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1.计算:
(1)$3a^2 · 2a^3 =$ ;
(2)$(-9a^2b^3) · 8ab^2 =$ ;
(3)$3x^2y · (-2xy^3) =$ .
(1)$3a^2 · 2a^3 =$ ;
(2)$(-9a^2b^3) · 8ab^2 =$ ;
(3)$3x^2y · (-2xy^3) =$ .
答案
(1) $\boldsymbol{6a^5}$；
(2) $\boldsymbol{-72a^3b^5}$；
(3) $\boldsymbol{-6x^3y^4}$。
(2) $\boldsymbol{-72a^3b^5}$；
(3) $\boldsymbol{-6x^3y^4}$。
解析
【分析】
这三道题均为单项式乘单项式的运算，解题时遵循单项式乘单项式的运算法则即可：第一步先计算各单项式系数的乘积，注意带符号计算，负号不能遗漏；第二步对相同字母的幂做运算，按照同底数幂乘法规则“底数不变，指数相加”计算；第三步将系数乘积与各字母的幂的结果合并，得到最终的积。
【解析】
(1) 计算$3a^2 · 2a^3$：
先算系数乘积：$3×2=6$
再算同底数幂的乘积：$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$
合并结果得：$6a^5$
(2) 计算$(-9a^2b^3) · 8ab^2$：
先算系数乘积：$(-9)×8=-72$
再分别计算同底数幂的乘积：$a^2· a=a^{2+1}=a^3$，$b^3· b^2=b^{3+2}=b^5$
合并结果得：$-72a^3b^5$
(3) 计算$3x^2y · (-2xy^3)$：
先算系数乘积：$3×(-2)=-6$
再分别计算同底数幂的乘积：$x^2· x=x^{2+1}=x^3$，$y· y^3=y^{1+3}=y^4$
合并结果得：$-6x^3y^4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{6a^5}$；
(2) $\boldsymbol{-72a^3b^5}$；
(3) $\boldsymbol{-6x^3y^4}$
【知识点】
1. 单项式乘单项式
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心考查单项式乘单项式的运算规则，运算时需格外注意系数的符号和指数的运算规则，熟练掌握该类运算可以为后续学习整式混合运算打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
这三道题均为单项式乘单项式的运算，解题时遵循单项式乘单项式的运算法则即可：第一步先计算各单项式系数的乘积，注意带符号计算，负号不能遗漏；第二步对相同字母的幂做运算，按照同底数幂乘法规则“底数不变，指数相加”计算；第三步将系数乘积与各字母的幂的结果合并，得到最终的积。
【解析】
(1) 计算$3a^2 · 2a^3$：
先算系数乘积：$3×2=6$
再算同底数幂的乘积：$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$
合并结果得：$6a^5$
(2) 计算$(-9a^2b^3) · 8ab^2$：
先算系数乘积：$(-9)×8=-72$
再分别计算同底数幂的乘积：$a^2· a=a^{2+1}=a^3$，$b^3· b^2=b^{3+2}=b^5$
合并结果得：$-72a^3b^5$
(3) 计算$3x^2y · (-2xy^3)$：
先算系数乘积：$3×(-2)=-6$
再分别计算同底数幂的乘积：$x^2· x=x^{2+1}=x^3$，$y· y^3=y^{1+3}=y^4$
合并结果得：$-6x^3y^4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{6a^5}$；
(2) $\boldsymbol{-72a^3b^5}$；
(3) $\boldsymbol{-6x^3y^4}$
【知识点】
1. 单项式乘单项式
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心考查单项式乘单项式的运算规则，运算时需格外注意系数的符号和指数的运算规则，熟练掌握该类运算可以为后续学习整式混合运算打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
2. 下列各式:①$3x^3 · 4x^5 = 7x^8$；②$2x^3 · 3x^3 = 6x^6$；③$(x^3)^5 = x^8$；④$(3xy)^3 = 9x^3y^3$. 其中正确的是（填序号）。
答案
②
解析
【分析】
本题考查整式乘法相关的运算规则，解题时需依次运用单项式乘单项式法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，对4个式子分别计算出正确结果，再与原式对比判断正误，最终筛选出正确的序号。
【解析】
我们结合整式乘法的相关法则逐个判断：
1. 单项式乘单项式法则：系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
2. 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
3. 积的乘方法则：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
①计算$3x^3 · 4x^5$：系数$3×4=12$，同底数幂部分$x^3·x^5=x^{3+5}=x^8$，正确结果为$12x^8$，原式错误；
②计算$2x^3 · 3x^3$：系数$2×3=6$，同底数幂部分$x^3·x^3=x^{3+3}=x^6$，结果为$6x^6$，原式正确；
③计算$(x^3)^5$：根据幂的乘方法则，结果为$x^{3×5}=x^{15}$，原式错误；
④计算$(3xy)^3$：根据积的乘方法则，结果为$3^3·x^3·y^3=27x^3y^3$，原式错误。
综上，只有②是正确的。
【答案】
②
【知识点】
单项式乘单项式；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查对幂的各类运算法则的理解与运用，做题时需注意区分不同法则中指数的运算规则，避免混淆系数运算和指数运算的要求。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法相关的运算规则，解题时需依次运用单项式乘单项式法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，对4个式子分别计算出正确结果，再与原式对比判断正误，最终筛选出正确的序号。
【解析】
我们结合整式乘法的相关法则逐个判断：
1. 单项式乘单项式法则：系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
2. 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
3. 积的乘方法则：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
①计算$3x^3 · 4x^5$：系数$3×4=12$，同底数幂部分$x^3·x^5=x^{3+5}=x^8$，正确结果为$12x^8$，原式错误；
②计算$2x^3 · 3x^3$：系数$2×3=6$，同底数幂部分$x^3·x^3=x^{3+3}=x^6$，结果为$6x^6$，原式正确；
③计算$(x^3)^5$：根据幂的乘方法则，结果为$x^{3×5}=x^{15}$，原式错误；
④计算$(3xy)^3$：根据积的乘方法则，结果为$3^3·x^3·y^3=27x^3y^3$，原式错误。
综上，只有②是正确的。
【答案】
②
【知识点】
单项式乘单项式；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查对幂的各类运算法则的理解与运用，做题时需注意区分不同法则中指数的运算规则，避免混淆系数运算和指数运算的要求。
【难度系数】
0.8
3.计算：
(1)$(-2x^2y)^2 · 3xy^4 =$ ；
(2)()$× 2xy = 18x^3y^2$；
(3)$\frac{1}{3}a^2b^{m+1} · (-9a^3b^{m-1}) =$
。
(1)$(-2x^2y)^2 · 3xy^4 =$ ；
(2)()$× 2xy = 18x^3y^2$；
(3)$\frac{1}{3}a^2b^{m+1} · (-9a^3b^{m-1}) =$
。
答案
(1) $\boldsymbol{12x^5y^6}$
(2) $\boldsymbol{9x^2y}$
(3) $\boldsymbol{-3a^5b^{2m}}$
(2) $\boldsymbol{9x^2y}$
(3) $\boldsymbol{-3a^5b^{2m}}$
解析
【分析】
本题考查整式的乘除运算，解题思路如下：
(1) 先根据积的乘方法则计算乘方部分，再按照单项式乘单项式的法则计算乘法：系数相乘作为新的系数，相同字母的幂分别相乘，底数不变指数相加；
(2) 已知两个因式的积和其中一个因式，求另一个因式用除法，按照单项式除以单项式的法则计算：系数相除，同底数幂分别相除，底数不变指数相减；
(3) 直接按照单项式乘单项式的法则计算，注意b的指数为两个指数相加，合并化简即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-2x^2y)^2=(-2)^2·(x^2)^2· y^2=4x^4y^2$
再计算乘法：$4x^4y^2·3xy^4=(4×3)· x^{4+1}· y^{2+4}=12x^5y^6$
(2) 所求因式为积除以已知因式：$18x^3y^2÷2xy=(18÷2)· x^{3-1}· y^{2-1}=9x^2y$
(3) 分别计算各部分：
系数运算：$\frac{1}{3}×(-9)=-3$
a的幂运算：$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$
b的幂运算：$b^{m+1}· b^{m-1}=b^{(m+1)+(m-1)}=b^{2m}$
合并结果为$-3a^5b^{2m}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{12x^5y^6}$；(2) $\boldsymbol{9x^2y}$；(3) $\boldsymbol{-3a^5b^{2m}}$
【知识点】
积的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式
【点评】
本题是整式乘除的基础运算题，解题核心是熟练掌握各运算法则，计算时要注意系数的符号、指数的加减运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的乘除运算，解题思路如下：
(1) 先根据积的乘方法则计算乘方部分，再按照单项式乘单项式的法则计算乘法：系数相乘作为新的系数，相同字母的幂分别相乘，底数不变指数相加；
(2) 已知两个因式的积和其中一个因式，求另一个因式用除法，按照单项式除以单项式的法则计算：系数相除，同底数幂分别相除，底数不变指数相减；
(3) 直接按照单项式乘单项式的法则计算，注意b的指数为两个指数相加，合并化简即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-2x^2y)^2=(-2)^2·(x^2)^2· y^2=4x^4y^2$
再计算乘法：$4x^4y^2·3xy^4=(4×3)· x^{4+1}· y^{2+4}=12x^5y^6$
(2) 所求因式为积除以已知因式：$18x^3y^2÷2xy=(18÷2)· x^{3-1}· y^{2-1}=9x^2y$
(3) 分别计算各部分：
系数运算：$\frac{1}{3}×(-9)=-3$
a的幂运算：$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$
b的幂运算：$b^{m+1}· b^{m-1}=b^{(m+1)+(m-1)}=b^{2m}$
合并结果为$-3a^5b^{2m}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{12x^5y^6}$；(2) $\boldsymbol{9x^2y}$；(3) $\boldsymbol{-3a^5b^{2m}}$
【知识点】
积的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式
【点评】
本题是整式乘除的基础运算题，解题核心是熟练掌握各运算法则，计算时要注意系数的符号、指数的加减运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
4.如果单项式$2x^2y^3$与$-5x^2y^2$的积为$mx^4y^n$，那么$m-n=$.
答案
$\boldsymbol{-15}$
解析
【分析】
解题时先回忆单项式乘单项式的运算法则：先把两个单项式的系数相乘，再把相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。我们先按法则算出两个单项式的乘积，再将结果与$mx^4y^n$对应，得到$m$和$n$的取值，最后代入$m-n$计算即可。
【解析】
第一步：计算单项式的乘积
根据单项式乘单项式的运算法则：
$\begin{aligned}2x^2y^3 × (-5x^2y^2) &= [2×(-5)] × (x^2 · x^2) × (y^3 · y^2)\\&=-10 × x^{2+2} × y^{3+2}\\&=-10x^4y^5\end{aligned}$
第二步：对应求出$m$、$n$的值
已知乘积为$mx^4y^n$，两个单项式相等时对应系数、相同字母的指数分别相等，因此：
$m=-10$，$n=5$
第三步：计算$m-n$的值
将$m=-10$，$n=5$代入得：
$m-n=-10-5=-15$
【答案】
$\boldsymbol{-15}$
【知识点】
1.单项式乘单项式法则
2.同底数幂的乘法
3.代数式求值
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘法的运算规则，解题时要注意系数的符号计算、同底数幂运算时指数不要和乘法混淆，熟练掌握运算法则就能快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆单项式乘单项式的运算法则：先把两个单项式的系数相乘，再把相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。我们先按法则算出两个单项式的乘积，再将结果与$mx^4y^n$对应，得到$m$和$n$的取值，最后代入$m-n$计算即可。
【解析】
第一步：计算单项式的乘积
根据单项式乘单项式的运算法则：
$\begin{aligned}2x^2y^3 × (-5x^2y^2) &= [2×(-5)] × (x^2 · x^2) × (y^3 · y^2)\\&=-10 × x^{2+2} × y^{3+2}\\&=-10x^4y^5\end{aligned}$
第二步：对应求出$m$、$n$的值
已知乘积为$mx^4y^n$，两个单项式相等时对应系数、相同字母的指数分别相等，因此：
$m=-10$，$n=5$
第三步：计算$m-n$的值
将$m=-10$，$n=5$代入得：
$m-n=-10-5=-15$
【答案】
$\boldsymbol{-15}$
【知识点】
1.单项式乘单项式法则
2.同底数幂的乘法
3.代数式求值
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘法的运算规则，解题时要注意系数的符号计算、同底数幂运算时指数不要和乘法混淆，熟练掌握运算法则就能快速求解。
【难度系数】
0.85
5. 计算：
(1) $(-3x^3 y)^2 · (-\dfrac{2}{3}xyz) · \dfrac{3}{4}xz^2$；
(2) $2x^2 y · (-2xy^2)^3 + (2xy)^3 · (-xy^2)^2$。
(1) $(-3x^3 y)^2 · (-\dfrac{2}{3}xyz) · \dfrac{3}{4}xz^2$；
(2) $2x^2 y · (-2xy^2)^3 + (2xy)^3 · (-xy^2)^2$。
答案
解：
(1)
原式$=9x^6y^2 · (-\dfrac{2}{3}xyz) · \dfrac{3}{4}xz^2$
$=[9×(-\dfrac{2}{3})×\dfrac{3}{4}] · x^{6+1+1} · y^{2+1} · z^{1+2}$
$=-\dfrac{9}{2}x^8y^3z^3$
(2)
原式$=2x^2y · (-8x^3y^6) + 8x^3y^3 · x^2y^4$
$=-16x^5y^7 + 8x^5y^7$
$=-8x^5y^7$
(1)
原式$=9x^6y^2 · (-\dfrac{2}{3}xyz) · \dfrac{3}{4}xz^2$
$=[9×(-\dfrac{2}{3})×\dfrac{3}{4}] · x^{6+1+1} · y^{2+1} · z^{1+2}$
$=-\dfrac{9}{2}x^8y^3z^3$
(2)
原式$=2x^2y · (-8x^3y^6) + 8x^3y^3 · x^2y^4$
$=-16x^5y^7 + 8x^5y^7$
$=-8x^5y^7$
解析
【分析】
这两道题均属于整式的乘法运算，解题需遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：
(1) 第一问是单项式连乘运算，第一步先利用积的乘方法则计算$(-3x^3 y)^2$，再根据单项式乘单项式的法则，将各单项式的系数相乘，同底数幂分别相乘，单独出现的字母连同指数一起作为积的因式即可。
(2) 第二问是整式的混合运算，先分别计算乘方项$(-2xy^2)^3$、$(2xy)^3$和$(-xy^2)^2$，再分别计算前后两组单项式的乘积，最后合并同类项得到结果。计算时要特别注意系数的符号和指数的运算规则。
【解析】
(1) 先计算积的乘方，再计算单项式乘法：
原式$=9x^6y^2 · (-\dfrac{2}{3}xyz) · \dfrac{3}{4}xz^2$
$=[9×(-\dfrac{2}{3})×\dfrac{3}{4}] · x^{6+1+1} · y^{2+1} · z^{1+2}$
$=-\dfrac{9}{2}x^8y^3z^3$
(2) 先计算乘方，再计算乘法，最后合并同类项：
原式$=2x^2y · (-8x^3y^6) + 8x^3y^3 · x^2y^4$
$=-16x^5y^7 + 8x^5y^7$
$=-8x^5y^7$
【答案】
(1) $-\dfrac{9}{2}x^8y^3z^3$；(2) $-8x^5y^7$
【知识点】
积的乘方；单项式乘单项式；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，核心是熟练掌握幂的运算性质和单项式乘法法则，计算时需注意系数的正负号，以及同底数幂相加、相乘的指数运算区别，避免因粗心出现符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于整式的乘法运算，解题需遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：
(1) 第一问是单项式连乘运算，第一步先利用积的乘方法则计算$(-3x^3 y)^2$，再根据单项式乘单项式的法则，将各单项式的系数相乘，同底数幂分别相乘，单独出现的字母连同指数一起作为积的因式即可。
(2) 第二问是整式的混合运算，先分别计算乘方项$(-2xy^2)^3$、$(2xy)^3$和$(-xy^2)^2$，再分别计算前后两组单项式的乘积，最后合并同类项得到结果。计算时要特别注意系数的符号和指数的运算规则。
【解析】
(1) 先计算积的乘方，再计算单项式乘法：
原式$=9x^6y^2 · (-\dfrac{2}{3}xyz) · \dfrac{3}{4}xz^2$
$=[9×(-\dfrac{2}{3})×\dfrac{3}{4}] · x^{6+1+1} · y^{2+1} · z^{1+2}$
$=-\dfrac{9}{2}x^8y^3z^3$
(2) 先计算乘方，再计算乘法，最后合并同类项：
原式$=2x^2y · (-8x^3y^6) + 8x^3y^3 · x^2y^4$
$=-16x^5y^7 + 8x^5y^7$
$=-8x^5y^7$
【答案】
(1) $-\dfrac{9}{2}x^8y^3z^3$；(2) $-8x^5y^7$
【知识点】
积的乘方；单项式乘单项式；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，核心是熟练掌握幂的运算性质和单项式乘法法则，计算时需注意系数的正负号，以及同底数幂相加、相乘的指数运算区别，避免因粗心出现符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.8
6.天文学上计算星球之间的距离是用“光年”作单位的，1光年就是光在1年内所走过的距离.光的速度约为$3× 10^{8}\ \mathrm{m/s}$，1年约为$3× 10^{7}\ \mathrm{s}$.1光年约多少米？（结果用科学记数法表示）
答案
解：由路程=速度×时间，可得1光年的距离为：
$\begin{aligned}(3×10^{8})×(3×10^{7})&=(3×3)×(10^{8}×10^{7})\\&=9×10^{15}\end{aligned}$
答：1光年约为$9×10^{15}$米。
$\begin{aligned}(3×10^{8})×(3×10^{7})&=(3×3)×(10^{8}×10^{7})\\&=9×10^{15}\end{aligned}$
答：1光年约为$9×10^{15}$米。
解析
【分析】
要计算1光年的距离，首先回忆路程计算公式：路程=速度×时间，本题已给出光的速度和1年的时间，直接将两个量代入公式计算即可。计算时遵循单项式乘法规则：先将系数相乘，再计算同底数幂的乘积，同底数幂相乘时底数不变、指数相加，最后将结果整理为科学记数法的标准形式即可。
【解析】
根据路程=速度×时间，代入已知数据计算：
$\begin{aligned}(3×10^{8})×(3×10^{7})&=(3×3)×(10^{8}×10^{7})\\&=9×10^{8+7}\\&=9×10^{15}\end{aligned}$
【答案】
$9×10^{15}$米
【知识点】
同底数幂的乘法，科学记数法，单项式乘法
【点评】
本题结合天文常识考查整式运算的实际应用，属于基础计算题，只要熟练掌握同底数幂的运算规则，就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.9
要计算1光年的距离，首先回忆路程计算公式：路程=速度×时间，本题已给出光的速度和1年的时间，直接将两个量代入公式计算即可。计算时遵循单项式乘法规则：先将系数相乘，再计算同底数幂的乘积，同底数幂相乘时底数不变、指数相加，最后将结果整理为科学记数法的标准形式即可。
【解析】
根据路程=速度×时间，代入已知数据计算：
$\begin{aligned}(3×10^{8})×(3×10^{7})&=(3×3)×(10^{8}×10^{7})\\&=9×10^{8+7}\\&=9×10^{15}\end{aligned}$
【答案】
$9×10^{15}$米
【知识点】
同底数幂的乘法，科学记数法，单项式乘法
【点评】
本题结合天文常识考查整式运算的实际应用，属于基础计算题，只要熟练掌握同底数幂的运算规则，就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.9
7. 已知$-2x^{3m+1}y^{2n}$与$7x^{n-6}y^{-3-m}$的积与$x^4y$是同类项，求$m^2 + n$的值。
答案
解：
先计算两个单项式的积：
$\begin{aligned}(-2x^{3m+1}y^{2n}) · (7x^{n-6}y^{-3-m})&=(-2×7) · x^{(3m+1)+(n-6)} · y^{2n+(-3-m)}\\&=-14x^{3m+n-5}y^{2n-m-3}\end{aligned}$
因为该积与$x^4y$是同类项，相同字母的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}3m + n - 5 = 4 \\2n - m - 3 = 1\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}3m + n = 9 \quad \textcircled{1}\\-m + 2n = 4 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
由①得$n = 9 - 3m$，代入②：
$-m + 2(9 - 3m) = 4$
解得$m=2$，将$m=2$代入$n=9-3m$，得$n=3$。
所以$m^2 + n = 2^2 + 3 = 7$。
先计算两个单项式的积：
$\begin{aligned}(-2x^{3m+1}y^{2n}) · (7x^{n-6}y^{-3-m})&=(-2×7) · x^{(3m+1)+(n-6)} · y^{2n+(-3-m)}\\&=-14x^{3m+n-5}y^{2n-m-3}\end{aligned}$
因为该积与$x^4y$是同类项，相同字母的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}3m + n - 5 = 4 \\2n - m - 3 = 1\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}3m + n = 9 \quad \textcircled{1}\\-m + 2n = 4 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
由①得$n = 9 - 3m$，代入②：
$-m + 2(9 - 3m) = 4$
解得$m=2$，将$m=2$代入$n=9-3m$，得$n=3$。
所以$m^2 + n = 2^2 + 3 = 7$。
解析
【分析】
解题时首先明确逻辑顺序：第一步根据单项式乘单项式的运算规则计算两个单项式的乘积，得到乘积中x、y的指数表达式；第二步依据同类项的定义（所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等），让乘积中x的指数等于4、y的指数等于1，得到关于m、n的二元一次方程组；第三步解方程组求出m、n的取值，最后代入$m^2+n$计算结果即可。
【解析】
首先计算两个单项式的乘积：
$\begin{aligned}(-2x^{3m+1}y^{2n}) · (7x^{n-6}y^{-3-m})&=(-2×7) · x^{(3m+1)+(n-6)} · y^{2n+(-3-m)}\\&=-14x^{3m+n-5}y^{2n-m-3}\end{aligned}$
因为该乘积与$x^4y$是同类项，根据同类项相同字母指数对应相等的性质，可列方程组：
$\begin{cases}3m + n - 5 = 4 \\2n - m - 3 = 1\end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}3m + n = 9 \quad \textcircled{1}\\-m + 2n = 4 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
由①式移项得$n = 9 - 3m$，将其代入②式：
$-m + 2(9 - 3m) = 4$
展开计算得：$-m + 18 - 6m = 4$，合并同类项得$-7m = -14$，解得$m=2$。
将$m=2$代入$n=9-3m$，得$n=9-3×2=3$。
最后代入计算$m^2 + n = 2^2 + 3 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
单项式乘法法则；同类项的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题是整式运算与方程结合的基础综合题，解题核心是准确运用单项式乘法规则化简乘积，再结合同类项的性质建立方程求解，需要注意计算指数时不要出错，解方程组时代入消元的步骤要规范。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确逻辑顺序：第一步根据单项式乘单项式的运算规则计算两个单项式的乘积，得到乘积中x、y的指数表达式；第二步依据同类项的定义（所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等），让乘积中x的指数等于4、y的指数等于1，得到关于m、n的二元一次方程组；第三步解方程组求出m、n的取值，最后代入$m^2+n$计算结果即可。
【解析】
首先计算两个单项式的乘积：
$\begin{aligned}(-2x^{3m+1}y^{2n}) · (7x^{n-6}y^{-3-m})&=(-2×7) · x^{(3m+1)+(n-6)} · y^{2n+(-3-m)}\\&=-14x^{3m+n-5}y^{2n-m-3}\end{aligned}$
因为该乘积与$x^4y$是同类项，根据同类项相同字母指数对应相等的性质，可列方程组：
$\begin{cases}3m + n - 5 = 4 \\2n - m - 3 = 1\end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}3m + n = 9 \quad \textcircled{1}\\-m + 2n = 4 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
由①式移项得$n = 9 - 3m$，将其代入②式：
$-m + 2(9 - 3m) = 4$
展开计算得：$-m + 18 - 6m = 4$，合并同类项得$-7m = -14$，解得$m=2$。
将$m=2$代入$n=9-3m$，得$n=9-3×2=3$。
最后代入计算$m^2 + n = 2^2 + 3 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
单项式乘法法则；同类项的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题是整式运算与方程结合的基础综合题，解题核心是准确运用单项式乘法规则化简乘积，再结合同类项的性质建立方程求解，需要注意计算指数时不要出错，解方程组时代入消元的步骤要规范。
【难度系数】
0.7
8. 提升题 符号$\begin{vmatrix} & x \\ y & z \end{vmatrix}$表示$3xyz$，$\begin{bmatrix} a & d \\ b & c \end{bmatrix}$表示$-4a^b d^c$. 求$\begin{vmatrix} & m \\ n & 3 \end{vmatrix} × \begin{bmatrix} n & m \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$的值.
答案
解：
根据题中的新定义，得
$\begin{vmatrix} & m \\ n & 3 \end{vmatrix} = 3 · m · n · 3 = 9mn$
$\begin{bmatrix} n & m \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = -4n^2 m^5$
则原式$= 9mn · (-4n^2m^5)$
$= [9×(-4)] · m^{1+5} · n^{1+2}$
$= -36m^6n^3$
根据题中的新定义，得
$\begin{vmatrix} & m \\ n & 3 \end{vmatrix} = 3 · m · n · 3 = 9mn$
$\begin{bmatrix} n & m \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = -4n^2 m^5$
则原式$= 9mn · (-4n^2m^5)$
$= [9×(-4)] · m^{1+5} · n^{1+2}$
$= -36m^6n^3$
解析
【分析】
解决这道题首先要准确理解题目给出的两种新符号的运算规则，第一步先将两个新符号中的元素对应代入规则，分别算出各自表示的整式；第二步再根据单项式乘单项式的运算法则计算两者的乘积，计算时要注意系数的符号、同底数幂的指数相加规则，不要搞混元素的对应位置。
【解析】
根据题中的新定义：
符号$\begin{vmatrix} & x \\ y & z \end{vmatrix}$表示$3xyz$，因此$\begin{vmatrix} & m \\ n & 3 \end{vmatrix}$中对应$x=m$，$y=n$，$z=3$，代入得：
$\begin{vmatrix} & m \\ n & 3 \end{vmatrix} = 3 · m · n · 3 = 9mn$
符号$\begin{bmatrix} a & d \\ b & c \end{bmatrix}$表示$-4a^b d^c$，因此$\begin{bmatrix} n & m \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$中对应$a=n$，$d=m$，$b=2$，$c=5$，代入得：
$\begin{bmatrix} n & m \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = -4n^2 m^5$
再根据单项式乘单项式法则计算乘积：系数相乘，同底数幂分别相乘：
原式$= 9mn · (-4n^2m^5)$
$= [9×(-4)] · m^{1+5} · n^{1+2}$
$= -36m^6n^3$
【答案】
$-36m^6n^3$
【知识点】
自定义运算，单项式乘单项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题结合自定义运算考查整式运算的相关知识，解题核心是准确匹配新定义中各个位置的参数，再代入常规整式运算法则计算即可，需注意符号和指数计算的准确性，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要准确理解题目给出的两种新符号的运算规则，第一步先将两个新符号中的元素对应代入规则，分别算出各自表示的整式；第二步再根据单项式乘单项式的运算法则计算两者的乘积，计算时要注意系数的符号、同底数幂的指数相加规则，不要搞混元素的对应位置。
【解析】
根据题中的新定义：
符号$\begin{vmatrix} & x \\ y & z \end{vmatrix}$表示$3xyz$，因此$\begin{vmatrix} & m \\ n & 3 \end{vmatrix}$中对应$x=m$，$y=n$，$z=3$，代入得：
$\begin{vmatrix} & m \\ n & 3 \end{vmatrix} = 3 · m · n · 3 = 9mn$
符号$\begin{bmatrix} a & d \\ b & c \end{bmatrix}$表示$-4a^b d^c$，因此$\begin{bmatrix} n & m \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$中对应$a=n$，$d=m$，$b=2$，$c=5$，代入得：
$\begin{bmatrix} n & m \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = -4n^2 m^5$
再根据单项式乘单项式法则计算乘积：系数相乘，同底数幂分别相乘：
原式$= 9mn · (-4n^2m^5)$
$= [9×(-4)] · m^{1+5} · n^{1+2}$
$= -36m^6n^3$
【答案】
$-36m^6n^3$
【知识点】
自定义运算，单项式乘单项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题结合自定义运算考查整式运算的相关知识，解题核心是准确匹配新定义中各个位置的参数，再代入常规整式运算法则计算即可，需注意符号和指数计算的准确性，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
