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1.二次根式的乘法运算
两个算术平方根的积,等于它们被开方数的.即$\sqrt{a} · \sqrt{b} =\_\_\_\_\_\_(a≥0,b≥0)$.
2.商的算术平方根的性质
商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.即$\sqrt{\frac{b}{a}} =\_\_\_\_\_\_(a＞0,b≥0)$.
3.二次根式的除法运算
两个算术平方根的商,等于它们被开方数的,即$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =\_\_\_\_\_\_(a＞0,b≥0)$.
4.二次根式的乘除混合运算
二次根式乘除混合运算顺序:先乘方,再乘除,有括号的先算括号里面的,最后结果要化为最简二次根式.
两个算术平方根的积,等于它们被开方数的.即$\sqrt{a} · \sqrt{b} =\_\_\_\_\_\_(a≥0,b≥0)$.
2.商的算术平方根的性质
商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.即$\sqrt{\frac{b}{a}} =\_\_\_\_\_\_(a＞0,b≥0)$.
3.二次根式的除法运算
两个算术平方根的商,等于它们被开方数的,即$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} =\_\_\_\_\_\_(a＞0,b≥0)$.
4.二次根式的乘除混合运算
二次根式乘除混合运算顺序:先乘方,再乘除,有括号的先算括号里面的,最后结果要化为最简二次根式.
答案
1. 积，$\sqrt{a·b}$
2. $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$
3. 商，$\sqrt{\frac{b}{a}}$
2. $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$
3. 商，$\sqrt{\frac{b}{a}}$
解析
【分析】
本题考查二次根式乘除的基础性质，解题时可结合二次根式有意义的条件回忆对应法则：
1. 思考二次根式乘法的运算规律：两个非负实数的算术平方根相乘，可先将两个被开方数相乘，再对乘积开算术平方根，由此推导对应的公式；
2. 商的算术平方根性质是将分数形式的二次根式拆分为分子、分母分别开方再相除的形式，注意分母的被开方数必须大于0保证分式有意义；
3. 二次根式的除法是商的算术平方根性质的逆用，两个算术平方根相除，可先将被开方数相除，再对商开算术平方根，对应填写内容即可。
【解析】
1. 根据二次根式乘法运算法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积，且当$a≥0,b≥0$时，$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{a·b}$；
2. 根据商的算术平方根的性质，当$a＞0,b≥0$时，$\sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$；
3. 根据二次根式除法运算法则：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商，且当$a＞0,b≥0$时，$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$。
【答案】
1. 积，$\sqrt{a·b}$
2. $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$
3. 商，$\sqrt{\frac{b}{a}}$
【知识点】
二次根式的乘法法则；商的算术平方根的性质；二次根式的除法法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对二次根式乘除相关性质的记忆与理解，解题时需注意各性质对应的字母取值范围，避免因忽略取值限制导致概念应用错误。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式乘除的基础性质，解题时可结合二次根式有意义的条件回忆对应法则：
1. 思考二次根式乘法的运算规律：两个非负实数的算术平方根相乘，可先将两个被开方数相乘，再对乘积开算术平方根，由此推导对应的公式；
2. 商的算术平方根性质是将分数形式的二次根式拆分为分子、分母分别开方再相除的形式，注意分母的被开方数必须大于0保证分式有意义；
3. 二次根式的除法是商的算术平方根性质的逆用，两个算术平方根相除，可先将被开方数相除，再对商开算术平方根，对应填写内容即可。
【解析】
1. 根据二次根式乘法运算法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积，且当$a≥0,b≥0$时，$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{a·b}$；
2. 根据商的算术平方根的性质，当$a＞0,b≥0$时，$\sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$；
3. 根据二次根式除法运算法则：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商，且当$a＞0,b≥0$时，$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$。
【答案】
1. 积，$\sqrt{a·b}$
2. $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$
3. 商，$\sqrt{\frac{b}{a}}$
【知识点】
二次根式的乘法法则；商的算术平方根的性质；二次根式的除法法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对二次根式乘除相关性质的记忆与理解，解题时需注意各性质对应的字母取值范围，避免因忽略取值限制导致概念应用错误。
【难度系数】
0.9
【例1】计算：
(1)$\sqrt{2} × \sqrt{5}$；
(2)$\sqrt{\frac{1}{3}} × \sqrt{9}$；
(3)$\sqrt{14} × \sqrt{7}$；
(4)$3\sqrt{5} × 2\sqrt{10}$。
(1)$\sqrt{2} × \sqrt{5}$；
(2)$\sqrt{\frac{1}{3}} × \sqrt{9}$；
(3)$\sqrt{14} × \sqrt{7}$；
(4)$3\sqrt{5} × 2\sqrt{10}$。
答案
解:(1)原式$=\sqrt{2×5}=\sqrt{10}$。
(2)原式$=\sqrt{\frac{1}{3}×9}=\sqrt{3}$。
(3)原式$=\sqrt{14×7}=\sqrt{2×7×7}=\sqrt{2}×\sqrt{49}=7\sqrt{2}$。
(4)原式$=6\sqrt{50}=6×\sqrt{25×2}=6×\sqrt{25}×\sqrt{2}=30\sqrt{2}$。
(2)原式$=\sqrt{\frac{1}{3}×9}=\sqrt{3}$。
(3)原式$=\sqrt{14×7}=\sqrt{2×7×7}=\sqrt{2}×\sqrt{49}=7\sqrt{2}$。
(4)原式$=6\sqrt{50}=6×\sqrt{25×2}=6×\sqrt{25}×\sqrt{2}=30\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解决这组题首先要牢记二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$），若二次根式带有系数，则系数与系数相乘，二次根式部分按上述法则计算，最后结果需化为最简二次根式（被开方数不含能开得尽方的因数、不含分母）。
具体到各小题：(1)(2)直接套用乘法法则计算即可；(3)计算被开方数乘积后，分解出能开得尽方的因数再化简；(4)先计算系数的乘积，再计算二次根式部分的乘积，最后化简即可。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则，原式$=\sqrt{2×5}=\sqrt{10}$；
(2) 原式$=\sqrt{\frac{1}{3}×9}=\sqrt{3}$；
(3) 原式$=\sqrt{14×7}=\sqrt{2×7×7}=\sqrt{2}×\sqrt{49}=7\sqrt{2}$；
(4) 先计算系数乘积，再算根式部分，原式$=3×2×\sqrt{5×10}=6\sqrt{50}=6×\sqrt{25×2}=6×\sqrt{25}×\sqrt{2}=30\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$\sqrt{10}$；(2)$\sqrt{3}$；(3)$7\sqrt{2}$；(4)$30\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法法则，最简二次根式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘法的基础运算题，核心是掌握二次根式乘法的运算规则，运算时要注意带系数的二次根式相乘时不要漏乘系数，最终结果必须化为最简二次根式，养成良好的运算习惯。
【难度系数】
0.9
解决这组题首先要牢记二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$），若二次根式带有系数，则系数与系数相乘，二次根式部分按上述法则计算，最后结果需化为最简二次根式（被开方数不含能开得尽方的因数、不含分母）。
具体到各小题：(1)(2)直接套用乘法法则计算即可；(3)计算被开方数乘积后，分解出能开得尽方的因数再化简；(4)先计算系数的乘积，再计算二次根式部分的乘积，最后化简即可。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则，原式$=\sqrt{2×5}=\sqrt{10}$；
(2) 原式$=\sqrt{\frac{1}{3}×9}=\sqrt{3}$；
(3) 原式$=\sqrt{14×7}=\sqrt{2×7×7}=\sqrt{2}×\sqrt{49}=7\sqrt{2}$；
(4) 先计算系数乘积，再算根式部分，原式$=3×2×\sqrt{5×10}=6\sqrt{50}=6×\sqrt{25×2}=6×\sqrt{25}×\sqrt{2}=30\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$\sqrt{10}$；(2)$\sqrt{3}$；(3)$7\sqrt{2}$；(4)$30\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法法则，最简二次根式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘法的基础运算题，核心是掌握二次根式乘法的运算规则，运算时要注意带系数的二次根式相乘时不要漏乘系数，最终结果必须化为最简二次根式，养成良好的运算习惯。
【难度系数】
0.9
【变式1】从$\sqrt{2}, -\sqrt{3}, -\sqrt{2}$这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【变式2】计算：$-\frac{1}{2}\sqrt{48} × \sqrt{\frac{1}{3}} =$
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【变式2】计算：$-\frac{1}{2}\sqrt{48} × \sqrt{\frac{1}{3}} =$
-2
.答案
【变式1】C
【变式2】-2
【变式2】-2
解析
【分析】
对于变式1：解题时先列出从三个数中任选两数相乘的所有情况，再根据二次根式乘法法则计算出每一个乘积，最后将各乘积与2比较大小，统计小于2的个数即可。
对于变式2：根据二次根式的乘法运算规则，先将系数相乘，再将被开方数部分按二次根式乘法法则计算并化简，最后将两部分结果相乘即可得到答案。
【解析】
★变式1：
从三个数中任选两数相乘，共有3种情况：
1. $\sqrt{2} × (-\sqrt{3}) = -\sqrt{6}$，$\sqrt{6}\approx2.45$，故$-\sqrt{6}\approx-2.45 ＜ 2$，符合要求；
2. $\sqrt{2} × (-\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^2 = -2 ＜ 2$，符合要求；
3. $(-\sqrt{3}) × (-\sqrt{2}) = \sqrt{6}\approx2.45 ＞ 2$，不符合要求。
综上，小于2的积共有2个。
★变式2：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，计算如下：
$-\frac{1}{2}\sqrt{48} × \sqrt{\frac{1}{3}} = -\frac{1}{2} × \sqrt{48 × \frac{1}{3}} = -\frac{1}{2} × \sqrt{16} = -\frac{1}{2} × 4 = -2$
【答案】
【变式1】C；【变式2】-2
【知识点】
二次根式乘法运算；实数大小比较
【点评】
两道题均是二次根式乘法相关的基础题型，重点考察对二次根式乘法法则的掌握程度和实数大小判断能力，运算时注意符号的处理即可避免出错。
【难度系数】
0.8
对于变式1：解题时先列出从三个数中任选两数相乘的所有情况，再根据二次根式乘法法则计算出每一个乘积，最后将各乘积与2比较大小，统计小于2的个数即可。
对于变式2：根据二次根式的乘法运算规则，先将系数相乘，再将被开方数部分按二次根式乘法法则计算并化简，最后将两部分结果相乘即可得到答案。
【解析】
★变式1：
从三个数中任选两数相乘，共有3种情况：
1. $\sqrt{2} × (-\sqrt{3}) = -\sqrt{6}$，$\sqrt{6}\approx2.45$，故$-\sqrt{6}\approx-2.45 ＜ 2$，符合要求；
2. $\sqrt{2} × (-\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^2 = -2 ＜ 2$，符合要求；
3. $(-\sqrt{3}) × (-\sqrt{2}) = \sqrt{6}\approx2.45 ＞ 2$，不符合要求。
综上，小于2的积共有2个。
★变式2：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，计算如下：
$-\frac{1}{2}\sqrt{48} × \sqrt{\frac{1}{3}} = -\frac{1}{2} × \sqrt{48 × \frac{1}{3}} = -\frac{1}{2} × \sqrt{16} = -\frac{1}{2} × 4 = -2$
【答案】
【变式1】C；【变式2】-2
【知识点】
二次根式乘法运算；实数大小比较
【点评】
两道题均是二次根式乘法相关的基础题型，重点考察对二次根式乘法法则的掌握程度和实数大小判断能力，运算时注意符号的处理即可避免出错。
【难度系数】
0.8
【例2】计算：
(1) $\sqrt{18} ÷ \sqrt{8}$；
(2) $\dfrac{4\sqrt{15}}{2\sqrt{5}}$；
(3) $\sqrt{1\dfrac{2}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{5}{6}}$；
(4) $\dfrac{2\sqrt{x^2 y}}{3\sqrt{xy}}$。
(1) $\sqrt{18} ÷ \sqrt{8}$；
(2) $\dfrac{4\sqrt{15}}{2\sqrt{5}}$；
(3) $\sqrt{1\dfrac{2}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{5}{6}}$；
(4) $\dfrac{2\sqrt{x^2 y}}{3\sqrt{xy}}$。
答案
解:(1)原式$=\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$。
(2)原式$=2\sqrt{\frac{15}{5}}=2\sqrt{3}$。
(3)原式$=\sqrt{\frac{5}{3}÷\frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{6}{5}}=\sqrt{2}$。
(4)原式$=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x^2 y}{xy}}=\frac{2}{3}\sqrt{x}$。
(2)原式$=2\sqrt{\frac{15}{5}}=2\sqrt{3}$。
(3)原式$=\sqrt{\frac{5}{3}÷\frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{6}{5}}=\sqrt{2}$。
(4)原式$=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x^2 y}{xy}}=\frac{2}{3}\sqrt{x}$。
解析
【分析】
解决这类二次根式除法运算题，核心是运用二次根式的除法法则：$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），运算时遵循“系数先相除，被开方数再相除，最后结果化为最简二次根式”的步骤：
1. 无额外系数的二次根式除法，直接将被开方数相除后开方化简；
2. 带系数的二次根式除法，先把系数相除作为结果的系数，再把被开方数相除后放到根号下化简；
3. 遇到带分数先化为假分数再计算，含有字母的要注意被开方数非负、分母不为0的隐含条件，约分时保证约掉的因式不为0。
【解析】
(1) 根据二次根式除法法则，将被开方数相除后化简：
原式$=\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$
(2) 先计算系数的商，再计算被开方数的商后化简：
原式$=\frac{4}{2}×\sqrt{\frac{15}{5}}=2\sqrt{3}$
(3) 先把带分数化为假分数，再根据除法法则计算：
原式$=\sqrt{\frac{5}{3} ÷ \frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{5}{3} × \frac{6}{5}}=\sqrt{2}$
(4) 先计算系数的商，再对被开方数约分后化简（由根式有意义可知$x＞0,y＞0$，可直接约分）：
原式$=\frac{2}{3}×\sqrt{\frac{x^2 y}{xy}}=\frac{2}{3}\sqrt{x}$
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$；(2) $2\sqrt{3}$；(3) $\sqrt{2}$；(4) $\frac{2}{3}\sqrt{x}$
【知识点】
二次根式除法法则、二次根式化简、带分数化假分数
【点评】
本题是二次根式除法的基础训练题，主要考查对二次根式除法运算规则的掌握，运算时要注意先处理系数、后处理被开方数，遇到带分数先转化为假分数，最终结果要化为最简形式，熟练掌握这类题型能为后续复杂二次根式运算打好基础。
【难度系数】
0.8
解决这类二次根式除法运算题，核心是运用二次根式的除法法则：$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），运算时遵循“系数先相除，被开方数再相除，最后结果化为最简二次根式”的步骤：
1. 无额外系数的二次根式除法，直接将被开方数相除后开方化简；
2. 带系数的二次根式除法，先把系数相除作为结果的系数，再把被开方数相除后放到根号下化简；
3. 遇到带分数先化为假分数再计算，含有字母的要注意被开方数非负、分母不为0的隐含条件，约分时保证约掉的因式不为0。
【解析】
(1) 根据二次根式除法法则，将被开方数相除后化简：
原式$=\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$
(2) 先计算系数的商，再计算被开方数的商后化简：
原式$=\frac{4}{2}×\sqrt{\frac{15}{5}}=2\sqrt{3}$
(3) 先把带分数化为假分数，再根据除法法则计算：
原式$=\sqrt{\frac{5}{3} ÷ \frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{5}{3} × \frac{6}{5}}=\sqrt{2}$
(4) 先计算系数的商，再对被开方数约分后化简（由根式有意义可知$x＞0,y＞0$，可直接约分）：
原式$=\frac{2}{3}×\sqrt{\frac{x^2 y}{xy}}=\frac{2}{3}\sqrt{x}$
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$；(2) $2\sqrt{3}$；(3) $\sqrt{2}$；(4) $\frac{2}{3}\sqrt{x}$
【知识点】
二次根式除法法则、二次根式化简、带分数化假分数
【点评】
本题是二次根式除法的基础训练题，主要考查对二次根式除法运算规则的掌握，运算时要注意先处理系数、后处理被开方数，遇到带分数先转化为假分数，最终结果要化为最简形式，熟练掌握这类题型能为后续复杂二次根式运算打好基础。
【难度系数】
0.8
【变式1】下列各式的计算正确的是 （
A.$\sqrt{\frac{-4}{-9}}=\frac{\sqrt{-4}}{\sqrt{-9}}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$
B.$\sqrt{4\frac{1}{9}}=2\frac{1}{3}$
C.$\sqrt{\frac{3}{4}}=2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{\frac{3}{11}}÷\sqrt{3\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{3}{11}÷\frac{11}{3}}=\frac{3}{11}$
D
）A.$\sqrt{\frac{-4}{-9}}=\frac{\sqrt{-4}}{\sqrt{-9}}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$
B.$\sqrt{4\frac{1}{9}}=2\frac{1}{3}$
C.$\sqrt{\frac{3}{4}}=2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{\frac{3}{11}}÷\sqrt{3\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{3}{11}÷\frac{11}{3}}=\frac{3}{11}$
答案
【变式1】D
解析
【分析】
本题考查二次根式的性质与乘除运算，解题思路如下：首先明确二次根式的核心要求：被开方数必须为非负数，分母不能为0；其次掌握商的算术平方根性质、二次根式除法法则，以及带分数参与运算时需先化为假分数的规则；最后逐一验证四个选项的运算是否符合规则，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：二次根式的被开方数必须是非负数，因此$\sqrt{-4}$、$\sqrt{-9}$均无意义，该运算错误。正确运算应为$\sqrt{\frac{-4}{-9}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}$，故A不符合要求。
B选项：带分数运算需先化为假分数，$4\frac{1}{9}=\frac{37}{9}$，因此$\sqrt{4\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{37}{9}}=\frac{\sqrt{37}}{3}$，而$2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$，$(\frac{7}{3})^2=\frac{49}{9}≠4\frac{1}{9}$，故B运算错误。
C选项：根据商的算术平方根性质，$\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，不是$2\sqrt{3}$，故C运算错误。
D选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}$（$a≥0,b＞0$），先将带分数$3\frac{2}{3}$化为假分数$\frac{11}{3}$，则原式$=\sqrt{\frac{3}{11}÷\frac{11}{3}}=\sqrt{\frac{3}{11}×\frac{3}{11}}=\sqrt{\frac{9}{121}}=\frac{3}{11}$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的除法法则 3.二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，易错点有三个：一是忽略二次根式被开方数非负的要求，误判A选项正确；二是计算带分数的二次根式时，直接对整数部分和分数部分分别开方，错选B；三是化简二次根式时分子分母颠倒错选C。做题时需严格按照运算规则逐一验证，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的性质与乘除运算，解题思路如下：首先明确二次根式的核心要求：被开方数必须为非负数，分母不能为0；其次掌握商的算术平方根性质、二次根式除法法则，以及带分数参与运算时需先化为假分数的规则；最后逐一验证四个选项的运算是否符合规则，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：二次根式的被开方数必须是非负数，因此$\sqrt{-4}$、$\sqrt{-9}$均无意义，该运算错误。正确运算应为$\sqrt{\frac{-4}{-9}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}$，故A不符合要求。
B选项：带分数运算需先化为假分数，$4\frac{1}{9}=\frac{37}{9}$，因此$\sqrt{4\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{37}{9}}=\frac{\sqrt{37}}{3}$，而$2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$，$(\frac{7}{3})^2=\frac{49}{9}≠4\frac{1}{9}$，故B运算错误。
C选项：根据商的算术平方根性质，$\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，不是$2\sqrt{3}$，故C运算错误。
D选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}$（$a≥0,b＞0$），先将带分数$3\frac{2}{3}$化为假分数$\frac{11}{3}$，则原式$=\sqrt{\frac{3}{11}÷\frac{11}{3}}=\sqrt{\frac{3}{11}×\frac{3}{11}}=\sqrt{\frac{9}{121}}=\frac{3}{11}$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的除法法则 3.二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，易错点有三个：一是忽略二次根式被开方数非负的要求，误判A选项正确；二是计算带分数的二次根式时，直接对整数部分和分数部分分别开方，错选B；三是化简二次根式时分子分母颠倒错选C。做题时需严格按照运算规则逐一验证，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
【变式2】若长方形的面积为$S$,相邻两边的长分别为$a,b$,已知$S=\sqrt{5},a=\sqrt{15}$,则$b=$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
.答案
【变式2】$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据长方形面积公式$S=ab$，推导求邻边长$b$的公式为$b=S÷ a$；第二步，将已知的$S$和$a$的二次根式数值代入公式；第三步，运用二次根式的除法法则进行计算，最后将结果化为最简二次根式即可得到答案。
【解析】
解：根据长方形的面积公式$ S = ab $，可得邻边长$ b = \frac{S}{a} $。
将$ S=\sqrt{5} $，$ a=\sqrt{15} $代入上式：
$\begin{aligned}b&=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}\\&=\sqrt{\frac{5}{15}}\\&=\sqrt{\frac{1}{3}}\\&=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
（最后一步为分母有理化，将分子分母同乘$\sqrt{3}$得到最简二次根式）
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
长方形面积计算、二次根式的除法运算、最简二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础应用题，结合常见几何图形的面积公式考察计算能力，解题关键是熟练掌握二次根式的除法法则和最简二次根式的化简要求，注意计算结果需符合二次根式的书写规范。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，根据长方形面积公式$S=ab$，推导求邻边长$b$的公式为$b=S÷ a$；第二步，将已知的$S$和$a$的二次根式数值代入公式；第三步，运用二次根式的除法法则进行计算，最后将结果化为最简二次根式即可得到答案。
【解析】
解：根据长方形的面积公式$ S = ab $，可得邻边长$ b = \frac{S}{a} $。
将$ S=\sqrt{5} $，$ a=\sqrt{15} $代入上式：
$\begin{aligned}b&=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}\\&=\sqrt{\frac{5}{15}}\\&=\sqrt{\frac{1}{3}}\\&=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
（最后一步为分母有理化，将分子分母同乘$\sqrt{3}$得到最简二次根式）
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
长方形面积计算、二次根式的除法运算、最简二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础应用题，结合常见几何图形的面积公式考察计算能力，解题关键是熟练掌握二次根式的除法法则和最简二次根式的化简要求，注意计算结果需符合二次根式的书写规范。
【难度系数】
0.8
