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5. 证明依次连接等腰三角形三边中点所得的三角形是等腰三角形.
答案
5. 已知：如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点.
求证：$△ DEF$ 是等腰三角形.
证明：$\because BD=\frac{1}{2}AB$，$CE=\frac{1}{2}AC$，$AB=AC$,
$\therefore BD=CE$，$∠ B=∠ C$.
在$△ BDF$ 和$△ CEF$ 中，
$\because \begin{cases} BD=CE, \\ ∠ B=∠ C, \\ BF=CF, \end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ CEF(\mathrm{SAS})$.
$\therefore DF=EF$.
$\therefore △ DEF$ 是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明连接等腰三角形三边中点得到的三角形是等腰三角形，核心是证明新三角形有两条边相等。首先我们可以尝试证明包含新三角形两边的两个三角形全等：首先结合已知原三角形是等腰三角形，可得两底角相等、两腰相等，再根据三边中点的定义，能推出两组对应边相等，即可用SAS判定三角形全等，得到新三角形的两条边相等，从而完成证明。
【解析】
首先明确已知与求证：
已知：如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点。
求证：$△ DEF$是等腰三角形。
证明：$\because$ D是AB中点，E是AC中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}AB$，$CE=\frac{1}{2}AC$，
又$\because AB=AC$，
$\therefore BD=CE$，且等腰$△ ABC$中$∠ B=∠ C$。
$\because$ F是BC中点，$\therefore BF=CF$。
在$△ BDF$和$△ CEF$中，
$\begin{cases} BD=CE, \\ ∠ B=∠ C, \\ BF=CF, \end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ CEF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore$ 全等三角形对应边相等，即$DF=EF$，
$\therefore △ DEF$是等腰三角形。
【答案】
5. 已知：如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点.
求证：$△ DEF$ 是等腰三角形.
证明：$\because BD=\frac{1}{2}AB$，$CE=\frac{1}{2}AC$，$AB=AC$,
$\therefore BD=CE$，$∠ B=∠ C$.
在$△ BDF$ 和$△ CEF$ 中，
$\because \begin{cases} BD=CE, \\ ∠ B=∠ C, \\ BF=CF, \end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ CEF(\mathrm{SAS})$.
$\therefore DF=EF$.
$\therefore △ DEF$ 是等腰三角形.
【知识点】
1. 等腰三角形的性质与判定
2. 全等三角形SAS判定
3. 线段中点的定义
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是结合已知条件找到全等三角形的判定依据，考查对基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
要证明连接等腰三角形三边中点得到的三角形是等腰三角形，核心是证明新三角形有两条边相等。首先我们可以尝试证明包含新三角形两边的两个三角形全等：首先结合已知原三角形是等腰三角形，可得两底角相等、两腰相等，再根据三边中点的定义，能推出两组对应边相等，即可用SAS判定三角形全等，得到新三角形的两条边相等，从而完成证明。
【解析】
首先明确已知与求证：
已知：如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点。
求证：$△ DEF$是等腰三角形。
证明：$\because$ D是AB中点，E是AC中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}AB$，$CE=\frac{1}{2}AC$，
又$\because AB=AC$，
$\therefore BD=CE$，且等腰$△ ABC$中$∠ B=∠ C$。
$\because$ F是BC中点，$\therefore BF=CF$。
在$△ BDF$和$△ CEF$中，
$\begin{cases} BD=CE, \\ ∠ B=∠ C, \\ BF=CF, \end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ CEF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore$ 全等三角形对应边相等，即$DF=EF$，
$\therefore △ DEF$是等腰三角形。
【答案】
5. 已知：如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点.
求证：$△ DEF$ 是等腰三角形.
证明：$\because BD=\frac{1}{2}AB$，$CE=\frac{1}{2}AC$，$AB=AC$,
$\therefore BD=CE$，$∠ B=∠ C$.
在$△ BDF$ 和$△ CEF$ 中，
$\because \begin{cases} BD=CE, \\ ∠ B=∠ C, \\ BF=CF, \end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ CEF(\mathrm{SAS})$.
$\therefore DF=EF$.
$\therefore △ DEF$ 是等腰三角形.
【知识点】
1. 等腰三角形的性质与判定
2. 全等三角形SAS判定
3. 线段中点的定义
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是结合已知条件找到全等三角形的判定依据，考查对基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
6. 如图，$∠ C = ∠ D$，$AC = BD$，$O$是$AD$，$BC$的交点，$E$是$AB$的中点，连接$OE$.
(1)求证：$△ AOC ≌ △ BOD$.
(2)判断$OE$和$AB$的位置关系，并说明理由.
(1)求证：$△ AOC ≌ △ BOD$.
(2)判断$OE$和$AB$的位置关系，并说明理由.
答案
6. (1)证明：在$△ AOC$ 和$△ BOD$ 中，
$\because \begin{cases} ∠ AOC=∠ BOD, \\ ∠ C=∠ D, \\ AC=BD, \end{cases}$
$\therefore △ AOC≌△ BOD(\mathrm{AAS})$.
(2)解：$OE⊥ AB$.
理由：$\because △ AOC≌△ BOD$,
$\therefore OA=OB$，即$△ AOB$ 为等腰三角形.
$\because E$ 是 $AB$ 的中点，
$\therefore OE⊥ AB$(三线合一).
$\because \begin{cases} ∠ AOC=∠ BOD, \\ ∠ C=∠ D, \\ AC=BD, \end{cases}$
$\therefore △ AOC≌△ BOD(\mathrm{AAS})$.
(2)解：$OE⊥ AB$.
理由：$\because △ AOC≌△ BOD$,
$\therefore OA=OB$，即$△ AOB$ 为等腰三角形.
$\because E$ 是 $AB$ 的中点，
$\therefore OE⊥ AB$(三线合一).
解析
【分析】
(1) 要证明△AOC≌△BOD，先梳理已知条件：题目给出∠C=∠D、AC=BD，再结合图形中∠AOC和∠BOD是对顶角、天然相等的隐含条件，三个条件刚好符合全等三角形的AAS判定规则，即可完成证明。
(2) 判断OE和AB的位置关系时，先由第一问的全等结论可得对应边OA=OB，推出△AOB是等腰三角形，已知E是AB中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，即可直接得出二者的垂直关系。
【解析】
(1) 证明：在△AOC和△BOD中，
$\because \begin{cases} ∠AOC=∠BOD \quad (\mathrm{对顶角相等}), \\ ∠C=∠D \quad (\mathrm{已知}), \\ AC=BD \quad (\mathrm{已知}), \end{cases}$
$\therefore △AOC≌△BOD(\mathrm{AAS})$。
(2) 解：$OE⊥ AB$，理由如下：
$\because △ AOC≌△ BOD$，
$\therefore OA=OB$，即$△ AOB$为等腰三角形，
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore OE⊥ AB$(等腰三角形三线合一)。
【答案】
(1) 已证$△ AOC ≌ △ BOD$；
(2) $OE⊥AB$
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题是几何基础综合题，将全等三角形和等腰三角形的核心考点结合考查，解题逻辑连贯，难度较低，需要学生熟练掌握全等判定的各类规则，以及等腰三角形三线合一性质的应用条件，证明过程要注意条件书写完整、逻辑严谨。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△AOC≌△BOD，先梳理已知条件：题目给出∠C=∠D、AC=BD，再结合图形中∠AOC和∠BOD是对顶角、天然相等的隐含条件，三个条件刚好符合全等三角形的AAS判定规则，即可完成证明。
(2) 判断OE和AB的位置关系时，先由第一问的全等结论可得对应边OA=OB，推出△AOB是等腰三角形，已知E是AB中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，即可直接得出二者的垂直关系。
【解析】
(1) 证明：在△AOC和△BOD中，
$\because \begin{cases} ∠AOC=∠BOD \quad (\mathrm{对顶角相等}), \\ ∠C=∠D \quad (\mathrm{已知}), \\ AC=BD \quad (\mathrm{已知}), \end{cases}$
$\therefore △AOC≌△BOD(\mathrm{AAS})$。
(2) 解：$OE⊥ AB$，理由如下：
$\because △ AOC≌△ BOD$，
$\therefore OA=OB$，即$△ AOB$为等腰三角形，
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore OE⊥ AB$(等腰三角形三线合一)。
【答案】
(1) 已证$△ AOC ≌ △ BOD$；
(2) $OE⊥AB$
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题是几何基础综合题，将全等三角形和等腰三角形的核心考点结合考查，解题逻辑连贯，难度较低，需要学生熟练掌握全等判定的各类规则，以及等腰三角形三线合一性质的应用条件，证明过程要注意条件书写完整、逻辑严谨。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$△ ABC$是等腰三角形，$AB=AC$，$D$是底边$BC$上任意一点，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$.若$AB$边上的高为6，求$DE+DF$的值.
第7题
第7题答案
7. 解：如图，连接AD.
$\because AB$ 边上的高为 6，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB×6$.
$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE$，$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC· DF$,
$\therefore \frac{1}{2}AB· DE + \frac{1}{2}AC· DF = \frac{1}{2}AB×6$.
$\because AB=AC$,
$\therefore AB· (DE+DF)=AB×6$.
$\therefore DE+DF=6$.
解析
【分析】
要求DE+DF的值，我们可以采用等面积法思考：首先连接AD，可将△ABC拆分为△ABD和△ACD两个小三角形，两个小三角形的面积之和等于大三角形△ABC的面积；接下来分别写出三个三角形的面积表达式，再结合AB=AC的等腰三角形性质化简等式，即可求出DE+DF的数值。
【解析】
解：如图，连接AD.
∵AB边上的高为6，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB×6$.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ADC}=\frac{1}{2}AC·DF$,
又
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ADC}$，
∴$\frac{1}{2}AB·DE + \frac{1}{2}AC·DF = \frac{1}{2}AB×6$.
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴等式两边同时约去$\frac{1}{2}AB$，可得：
$DE+DF=6$.
【答案】
$DE+DF=6$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题是等腰三角形线段求值的典型题型，通过面积拆分建立等量关系的思路非常常用，既避免了复杂的几何推理，又能快速得到结果，要熟练掌握等面积法在这类问题中的应用。
【难度系数】
0.7
要求DE+DF的值，我们可以采用等面积法思考：首先连接AD，可将△ABC拆分为△ABD和△ACD两个小三角形，两个小三角形的面积之和等于大三角形△ABC的面积；接下来分别写出三个三角形的面积表达式，再结合AB=AC的等腰三角形性质化简等式，即可求出DE+DF的数值。
【解析】
解：如图，连接AD.
∵AB边上的高为6，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB×6$.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ADC}=\frac{1}{2}AC·DF$,
又
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ADC}$，
∴$\frac{1}{2}AB·DE + \frac{1}{2}AC·DF = \frac{1}{2}AB×6$.
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴等式两边同时约去$\frac{1}{2}AB$，可得：
$DE+DF=6$.
【答案】
$DE+DF=6$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题是等腰三角形线段求值的典型题型，通过面积拆分建立等量关系的思路非常常用，既避免了复杂的几何推理，又能快速得到结果，要熟练掌握等面积法在这类问题中的应用。
【难度系数】
0.7
