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6.【例3】如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D,使$CD = CA$.连接BC并延长到点E,使$CE = CB$.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离.为什么?
7.(跨学科)如图,把两根钢条的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳).在图中,要测量工件内槽宽AB,只要测量哪些量?为什么?
7.(跨学科)如图,把两根钢条的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳).在图中,要测量工件内槽宽AB,只要测量哪些量?为什么?
答案
6. 解:在$△ ABC$ 和$△ DEC$ 中,$\begin{cases} CA = CD ,\\ ∠ ACB = ∠ DCE ,\\ CB = CE ,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEC (\mathrm{SAS}). \therefore AB = DE.$
7. 解:只要测量$A'B'$的长度.
理由如下:
如图,连接$A'B'$.
$\because$ 点$O$ 分别是$AA'$,$BB'$ 的中点,
$\therefore OA = OA'$,$OB = OB'$.
在$△ AOB$ 和$△ A'OB'$ 中,$\begin{cases} OA = OA' ,\\ ∠ AOB = ∠ A'OB' ,\\ OB = OB' ,\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ A'OB' (\mathrm{SAS}). \therefore AB = A'B'.$
解析
【分析】
第6题：要证明DE的长等于A、B的距离，本质是证明线段AB=DE，可通过证明两线段所在的△ABC和△DEC全等实现。题目已给出两组对应边相等：CD=CA、CE=CB，又∠ACB与∠DCE是对顶角，二者相等，刚好满足全等三角形SAS的判定条件，证得全等后根据全等三角形对应边相等即可推出AB=DE。
第7题：要测量无法直接获取的内槽宽AB，同样可通过构造全等三角形将其转化为可测量的线段。已知O是两根钢条的中点，可得OA=OA'、OB=OB'，∠AOB与∠A'OB'是对顶角相等，满足SAS判定条件，证△AOB≌△A'OB'后，对应边AB=A'B'，因此只需测量A'B'的长度即可得到AB的长度。
【解析】
第6题
要说明DE的长等于A、B的距离，证明过程如下：
在$△ ABC$ 和$△ DEC$ 中：
$\begin{cases} CA = CD （已知）,\\ ∠ACB = ∠DCE（对顶角相等）,\\ CB = CE（已知）,\end{cases}$
根据SAS全等判定定理，可得$△ ABC ≌ △ DEC$。
由全等三角形对应边相等，因此$AB = DE$，即量出DE的长就是A、B的距离。
第7题
测量工件内槽宽AB只需测量$A'B'$的长度，理由如下：
连接$A'B'$，
∵点O是$AA'$、$BB'$的中点，
∴$OA=OA'$，$OB=OB'$。
在$△ AOB$ 和$△ A'OB'$中：
$\begin{cases} OA = OA' （中点性质）,\\ ∠AOB = ∠A'OB'（对顶角相等）,\\ OB = OB'（中点性质）,\end{cases}$
根据SAS全等判定定理，可得$△ AOB ≌ △ A'OB'$。
由全等三角形对应边相等，因此$AB = A'B'$，即测量$A'B'$的长度就得到内槽宽AB的长度。
【答案】
6. 解:在$△ ABC$ 和$△ DEC$ 中,$\begin{cases} CA = CD ,\\ ∠ ACB = ∠ DCE ,\\ CB = CE ,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEC (\mathrm{SAS}). \therefore AB = DE.$
7. 解:只要测量$A'B'$的长度.
理由如下:
如图,连接$A'B'$.
$\because$ 点$O$ 分别是$AA'$,$BB'$ 的中点,
$\therefore OA = OA'$,$OB = OB'$.
在$△ AOB$ 和$△ A'OB'$ 中,$\begin{cases} OA = OA' ,\\ ∠ AOB = ∠ A'OB' ,\\ OB = OB' ,\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ A'OB' (\mathrm{SAS}). \therefore AB = A'B'.$
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形对应边相等、对顶角性质
【点评】
这两道题是全等三角形在实际测量中的典型应用，核心思路是构造满足SAS判定条件的全等三角形，将不可直接测量的线段转化为可测量的线段，解题关键是准确找到两组对应相等的边及二者的对顶角夹角。
【难度系数】
0.8
第6题：要证明DE的长等于A、B的距离，本质是证明线段AB=DE，可通过证明两线段所在的△ABC和△DEC全等实现。题目已给出两组对应边相等：CD=CA、CE=CB，又∠ACB与∠DCE是对顶角，二者相等，刚好满足全等三角形SAS的判定条件，证得全等后根据全等三角形对应边相等即可推出AB=DE。
第7题：要测量无法直接获取的内槽宽AB，同样可通过构造全等三角形将其转化为可测量的线段。已知O是两根钢条的中点，可得OA=OA'、OB=OB'，∠AOB与∠A'OB'是对顶角相等，满足SAS判定条件，证△AOB≌△A'OB'后，对应边AB=A'B'，因此只需测量A'B'的长度即可得到AB的长度。
【解析】
第6题
要说明DE的长等于A、B的距离，证明过程如下：
在$△ ABC$ 和$△ DEC$ 中：
$\begin{cases} CA = CD （已知）,\\ ∠ACB = ∠DCE（对顶角相等）,\\ CB = CE（已知）,\end{cases}$
根据SAS全等判定定理，可得$△ ABC ≌ △ DEC$。
由全等三角形对应边相等，因此$AB = DE$，即量出DE的长就是A、B的距离。
第7题
测量工件内槽宽AB只需测量$A'B'$的长度，理由如下：
连接$A'B'$，
∵点O是$AA'$、$BB'$的中点，
∴$OA=OA'$，$OB=OB'$。
在$△ AOB$ 和$△ A'OB'$中：
$\begin{cases} OA = OA' （中点性质）,\\ ∠AOB = ∠A'OB'（对顶角相等）,\\ OB = OB'（中点性质）,\end{cases}$
根据SAS全等判定定理，可得$△ AOB ≌ △ A'OB'$。
由全等三角形对应边相等，因此$AB = A'B'$，即测量$A'B'$的长度就得到内槽宽AB的长度。
【答案】
6. 解:在$△ ABC$ 和$△ DEC$ 中,$\begin{cases} CA = CD ,\\ ∠ ACB = ∠ DCE ,\\ CB = CE ,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEC (\mathrm{SAS}). \therefore AB = DE.$
7. 解:只要测量$A'B'$的长度.
理由如下:
如图,连接$A'B'$.
$\because$ 点$O$ 分别是$AA'$,$BB'$ 的中点,
$\therefore OA = OA'$,$OB = OB'$.
在$△ AOB$ 和$△ A'OB'$ 中,$\begin{cases} OA = OA' ,\\ ∠ AOB = ∠ A'OB' ,\\ OB = OB' ,\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ A'OB' (\mathrm{SAS}). \therefore AB = A'B'.$
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形对应边相等、对顶角性质
【点评】
这两道题是全等三角形在实际测量中的典型应用，核心思路是构造满足SAS判定条件的全等三角形，将不可直接测量的线段转化为可测量的线段，解题关键是准确找到两组对应相等的边及二者的对顶角夹角。
【难度系数】
0.8
1. 如图,下列三角形中全等的两个是 (
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
A
)A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
答案
1. A
解析
【分析】
要判断哪两个三角形全等，首先回忆全等三角形的判定定理，本题中四个三角形都有已知角α和长度为2、3的边，优先考虑SAS（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）判定。解题时先确定每个三角形中角α的位置，判断α是否为边长2和3的夹角，找到满足“两边为2、3，夹角为α”的两个三角形即可。
【解析】
根据全等三角形的SAS判定定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，对四个三角形逐一分析：
1. 图①：角α是长度为2、3的两条边的夹角；
2. 图②：角α是长度为3、2的两条边的夹角；
3. 图③：角α的对边长度为3，α不是边长2和3的夹角；
4. 图④：角α的邻边仅长度为2，边长为3的边是α的对边，α不是边长2和3的夹角。
因此只有①和②满足两边及夹角对应相等，可通过SAS判定两三角形全等。
【答案】
A
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 三角形边角对应关系
【点评】
本题考查全等三角形判定的应用，解题的核心是明确SAS判定中“夹角”的要求，避免误将边边角（SSA）作为判定依据，只要准确找到对应相等的边和夹角就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪两个三角形全等，首先回忆全等三角形的判定定理，本题中四个三角形都有已知角α和长度为2、3的边，优先考虑SAS（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）判定。解题时先确定每个三角形中角α的位置，判断α是否为边长2和3的夹角，找到满足“两边为2、3，夹角为α”的两个三角形即可。
【解析】
根据全等三角形的SAS判定定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，对四个三角形逐一分析：
1. 图①：角α是长度为2、3的两条边的夹角；
2. 图②：角α是长度为3、2的两条边的夹角；
3. 图③：角α的对边长度为3，α不是边长2和3的夹角；
4. 图④：角α的邻边仅长度为2，边长为3的边是α的对边，α不是边长2和3的夹角。
因此只有①和②满足两边及夹角对应相等，可通过SAS判定两三角形全等。
【答案】
A
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 三角形边角对应关系
【点评】
本题考查全等三角形判定的应用，解题的核心是明确SAS判定中“夹角”的要求，避免误将边边角（SSA）作为判定依据，只要准确找到对应相等的边和夹角就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，已知 $AD // BC$，欲用“边角边”证明 $△ ABC ≌ △ CDA$，需补充的条件为 （
A.$AB = CD$
B.$∠ B = ∠ D$
C.$AD = CB$
D.$∠ BAC = ∠ DCA$
C
）A.$AB = CD$
B.$∠ B = ∠ D$
C.$AD = CB$
D.$∠ BAC = ∠ DCA$
答案
2. C
解析
【分析】
要使用“边角边（SAS）”证明△ABC≌△CDA，首先梳理已知条件：①由AD//BC可得内错角相等，即∠DAC=∠BCA；②AC是两个三角形的公共边，故AC=CA。SAS判定要求两边及其夹角对应相等，目前已经有一组夹角相等、夹该角的其中一组边（公共边）相等，因此只需补充夹这组角的另一组边相等即可。
【解析】
首先推导已知条件：
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA（两直线平行，内错角相等），
又
∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴AC=CA。
SAS判定全等需要“两边及其夹角对应相等”，现有相等的角为∠DAC和∠BCA，夹这两个角的边分别为：
在△CDA中：AD、AC；在△ABC中：CB、AC。
已知AC=CA，因此只需补充AD=CB，即可满足SAS的判定要求。
逐一分析选项：
A.AB=CD：此时条件为SSA，无法判定三角形全等，不符合要求；
B.∠B=∠D：此时条件为AAS，不属于SAS判定，不符合要求；
C.AD=CB：符合SAS的判定要求，正确；
D.∠BAC=∠DCA：此时条件为ASA，不属于SAS判定，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定
【点评】
本题考查全等三角形SAS判定的应用，解题时需先结合已知条件推导现有相等的边和角，再根据指定的判定定理补全缺失的条件，注意SAS判定中角必须是两组对应边的夹角，避免和其他判定定理混淆。
【难度系数】
0.7
要使用“边角边（SAS）”证明△ABC≌△CDA，首先梳理已知条件：①由AD//BC可得内错角相等，即∠DAC=∠BCA；②AC是两个三角形的公共边，故AC=CA。SAS判定要求两边及其夹角对应相等，目前已经有一组夹角相等、夹该角的其中一组边（公共边）相等，因此只需补充夹这组角的另一组边相等即可。
【解析】
首先推导已知条件：
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA（两直线平行，内错角相等），
又
∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴AC=CA。
SAS判定全等需要“两边及其夹角对应相等”，现有相等的角为∠DAC和∠BCA，夹这两个角的边分别为：
在△CDA中：AD、AC；在△ABC中：CB、AC。
已知AC=CA，因此只需补充AD=CB，即可满足SAS的判定要求。
逐一分析选项：
A.AB=CD：此时条件为SSA，无法判定三角形全等，不符合要求；
B.∠B=∠D：此时条件为AAS，不属于SAS判定，不符合要求；
C.AD=CB：符合SAS的判定要求，正确；
D.∠BAC=∠DCA：此时条件为ASA，不属于SAS判定，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定
【点评】
本题考查全等三角形SAS判定的应用，解题时需先结合已知条件推导现有相等的边和角，再根据指定的判定定理补全缺失的条件，注意SAS判定中角必须是两组对应边的夹角，避免和其他判定定理混淆。
【难度系数】
0.7
3. 如图,把长短确定的两根木棍AB,AC的一端固定在A处,和第三根木棍BM摆出△ABC.木棍AB固定,木棍AC绕A转动,得到△ABD,这个实验说明 (
A.有三边分别相等的两个三角形全等
B.有两边分别相等的两个三角形全等
C.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
D
)A.有三边分别相等的两个三角形全等
B.有两边分别相等的两个三角形全等
C.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
答案
3. D
解析
【分析】
首先梳理实验中△ABC和△ABD的相等元素：①AB为两个三角形的公共边，因此AB=AB；②木棍AC绕点A旋转得到AD，旋转不改变线段长度，因此AC=AD；③∠B是两个三角形的公共角，因此∠B=∠B。上述相等条件对应“两边及其中一边的对角分别相等”，但从图中可直观看出△ABC和△ABD并不全等，结合选项即可判断正确结论。
【解析】
解：由题意得，△ABC和△ABD中：
AB=AB（公共边），
AC=AD（旋转前后线段长度不变），
∠B=∠B（公共角），
即两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等，但明显△ABC与△ABD不全等，因此该实验说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定，旋转的性质
【点评】
本题结合动手实验的场景，考查对全等三角形判定条件的辨析，重点明确了“两边及其中一边的对角相等（SSA）”不能作为全等三角形的判定依据，能帮助学生区分SAS和SSA的差异，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
首先梳理实验中△ABC和△ABD的相等元素：①AB为两个三角形的公共边，因此AB=AB；②木棍AC绕点A旋转得到AD，旋转不改变线段长度，因此AC=AD；③∠B是两个三角形的公共角，因此∠B=∠B。上述相等条件对应“两边及其中一边的对角分别相等”，但从图中可直观看出△ABC和△ABD并不全等，结合选项即可判断正确结论。
【解析】
解：由题意得，△ABC和△ABD中：
AB=AB（公共边），
AC=AD（旋转前后线段长度不变），
∠B=∠B（公共角），
即两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等，但明显△ABC与△ABD不全等，因此该实验说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定，旋转的性质
【点评】
本题结合动手实验的场景，考查对全等三角形判定条件的辨析，重点明确了“两边及其中一边的对角相等（SSA）”不能作为全等三角形的判定依据，能帮助学生区分SAS和SSA的差异，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
4. (2025 乐山)如图,已知线段AC,BD相交于点E,AE=DE,BE=CE.求证:AB=DC. 
答案
4. 证明:在△ABE 和△DCE 中,$\begin{cases} AE = DE, \\ ∠AEB = ∠DEC, \\ BE = CE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△DCE(SAS).
∴ AB = DC.
∴ △ABE≌△DCE(SAS).
∴ AB = DC.
解析
【分析】
要证明两条线段AB=DC，常用方法是证明这两条线段所在的三角形全等。观察图形可知，AB在△ABE中，DC在△DCE中，首先梳理已知条件：题目已给出AE=DE、BE=CE，两组对应边相等；再找两组边的夹角，AC与BD相交于E，∠AEB和∠DEC是对顶角，根据对顶角的性质可知二者相等，恰好满足全等三角形的SAS判定条件，证明△ABE≌△DCE后，根据全等三角形对应边相等即可得到AB=DC的结论。
【解析】
证明：在$△ ABE$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}AE = DE, \\∠ AEB = ∠ DEC, \\BE = CE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ DCE(\mathrm{SAS})$，
由全等三角形对应边相等，可得$AB = DC$。
【答案】
证明:在△ABE 和△DCE 中,$\begin{cases} AE = DE, \\ ∠AEB = ∠DEC, \\ BE = CE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△DCE(SAS).
∴ AB = DC.
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题的关键是找准待证线段所属的三角形，结合已知条件和图形隐含的对顶角相等的条件，选择合适的全等判定定理证明三角形全等，再利用全等性质得到结论，属于常规得分题。
【难度系数】
0.85
要证明两条线段AB=DC，常用方法是证明这两条线段所在的三角形全等。观察图形可知，AB在△ABE中，DC在△DCE中，首先梳理已知条件：题目已给出AE=DE、BE=CE，两组对应边相等；再找两组边的夹角，AC与BD相交于E，∠AEB和∠DEC是对顶角，根据对顶角的性质可知二者相等，恰好满足全等三角形的SAS判定条件，证明△ABE≌△DCE后，根据全等三角形对应边相等即可得到AB=DC的结论。
【解析】
证明：在$△ ABE$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}AE = DE, \\∠ AEB = ∠ DEC, \\BE = CE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ DCE(\mathrm{SAS})$，
由全等三角形对应边相等，可得$AB = DC$。
【答案】
证明:在△ABE 和△DCE 中,$\begin{cases} AE = DE, \\ ∠AEB = ∠DEC, \\ BE = CE, \end{cases}$
∴ △ABE≌△DCE(SAS).
∴ AB = DC.
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题的关键是找准待证线段所属的三角形，结合已知条件和图形隐含的对顶角相等的条件，选择合适的全等判定定理证明三角形全等，再利用全等性质得到结论，属于常规得分题。
【难度系数】
0.85
5. 如图，AB = 4 cm，AC = BD = 3 cm. ∠CAB = ∠DBA，点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动. 设运动时间为t s，则当点Q的运动速度为
1或1.5
cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等. 答案
5. 1或1.5
解析
【分析】
本题为动点背景下的三角形全等问题，已知∠CAB=∠DBA，即两个三角形已有一组对应角相等，要使△ACP与△BPQ全等，根据SAS全等判定定理，需夹这组等角的两组边对应相等，对应边存在两种不同的组合情况，因此要分类讨论求解。解题时首先将运动t秒后AP、BP、BQ的长度用含t和点Q速度v的代数式表示，再分别根据两种全等的对应关系列方程求解即可。
【解析】
设点Q的运动速度为$v\ \mathrm{cm/s}$。
运动$t$秒时，$AP=1× t=t\ \mathrm{cm}$，$BP=AB-AP=(4-t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=vt\ \mathrm{cm}$。
已知$∠ CAB=∠ DBA$，分两种全等情况讨论：
1. 当$△ ACP≌△ BPQ$时，对应边满足$AC=BP$，$AP=BQ$：
由$AC=BP$得：$3=4-t$，解得$t=1$；
代入$AP=BQ$得：$t=vt$，即$1=v×1$，解得$v=1$。
2. 当$△ ACP≌△ BQP$时，对应边满足$AC=BQ$，$AP=BP$：
由$AP=BP$得：$t=4-t$，解得$t=2$；
代入$AC=BQ$得：$3=vt$，即$3=v×2$，解得$v=1.5$。
综上，点Q的运动速度为1或1.5 cm/s。
【答案】
1或1.5
【知识点】
全等三角形的判定、动点问题、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查全等三角形判定在动态问题中的应用，解题关键是明确全等的对应关系，做到分类讨论不重不漏，避免因漏考虑其中一种全等情况导致失分。
【难度系数】
0.6
本题为动点背景下的三角形全等问题，已知∠CAB=∠DBA，即两个三角形已有一组对应角相等，要使△ACP与△BPQ全等，根据SAS全等判定定理，需夹这组等角的两组边对应相等，对应边存在两种不同的组合情况，因此要分类讨论求解。解题时首先将运动t秒后AP、BP、BQ的长度用含t和点Q速度v的代数式表示，再分别根据两种全等的对应关系列方程求解即可。
【解析】
设点Q的运动速度为$v\ \mathrm{cm/s}$。
运动$t$秒时，$AP=1× t=t\ \mathrm{cm}$，$BP=AB-AP=(4-t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=vt\ \mathrm{cm}$。
已知$∠ CAB=∠ DBA$，分两种全等情况讨论：
1. 当$△ ACP≌△ BPQ$时，对应边满足$AC=BP$，$AP=BQ$：
由$AC=BP$得：$3=4-t$，解得$t=1$；
代入$AP=BQ$得：$t=vt$，即$1=v×1$，解得$v=1$。
2. 当$△ ACP≌△ BQP$时，对应边满足$AC=BQ$，$AP=BP$：
由$AP=BP$得：$t=4-t$，解得$t=2$；
代入$AC=BQ$得：$3=vt$，即$3=v×2$，解得$v=1.5$。
综上，点Q的运动速度为1或1.5 cm/s。
【答案】
1或1.5
【知识点】
全等三角形的判定、动点问题、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查全等三角形判定在动态问题中的应用，解题关键是明确全等的对应关系，做到分类讨论不重不漏，避免因漏考虑其中一种全等情况导致失分。
【难度系数】
0.6
