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1.计算：$3a(a+2)=$.
答案
$\boldsymbol{3a^2+6a}$
解析
【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路是运用单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘以多项式中的每一项，再将所得的积相加。本题中单项式为3a，多项式a+2包含a、2两项，先分别计算3a与a的乘积、3a与2的乘积，再把两个乘积合并即可得到结果。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{split}3a(a+2)&=3a· a + 3a×2\\&=3a^2 + 6a\end{split}$
【答案】
$\boldsymbol{3a^2+6a}$
【知识点】
1.单项式乘多项式法则 2.同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是对单项式乘多项式运算法则的掌握，计算时需注意不要漏乘多项式的项，同时要保证系数和同底数幂运算的准确性。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路是运用单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘以多项式中的每一项，再将所得的积相加。本题中单项式为3a，多项式a+2包含a、2两项，先分别计算3a与a的乘积、3a与2的乘积，再把两个乘积合并即可得到结果。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{split}3a(a+2)&=3a· a + 3a×2\\&=3a^2 + 6a\end{split}$
【答案】
$\boldsymbol{3a^2+6a}$
【知识点】
1.单项式乘多项式法则 2.同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是对单项式乘多项式运算法则的掌握，计算时需注意不要漏乘多项式的项，同时要保证系数和同底数幂运算的准确性。
【难度系数】
0.9
2.若一个长方形的长、宽分别为2x，2x－1，则它的面积等于.
答案
$\boldsymbol{4x^2 - 2x}$
解析
【分析】
解题时首先回忆长方形的面积计算公式，明确面积等于长乘宽；再将题目给出的长和宽代入公式，得到单项式乘多项式的运算式；最后按照单项式乘多项式的运算法则计算：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即可求出结果。
【解析】
解：根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入已知的长$2x$、宽$2x-1$，可得：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=2x·(2x-1)\\&=2x·2x + 2x·(-1)\\&=4x^2 - 2x\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{4x^2 - 2x}$
【知识点】
长方形面积计算、单项式乘多项式运算
【点评】
本题是基础运算题，将几何面积求解和整式乘法结合考察，只要熟记相关公式和运算法则就能顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆长方形的面积计算公式，明确面积等于长乘宽；再将题目给出的长和宽代入公式，得到单项式乘多项式的运算式；最后按照单项式乘多项式的运算法则计算：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即可求出结果。
【解析】
解：根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入已知的长$2x$、宽$2x-1$，可得：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=2x·(2x-1)\\&=2x·2x + 2x·(-1)\\&=4x^2 - 2x\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{4x^2 - 2x}$
【知识点】
长方形面积计算、单项式乘多项式运算
【点评】
本题是基础运算题，将几何面积求解和整式乘法结合考察，只要熟记相关公式和运算法则就能顺利求解。
【难度系数】
0.9
3.若$2a^2 + 3a -6=0$,则$3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)=$.
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
本题已知关于a的二次方程，若直接求解a的值再代入计算会比较繁琐，因此优先采用“先化简再整体代入”的思路。第一步先根据整式乘法法则、平方差公式展开所求代数式，第二步合并同类项后将其整理为含有“2a²+3a”的形式，第三步结合已知条件求出2a²+3a的值，整体代入即可算出结果。
【解析】
首先化简所求代数式：
1. 利用单项式乘多项式法则计算$3a(2a+1)=6a^2+3a$；
2. 利用平方差公式计算$(2a+1)(2a-1)=(2a)^2-1^2=4a^2-1$；
3. 代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=6a^2+3a-(4a^2-1)\\&=6a^2+3a-4a^2+1\\&=2a^2+3a+1\end{aligned}$
已知$2a^2+3a-6=0$，移项可得$2a^2+3a=6$，将其代入化简后的式子：
原式$=6+1=7$
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
整式的乘法运算，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题属于整式化简求值的常规题型，核心技巧是避免直接求解未知数，通过整体代入已知式的变形结果简化计算，熟练掌握整式运算的相关法则和公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
本题已知关于a的二次方程，若直接求解a的值再代入计算会比较繁琐，因此优先采用“先化简再整体代入”的思路。第一步先根据整式乘法法则、平方差公式展开所求代数式，第二步合并同类项后将其整理为含有“2a²+3a”的形式，第三步结合已知条件求出2a²+3a的值，整体代入即可算出结果。
【解析】
首先化简所求代数式：
1. 利用单项式乘多项式法则计算$3a(2a+1)=6a^2+3a$；
2. 利用平方差公式计算$(2a+1)(2a-1)=(2a)^2-1^2=4a^2-1$；
3. 代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=6a^2+3a-(4a^2-1)\\&=6a^2+3a-4a^2+1\\&=2a^2+3a+1\end{aligned}$
已知$2a^2+3a-6=0$，移项可得$2a^2+3a=6$，将其代入化简后的式子：
原式$=6+1=7$
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
整式的乘法运算，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题属于整式化简求值的常规题型，核心技巧是避免直接求解未知数，通过整体代入已知式的变形结果简化计算，熟练掌握整式运算的相关法则和公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
4.若关于x的整式ax与3x+b的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则a+b=。
答案
解：
计算两个整式的乘积：
$ax·(3x + b) = 3ax^2 + abx$
由题意，乘积中所有项的系数都是1，可得方程组：
$\begin{cases}3a = 1 \\ ab = 1\end{cases}$
由$3a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$，
将$a=\frac{1}{3}$代入$ab=1$，得$\frac{1}{3}b=1$，解得$b=3$，
因此$a+b=\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}$。
计算两个整式的乘积：
$ax·(3x + b) = 3ax^2 + abx$
由题意，乘积中所有项的系数都是1，可得方程组：
$\begin{cases}3a = 1 \\ ab = 1\end{cases}$
由$3a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$，
将$a=\frac{1}{3}$代入$ab=1$，得$\frac{1}{3}b=1$，解得$b=3$，
因此$a+b=\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}$。
解析
【分析】
解题时首先明确思路：第一步运用单项式乘多项式的法则计算ax与3x+b的乘积，将其整理为多项式的标准形式；第二步根据“乘积中所有项的系数都是1”的条件，令展开式中每一项的系数分别等于1，得到关于a、b的方程；第三步依次求解方程得到a、b的取值，最后代入a+b计算即可得到结果。
【解析】
首先计算两个整式的乘积：
$ax·(3x + b) = 3ax^2 + abx$
由题意，乘积中所有项的系数都是1，可列方程组：
$\begin{cases}3a = 1 \\ ab = 1\end{cases}$
先解$3a=1$，得$a=\frac{1}{3}$，
将$a=\frac{1}{3}$代入$ab=1$，可得$\frac{1}{3}b=1$，解得$b=3$，
因此$a+b=\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
单项式乘多项式、一元一次方程的解法、代数式求值
【点评】
本题属于整式乘法与方程结合的基础题型，解题关键是正确展开整式乘积，准确提取对应项的系数建立方程，计算时注意系数运算的准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确思路：第一步运用单项式乘多项式的法则计算ax与3x+b的乘积，将其整理为多项式的标准形式；第二步根据“乘积中所有项的系数都是1”的条件，令展开式中每一项的系数分别等于1，得到关于a、b的方程；第三步依次求解方程得到a、b的取值，最后代入a+b计算即可得到结果。
【解析】
首先计算两个整式的乘积：
$ax·(3x + b) = 3ax^2 + abx$
由题意，乘积中所有项的系数都是1，可列方程组：
$\begin{cases}3a = 1 \\ ab = 1\end{cases}$
先解$3a=1$，得$a=\frac{1}{3}$，
将$a=\frac{1}{3}$代入$ab=1$，可得$\frac{1}{3}b=1$，解得$b=3$，
因此$a+b=\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
单项式乘多项式、一元一次方程的解法、代数式求值
【点评】
本题属于整式乘法与方程结合的基础题型，解题关键是正确展开整式乘积，准确提取对应项的系数建立方程，计算时注意系数运算的准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了.
被污染的整式◆=；■=.
被污染的整式◆=；■=.
答案
解：
设被污染的整式◆为A，
由去括号的法则可得：$-3A = -6x + 3$
则$A = (-6x + 3) ÷ (-3) = 2x - 1$
对多项式合并同类项：
$x^2 + 2x - 6x + 3 = x^2 - 4x + 3$
被污染的整式◆=$\boldsymbol{2x-1}$；■=$\boldsymbol{x^2-4x+3}$。
设被污染的整式◆为A，
由去括号的法则可得：$-3A = -6x + 3$
则$A = (-6x + 3) ÷ (-3) = 2x - 1$
对多项式合并同类项：
$x^2 + 2x - 6x + 3 = x^2 - 4x + 3$
被污染的整式◆=$\boldsymbol{2x-1}$；■=$\boldsymbol{x^2-4x+3}$。
解析
【分析】
要解决本题，我们可以分两步思考：第一步求被污染的◆，先设◆为整式A，观察等式变形可知，x(x+2)展开后为x²+2x，剩下的-3·A展开后对应式子里的-6x+3，通过这个逆向关系就能求出A的值；第二步求被污染的■，只需对展开后的多项式合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
设被污染的整式◆为A，
根据去括号的运算关系可得：$-3A = -6x + 3$
等式两边同时除以$-3$，解得：
$A = (-6x + 3) ÷ (-3) = 2x - 1$，即◆为$2x-1$。
再对多项式$x^2 + 2x - 6x + 3$合并同类项：
$x^2 + 2x - 6x + 3 = x^2 + (2-6)x + 3 = x^2 - 4x + 3$，即■为$x^2-4x+3$。
【答案】
$2x-1$；$x^2-4x+3$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式乘除运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，既考查了去括号的正向和逆向运用，也检验了合并同类项的基本技能，能帮助学生巩固整式运算的相关基础。
【难度系数】
0.8
要解决本题，我们可以分两步思考：第一步求被污染的◆，先设◆为整式A，观察等式变形可知，x(x+2)展开后为x²+2x，剩下的-3·A展开后对应式子里的-6x+3，通过这个逆向关系就能求出A的值；第二步求被污染的■，只需对展开后的多项式合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
设被污染的整式◆为A，
根据去括号的运算关系可得：$-3A = -6x + 3$
等式两边同时除以$-3$，解得：
$A = (-6x + 3) ÷ (-3) = 2x - 1$，即◆为$2x-1$。
再对多项式$x^2 + 2x - 6x + 3$合并同类项：
$x^2 + 2x - 6x + 3 = x^2 + (2-6)x + 3 = x^2 - 4x + 3$，即■为$x^2-4x+3$。
【答案】
$2x-1$；$x^2-4x+3$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式乘除运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，既考查了去括号的正向和逆向运用，也检验了合并同类项的基本技能，能帮助学生巩固整式运算的相关基础。
【难度系数】
0.8
6.若$-5x^2(x^2 + ax) + 5x^2 + 2$的展开式中不含$x^3$项，则$a=$。
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要利用单项式乘多项式的法则将原式展开，再合并同类项找到$x^3$项的系数。题目中“展开式中不含$x^3$项”的含义是$x^3$项的系数为0，据此列出关于$a$的方程求解即可得到$a$的值。
【解析】
首先展开原式：
$\begin{aligned}-5x^2(x^2 + ax) + 5x^2 + 2&=-5x^2· x^2 -5x^2· ax +5x^2 +2\\&=-5x^4 -5a x^3 +5x^2 +2\end{aligned}$
因为展开式中不含$x^3$项，所以$x^3$项的系数为0，即：
$-5a=0$
解得$a=0$。
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 合并同类项
3. 多项式项的系数
【点评】
本题是整式乘法的基础常考题，解题的核心是理解“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，掌握单项式乘多项式法则和合并同类项方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
要解决这个问题，首先需要利用单项式乘多项式的法则将原式展开，再合并同类项找到$x^3$项的系数。题目中“展开式中不含$x^3$项”的含义是$x^3$项的系数为0，据此列出关于$a$的方程求解即可得到$a$的值。
【解析】
首先展开原式：
$\begin{aligned}-5x^2(x^2 + ax) + 5x^2 + 2&=-5x^2· x^2 -5x^2· ax +5x^2 +2\\&=-5x^4 -5a x^3 +5x^2 +2\end{aligned}$
因为展开式中不含$x^3$项，所以$x^3$项的系数为0，即：
$-5a=0$
解得$a=0$。
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 合并同类项
3. 多项式项的系数
【点评】
本题是整式乘法的基础常考题，解题的核心是理解“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，掌握单项式乘多项式法则和合并同类项方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
7.计算：
(1)$(-6x) · (x - 3y)$；
(2)$(-2ab) · (2a^2 + ab - 2b^2)$。
(1)$(-6x) · (x - 3y)$；
(2)$(-2ab) · (2a^2 + ab - 2b^2)$。
答案
解：
(1) 原式 = (-6x)·x + (-6x)·(-3y)
= -6x² + 18xy
(2) 原式 = (-2ab)·2a² + (-2ab)·ab + (-2ab)·(-2b²)
= -4a³b - 2a²b² + 4ab³
(1) 原式 = (-6x)·x + (-6x)·(-3y)
= -6x² + 18xy
(2) 原式 = (-2ab)·2a² + (-2ab)·ab + (-2ab)·(-2b²)
= -4a³b - 2a²b² + 4ab³
解析
【分析】
这两道题均为单项式乘多项式的运算，解题思路如下：①首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加；②拆分运算：将原式拆分为多个单项式乘单项式的运算之和；③分别计算每个单项式乘法：计算时注意系数的符号（同号得正、异号得负），同底数幂相乘时底数不变、指数相加；④整理所有乘积得到最终结果，注意不要漏乘多项式的任意一项。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开：
原式 $= (-6x)·x + (-6x)·(-3y)$
分别计算单项式乘法：
$= -6x^2 + 18xy$
(2) 根据单项式乘多项式法则展开：
原式 $= (-2ab)·2a^2 + (-2ab)·ab + (-2ab)·(-2b^2)$
分别计算单项式乘法：
$= -4a^3b - 2a^2b^2 + 4ab^3$
【答案】
(1) $\boxed{-6x^2 + 18xy}$；(2) $\boxed{-4a^3b - 2a^2b^2 + 4ab^3}$
【知识点】
单项式乘多项式、单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，重点考查对单项式乘多项式分配律的应用，计算时需格外注意符号的判断，不要漏乘多项式的项，熟练掌握同底数幂的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
这两道题均为单项式乘多项式的运算，解题思路如下：①首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加；②拆分运算：将原式拆分为多个单项式乘单项式的运算之和；③分别计算每个单项式乘法：计算时注意系数的符号（同号得正、异号得负），同底数幂相乘时底数不变、指数相加；④整理所有乘积得到最终结果，注意不要漏乘多项式的任意一项。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开：
原式 $= (-6x)·x + (-6x)·(-3y)$
分别计算单项式乘法：
$= -6x^2 + 18xy$
(2) 根据单项式乘多项式法则展开：
原式 $= (-2ab)·2a^2 + (-2ab)·ab + (-2ab)·(-2b^2)$
分别计算单项式乘法：
$= -4a^3b - 2a^2b^2 + 4ab^3$
【答案】
(1) $\boxed{-6x^2 + 18xy}$；(2) $\boxed{-4a^3b - 2a^2b^2 + 4ab^3}$
【知识点】
单项式乘多项式、单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，重点考查对单项式乘多项式分配律的应用，计算时需格外注意符号的判断，不要漏乘多项式的项，熟练掌握同底数幂的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8.计算:$(-3x^3y)(4x - 3x^2 - 1)$.
解:原式$=-3x^3y · 4x - 3x^3y · 3x^2$
$=-12x^4y - 9x^5y$.
请指出以上求解过程有几处错误,并写出正确的求解过程.
解:原式$=-3x^3y · 4x - 3x^3y · 3x^2$
$=-12x^4y - 9x^5y$.
请指出以上求解过程有几处错误,并写出正确的求解过程.
答案
解：原求解过程共有2处错误：
1. 运用单项式乘多项式法则展开时，漏乘了多项式的第三项-1；
2. 符号运算错误，-3x³y与-3x²相乘的结果符号应为正。
正确求解过程：
原式 = (-3x³y)·4x + (-3x³y)·(-3x²) + (-3x³y)·(-1)
= -12x⁴y + 9x⁵y + 3x³y
1. 运用单项式乘多项式法则展开时，漏乘了多项式的第三项-1；
2. 符号运算错误，-3x³y与-3x²相乘的结果符号应为正。
正确求解过程：
原式 = (-3x³y)·4x + (-3x³y)·(-3x²) + (-3x³y)·(-1)
= -12x⁴y + 9x⁵y + 3x³y
解析
【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题时首先回忆对应运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。判断错误时可从两个维度排查：一是检查是否覆盖了多项式的所有项，有无漏乘；二是检查每一项相乘时的符号运算是否正确，同时验证同底数幂相乘时指数计算是否合规。观察原解题过程，第一步展开时仅乘了多项式前两项，漏乘了第三项-1；其次计算$-3x^3y$与$-3x^2$的乘积时，负负得正，原结果符号为负，属于符号运算错误，共2处错误。正确计算时需逐项相乘，严格遵循符号规则和同底数幂运算规则。
【解析】
首先指出原求解过程的2处错误：
1. 运用单项式乘多项式法则展开时，漏乘了多项式的第三项$-1$；
2. 符号运算错误，$-3x^3y$与$-3x^2$为同号相乘，结果符号应为正，原计算符号错误。
正确求解步骤：
根据单项式乘多项式法则展开每一项：
原式$=(-3x^3y)·4x + (-3x^3y)·(-3x^2) + (-3x^3y)·(-1)$
分别计算每一项的乘积（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）：
$=-12x^{3+1}y + 9x^{3+2}y + 3x^3y$
$=-12x^4y + 9x^5y + 3x^3y$
【答案】
原求解过程共有2处错误：
1. 运用单项式乘多项式法则展开时，漏乘了多项式的第三项-1；
2. 符号运算错误，$-3x^3y$与$-3x^2$相乘的结果符号应为正。
正确求解过程：
原式$= (-3x^3y)·4x + (-3x^3y)·(-3x^2) + (-3x^3y)·(-1)$
$= -12x^4y + 9x^5y + 3x^3y$
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查单项式乘多项式的运算规则，常见易错点为漏乘多项式的项、符号运算出错。解题时要注意将单项式与多项式的每一项（需携带该项本身的符号）依次相乘，再合并所有乘积，即可避免失误。
【难度系数】
0.7
本题考查单项式乘多项式的运算，解题时首先回忆对应运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。判断错误时可从两个维度排查：一是检查是否覆盖了多项式的所有项，有无漏乘；二是检查每一项相乘时的符号运算是否正确，同时验证同底数幂相乘时指数计算是否合规。观察原解题过程，第一步展开时仅乘了多项式前两项，漏乘了第三项-1；其次计算$-3x^3y$与$-3x^2$的乘积时，负负得正，原结果符号为负，属于符号运算错误，共2处错误。正确计算时需逐项相乘，严格遵循符号规则和同底数幂运算规则。
【解析】
首先指出原求解过程的2处错误：
1. 运用单项式乘多项式法则展开时，漏乘了多项式的第三项$-1$；
2. 符号运算错误，$-3x^3y$与$-3x^2$为同号相乘，结果符号应为正，原计算符号错误。
正确求解步骤：
根据单项式乘多项式法则展开每一项：
原式$=(-3x^3y)·4x + (-3x^3y)·(-3x^2) + (-3x^3y)·(-1)$
分别计算每一项的乘积（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）：
$=-12x^{3+1}y + 9x^{3+2}y + 3x^3y$
$=-12x^4y + 9x^5y + 3x^3y$
【答案】
原求解过程共有2处错误：
1. 运用单项式乘多项式法则展开时，漏乘了多项式的第三项-1；
2. 符号运算错误，$-3x^3y$与$-3x^2$相乘的结果符号应为正。
正确求解过程：
原式$= (-3x^3y)·4x + (-3x^3y)·(-3x^2) + (-3x^3y)·(-1)$
$= -12x^4y + 9x^5y + 3x^3y$
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查单项式乘多项式的运算规则，常见易错点为漏乘多项式的项、符号运算出错。解题时要注意将单项式与多项式的每一项（需携带该项本身的符号）依次相乘，再合并所有乘积，即可避免失误。
【难度系数】
0.7
9. 提升题 某居民小组在进行美丽乡村建设中，计划将一长为$5a\ \mathrm{m}$、宽为$2b\ \mathrm{m}$的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示。具体规划为在这个场地一角分割出一块长为$(3a＋1)\mathrm{m}$、宽为$b\ \mathrm{m}$的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面。
(1)用含$a$，$b$的式子表示篮球场地的面积$S_1$和安装健身器材区域的地面面积$S_2$；
(2)当$a＝9$，$b＝15$时，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用$M$。
(1)用含$a$，$b$的式子表示篮球场地的面积$S_1$和安装健身器材区域的地面面积$S_2$；
(2)当$a＝9$，$b＝15$时，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用$M$。
答案
解：
(1) 篮球场地的面积：
$S_1 = b·(3a+1) = 3ab + b$
原长方形场地的总面积为：$5a· 2b = 10ab$
因此安装健身器材区域的地面面积：
$S_2 = 10ab - S_1 = 10ab - (3ab + b) = 7ab - b$
(2) 总费用$M$的计算式为：
$M = 100S_1 + 50S_2$
将$S_1=3ab+b$，$S_2=7ab-b$代入得：
$\begin{aligned}M &= 100(3ab + b) + 50(7ab - b) \\&= 300ab + 100b + 350ab - 50b \\&= 650ab + 50b\end{aligned}$
当$a=9$，$b=15$时：
$\begin{aligned}M &= 650×9×15 + 50×15 \\&= 87750 + 750 \\&= 88500\end{aligned}$
答：建设该居民健身场所所需的地面总费用为88500元。
(1) 篮球场地的面积：
$S_1 = b·(3a+1) = 3ab + b$
原长方形场地的总面积为：$5a· 2b = 10ab$
因此安装健身器材区域的地面面积：
$S_2 = 10ab - S_1 = 10ab - (3ab + b) = 7ab - b$
(2) 总费用$M$的计算式为：
$M = 100S_1 + 50S_2$
将$S_1=3ab+b$，$S_2=7ab-b$代入得：
$\begin{aligned}M &= 100(3ab + b) + 50(7ab - b) \\&= 300ab + 100b + 350ab - 50b \\&= 650ab + 50b\end{aligned}$
当$a=9$，$b=15$时：
$\begin{aligned}M &= 650×9×15 + 50×15 \\&= 87750 + 750 \\&= 88500\end{aligned}$
答：建设该居民健身场所所需的地面总费用为88500元。
解析
【分析】
(1) 求解面积问题首先回忆长方形面积公式：面积=长×宽。计算篮球场面积$S_1$时，直接将篮球场的长$(3a+1)\mathrm{m}$、宽$b\ \mathrm{m}$代入公式即可；安装健身器材区域的面积$S_2$等于大长方形场地总面积减去篮球场面积，先算出大长方形（长$5a\ \mathrm{m}$、宽$2b\ \mathrm{m}$）的总面积，再减去$S_1$即可得到$S_2$的表达式。
(2) 求解总费用时，根据“总费用=塑胶地面总费用+水泥地面总费用”，其中单类地面费用=单价×对应面积，先列出总费用$M$的表达式，将$S_1$、$S_2$代入后先化简整式，再把$a=9$、$b=15$代入化简后的式子计算，可降低计算出错的概率。
【解析】
(1) 根据长方形面积公式：
篮球场地面积 $S_1 = b·(3a+1) = 3ab + b$（单位：$\mathrm{m}^2$）
大长方形场地总面积为：$5a· 2b = 10ab$（单位：$\mathrm{m}^2$）
因此安装健身器材区域的地面面积：
$S_2 = 10ab - S_1 = 10ab - (3ab + b) = 7ab - b$（单位：$\mathrm{m}^2$）
(2) 总费用$M$的计算式为：
$M = 100S_1 + 50S_2$
将$S_1=3ab+b$，$S_2=7ab-b$代入得：
$\begin{aligned}M &= 100(3ab + b) + 50(7ab - b) \\&= 300ab + 100b + 350ab - 50b \\&= 650ab + 50b\end{aligned}$
当$a=9$，$b=15$时：
$\begin{aligned}M &= 650×9×15 + 50×15 \\&= 87750 + 750 \\&= 88500\end{aligned}$
【答案】
(1) $S_1=(3ab+b)\ \mathrm{m}^2$，$S_2=(7ab-b)\ \mathrm{m}^2$；
(2) 建设该居民健身场所所需的地面总费用为88500元。
【知识点】
整式的乘法、列代数式、代数式求值
【点评】
本题结合实际生活场景考查整式运算的应用，解题核心是熟练掌握长方形面积公式和整式的运算法则，先化简代数式再代入数值计算可有效减少计算量，提升计算准确率。
【难度系数】
0.7
(1) 求解面积问题首先回忆长方形面积公式：面积=长×宽。计算篮球场面积$S_1$时，直接将篮球场的长$(3a+1)\mathrm{m}$、宽$b\ \mathrm{m}$代入公式即可；安装健身器材区域的面积$S_2$等于大长方形场地总面积减去篮球场面积，先算出大长方形（长$5a\ \mathrm{m}$、宽$2b\ \mathrm{m}$）的总面积，再减去$S_1$即可得到$S_2$的表达式。
(2) 求解总费用时，根据“总费用=塑胶地面总费用+水泥地面总费用”，其中单类地面费用=单价×对应面积，先列出总费用$M$的表达式，将$S_1$、$S_2$代入后先化简整式，再把$a=9$、$b=15$代入化简后的式子计算，可降低计算出错的概率。
【解析】
(1) 根据长方形面积公式：
篮球场地面积 $S_1 = b·(3a+1) = 3ab + b$（单位：$\mathrm{m}^2$）
大长方形场地总面积为：$5a· 2b = 10ab$（单位：$\mathrm{m}^2$）
因此安装健身器材区域的地面面积：
$S_2 = 10ab - S_1 = 10ab - (3ab + b) = 7ab - b$（单位：$\mathrm{m}^2$）
(2) 总费用$M$的计算式为：
$M = 100S_1 + 50S_2$
将$S_1=3ab+b$，$S_2=7ab-b$代入得：
$\begin{aligned}M &= 100(3ab + b) + 50(7ab - b) \\&= 300ab + 100b + 350ab - 50b \\&= 650ab + 50b\end{aligned}$
当$a=9$，$b=15$时：
$\begin{aligned}M &= 650×9×15 + 50×15 \\&= 87750 + 750 \\&= 88500\end{aligned}$
【答案】
(1) $S_1=(3ab+b)\ \mathrm{m}^2$，$S_2=(7ab-b)\ \mathrm{m}^2$；
(2) 建设该居民健身场所所需的地面总费用为88500元。
【知识点】
整式的乘法、列代数式、代数式求值
【点评】
本题结合实际生活场景考查整式运算的应用，解题核心是熟练掌握长方形面积公式和整式的运算法则，先化简代数式再代入数值计算可有效减少计算量，提升计算准确率。
【难度系数】
0.7
