小关系，并说明理由.
答案
7. （1）如答图16，连接PA，PB与l交于点M，连接AM。
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，PB=PM+MB=PM+AM。
∵PM+AM＞PA，
∴PA＜PB （2）AD+CD≥BC。理由：当D不在线段BC上时，连接BD（如答图17）。
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD。
∵BD+CD＞BC，
∴AD+CD＞BC。当D在线段BC上时，AD+CD=BC。
∴AD+CD≥BC
解析
【分析】
（1）要证明PA＜PB，可借助线段垂直平分线的性质构造相等线段，将PB转化为两条线段的和，再结合三角形三边关系推导大小。首先连接PB与直线l的交点M和点A，由垂直平分线性质可得AM=BM，即可将PB替换为PM+AM，再根据三角形两边之和大于第三边即可完成证明。
（2）要判断AD+CD与BC的大小关系，首先利用线段垂直平分线的性质将AD转化为BD，此时AD+CD可转化为BD+CD，再分两种情况讨论：当点D在线段BC上时，BD+CD=BC；当点D不在线段BC上时，根据三角形三边关系可得BD+CD＞BC，综合两种情况即可得到最终结论。
【解析】
（1）证明：如答图16，连接PA、PB，设PB与直线l交于点M，连接AM。
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴PB=PM+MB=PM+AM。
在△PAM中，根据三角形三边关系可知：PM+AM＞PA，
∴PA＜PB。
（2）$AD+CD≥ BC$，理由如下：
①当D不在线段BC上时，连接BD（如答图17）。
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD。
在△BCD中，根据三角形三边关系可知：BD+CD＞BC，
∴AD+CD＞BC。
②当D在线段BC上时，BD+CD=BC，结合AD=BD可得AD+CD=BC。
综上可得$AD+CD≥ BC$。
【答案】
7. （1）如答图16，连接PA，PB与l交于点M，连接AM。
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，PB=PM+MB=PM+AM。
∵PM+AM＞PA，
∴PA＜PB （2）AD+CD≥BC。理由：当D不在线段BC上时，连接BD（如答图17）。
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD。
∵BD+CD＞BC，
∴AD+CD＞BC。当D在线段BC上时，AD+CD=BC。
∴AD+CD≥BC
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题围绕线段垂直平分线的性质设计，需要学生通过构造辅助线完成线段的等量转化，结合三角形三边关系判断线段大小，同时要注意对动点的位置进行分类讨论，避免遗漏相等的特殊情况，能够有效考查几何分析和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明PA＜PB，可借助线段垂直平分线的性质构造相等线段，将PB转化为两条线段的和，再结合三角形三边关系推导大小。首先连接PB与直线l的交点M和点A，由垂直平分线性质可得AM=BM，即可将PB替换为PM+AM，再根据三角形两边之和大于第三边即可完成证明。
（2）要判断AD+CD与BC的大小关系，首先利用线段垂直平分线的性质将AD转化为BD，此时AD+CD可转化为BD+CD，再分两种情况讨论：当点D在线段BC上时，BD+CD=BC；当点D不在线段BC上时，根据三角形三边关系可得BD+CD＞BC，综合两种情况即可得到最终结论。
【解析】
（1）证明：如答图16，连接PA、PB，设PB与直线l交于点M，连接AM。
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴PB=PM+MB=PM+AM。
在△PAM中，根据三角形三边关系可知：PM+AM＞PA，
∴PA＜PB。
（2）$AD+CD≥ BC$，理由如下：
①当D不在线段BC上时，连接BD（如答图17）。
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD。
在△BCD中，根据三角形三边关系可知：BD+CD＞BC，
∴AD+CD＞BC。
②当D在线段BC上时，BD+CD=BC，结合AD=BD可得AD+CD=BC。
综上可得$AD+CD≥ BC$。
【答案】
7. （1）如答图16，连接PA，PB与l交于点M，连接AM。
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，PB=PM+MB=PM+AM。
∵PM+AM＞PA，
∴PA＜PB （2）AD+CD≥BC。理由：当D不在线段BC上时，连接BD（如答图17）。
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD。
∵BD+CD＞BC，
∴AD+CD＞BC。当D在线段BC上时，AD+CD=BC。
∴AD+CD≥BC
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题围绕线段垂直平分线的性质设计，需要学生通过构造辅助线完成线段的等量转化，结合三角形三边关系判断线段大小，同时要注意对动点的位置进行分类讨论，避免遗漏相等的特殊情况，能够有效考查几何分析和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图15.1-19，在$△ ABC$中，$BC=7$，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则$△ AEG$的周长为（
A.5
B.6
C.7
D.8
C
）.A.5
B.6
C.7
D.8
答案
8. C
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。由题意可知DE是AB的垂直平分线、FG是AC的垂直平分线，因此可推出AE=BE、AG=CG。要求△AEG的周长，先写出周长表达式为AE+EG+AG，再将AE、AG用等长的线段BE、CG替换，即可将周长转化为BC的长度，代入已知BC的数值即可得到答案。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AE = BE。
∵FG是AC的垂直平分线，点G在FG上，
∴同理可得：AG = CG。
△AEG的周长 = AE + EG + AG，
将AE=BE、AG=CG代入上式，可得：
△AEG的周长 = BE + EG + CG = BC。
已知BC=7，因此△AEG的周长为7。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用题，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是通过线段等量代换将未知三角形的周长转化为已知长度的线段，掌握该性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。由题意可知DE是AB的垂直平分线、FG是AC的垂直平分线，因此可推出AE=BE、AG=CG。要求△AEG的周长，先写出周长表达式为AE+EG+AG，再将AE、AG用等长的线段BE、CG替换，即可将周长转化为BC的长度，代入已知BC的数值即可得到答案。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AE = BE。
∵FG是AC的垂直平分线，点G在FG上，
∴同理可得：AG = CG。
△AEG的周长 = AE + EG + AG，
将AE=BE、AG=CG代入上式，可得：
△AEG的周长 = BE + EG + CG = BC。
已知BC=7，因此△AEG的周长为7。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用题，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是通过线段等量代换将未知三角形的周长转化为已知长度的线段，掌握该性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图15.1-20，在$△ ABC$中，$AB=AC$，分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD。若$∠ A=42°$，则$∠ CBD$的度数为（$\quad$）。
A.$21°$
B.$27°$
C.$30°$
D.$34.5°$
图15.1-19 图15.1-20
A.$21°$
B.$27°$
C.$30°$
D.$34.5°$
图15.1-19 图15.1-20
答案
B
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：第一步先识别作图类型，题目中描述的尺规作图方法是作线段AB的垂直平分线，因此MN是AB的垂直平分线；第二步运用垂直平分线的性质，可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；第三步结合等腰△ABC的内角和性质算出底角∠ABC的度数，最后用∠ABC减去∠ABD即可得到∠CBD的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∵点D在MN上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=42°。
2.
∵AB=AC，∠A=42°，
∴△ABC是等腰三角形，底角∠ABC=∠ACB，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ABC=(180°-∠A)÷2=(180°-42°)÷2=69°。
3.
∴∠CBD=∠ABC - ∠ABD=69°-42°=27°。
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线的尺规作图；垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的基础常考题，将尺规作图识别与等腰三角形、垂直平分线的性质结合考查，难度不高，熟练掌握相关性质和作图规则即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步梳理：第一步先识别作图类型，题目中描述的尺规作图方法是作线段AB的垂直平分线，因此MN是AB的垂直平分线；第二步运用垂直平分线的性质，可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；第三步结合等腰△ABC的内角和性质算出底角∠ABC的度数，最后用∠ABC减去∠ABD即可得到∠CBD的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∵点D在MN上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=42°。
2.
∵AB=AC，∠A=42°，
∴△ABC是等腰三角形，底角∠ABC=∠ACB，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ABC=(180°-∠A)÷2=(180°-42°)÷2=69°。
3.
∴∠CBD=∠ABC - ∠ABD=69°-42°=27°。
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线的尺规作图；垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的基础常考题，将尺规作图识别与等腰三角形、垂直平分线的性质结合考查，难度不高，熟练掌握相关性质和作图规则即可快速求解。
【难度系数】
0.7
