知识点1 与圆有关的概念
|分类|定义|示意图|表示方法|
|----|----|----|----|
|圆|如图,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆||(1)圆O记作$\_\_\_\_\_\_$;
(2)OA称为$\_\_\_\_\_\_$;
(3)端点O称为$\_\_\_\_\_\_$|
|弦|连接$\_\_\_\_\_\_$任意两点的线段叫作$\_\_\_\_\_\_$
注:在同一个圆中,$\_\_\_\_\_\_$是最长的弦,半径不是弦||(1)弦有$\_\_\_\_\_\_$;
(2)直径有$\_\_\_\_\_\_$|
|弧|圆上任意两点间的部分叫作$\_\_\_\_\_\_$,简称$\_\_\_\_\_\_$;
半圆:直径的两个端点把圆分成$\_\_\_\_\_\_$个半圆;
优弧:大于半圆的弧;
劣弧:小于半圆的弧||(1)优弧有$\_\_\_\_\_\_$,$\_\_\_\_\_\_$;
(2)劣弧有$\_\_\_\_\_\_$,$\_\_\_\_\_\_$|
|等圆|能够$\_\_\_\_\_\_$的两个圆叫作等圆
注:半径相等的圆是等圆||$\because \odot O$和$\odot O'$的半径相等,
$\therefore \odot O$和$\odot O'$是$\_\_\_\_\_\_$|
|等弧|在同圆或等圆中,能够$\_\_\_\_\_\_$的弧叫作等弧
注:等弧是能够完全重合的,而不仅仅是弧长相等,等弧只存在于同圆或等圆中||已知$\odot O$与$\odot O'$是等圆,若$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{A'B'}$长度相等,则$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{A'B'}$是$\_\_\_\_\_\_$|

⊙O 半径 圆心 圆上 弦 直径 AB,CD,AE AB 圆弧 弧 两 $\overgroup{CAB}$ $\overgroup{BCA}$ $\overgroup{CB}$ $\overgroup{BA}$ 重合 等圆 互相重合 等弧

【分析】
本题考查圆相关的基础概念，解题时只需对应各分类下的定义，结合给出的示意图逐一匹配填空即可。首先回忆圆的表示方法、各组成部分的名称；再结合弦、弧的定义，识别示意图中的弦、直径、优弧、劣弧；最后根据等圆、等弧的定义完成剩余填空，所有考点均来自教材基础定义，牢记概念就能顺利解题。
【解析】
1. 圆的相关填空：根据圆的定义，以O为圆心的圆记作$\odot O$，固定端点O是圆心，线段OA是半径。
2. 弦的相关填空：弦的定义是连接圆上任意两点的线段，同圆中直径是最长的弦；观察示意图，圆上的线段AB、CD、AE均为弦，其中过圆心的AB是直径。
3. 弧的相关填空：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧；直径的两个端点把圆分成2个半圆；大于半圆的优弧用三个字母表示，图中优弧有$\overgroup{CAB}$、$\overgroup{BCA}$；小于半圆的劣弧用两个字母表示，图中劣弧有$\overgroup{CB}$、$\overgroup{BA}$。
4. 等圆的相关填空：能够完全重合的两个圆是等圆，半径相等的$\odot O$和$\odot O'$可以重合，因此是等圆。
5. 等弧的相关填空：同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，等圆中长度相等的弧可以完全重合，因此$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{A'B'}$是等弧。
【答案】
$\odot O$；半径；圆心；圆上；弦；直径；$AB,CD,AE$；$AB$；圆弧；弧；两；$\overgroup{CAB}$；$\overgroup{BCA}$；$\overgroup{CB}$；$\overgroup{BA}$；重合；等圆；互相重合；等弧
【知识点】
1. 圆的基本概念
2. 弦与弧的定义
3. 等圆与等弧的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验学生对圆相关基础定义的记忆和理解程度，熟练掌握各类概念即可轻松作答，是学习圆板块后续知识的必备基础。
【难度系数】
0.9

1.【例1】如图,在$\odot O$中.
(1)半径有;
(2)直径有;
(3)弦有;
(4)劣弧$BC$对应的优弧是,另一个劣弧是,它对应的优弧是;
(5)半圆弧有.

1. (1) OA,OB (2) AB (3) AB,AC,BC (4) $\overgroup{CAB}$ $\overgroup{AC}$ $\overgroup{ABC}$ (5) $\overgroup{AB},\overgroup{BA}$

【分析】
解题时先回忆圆的相关基本概念，再结合图形逐一判断：
1. 首先明确圆心为O，圆上的点有A、B、C三个，图中画出的线段有OA、OB、AB、AC、BC；
2. 对应各问题的概念筛选：
(1) 半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，据此找符合的线段；
(2) 直径是经过圆心、且两个端点都在圆上的线段，据此判断；
(3) 弦是两个端点都在圆上的线段，据此找所有符合的线段；
(4) 劣弧是小于半圆的弧，优弧是大于半圆的弧，优弧需要用三个字母表示，先找出所有劣弧，再找对应优弧；
(5) 半圆是直径把圆分成的两个等弧，据此找半圆弧。
【解析】
(1) 根据半径的定义，连接圆心O和圆上点的线段为OA、OB，因此半径是OA、OB；
(2) 根据直径的定义，过圆心且两端都在圆上的线段为AB，因此直径是AB；
(3) 根据弦的定义，两端都在圆上的线段有AB、AC、BC，因此弦是AB、AC、BC；
(4) 劣弧$\overgroup{BC}$是小于半圆的弧，对应的优弧为大于半圆的$\overgroup{CAB}$；另一个劣弧为$\overgroup{AC}$，它对应的优弧是$\overgroup{ABC}$；
(5) 直径AB将圆分为两个半圆弧，为$\overgroup{AB}$和$\overgroup{BA}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{OA,OB}$ (2) $\boldsymbol{AB}$ (3) $\boldsymbol{AB,AC,BC}$ (4) $\boldsymbol{\overgroup{CAB}}$；$\boldsymbol{\overgroup{AC}}$；$\boldsymbol{\overgroup{ABC}}$ (5) $\boldsymbol{\overgroup{AB},\overgroup{BA}}$
【知识点】
1. 半径与直径的定义 2. 弦的定义 3. 弧的分类
【点评】
本题属于基础概念辨识题，核心考查对圆的各类基本概念的掌握，解题时只要紧扣各概念的定义，结合图形排查即可，需要注意优弧需用三个字母表示，仅统计题目图形中已画出的线段。
【难度系数】
0.9

2. 如图,在$\odot O$中.
(1)直径是;
(2)弦有;
(3)半径有;
(4)劣弧有;
(5)优弧有.

2. (1) AB (2) AC,BC,AB (3) OA,OB,OC (4) $\overgroup{AC},\overgroup{BC}$ (5) $\overgroup{CAB},\overgroup{CBA}$

【分析】
解题时首先要明确圆的各相关概念的定义，再对应图形逐一识别：①直径是经过圆心的弦；②弦是连接圆上任意两点的线段；③半径是圆心到圆上任意一点的线段；④劣弧是小于半圆的弧；⑤优弧是大于半圆的弧，需用三个字母表示。按照各定义逐一梳理图中的线段和弧即可得到结果。
【解析】
(1) 根据直径的定义：经过圆心的弦为直径，图中线段AB过圆心O，且两端点都在圆上，故直径为AB；
(2) 根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段为弦，图中符合条件的线段有AC、BC、AB，共3条；
(3) 根据半径的定义：连接圆心与圆上任意一点的线段为半径，圆心为O，圆上点有A、B、C，故半径为OA、OB、OC；
(4) 根据劣弧的定义：小于半圆的弧为劣弧，AB为直径将圆分为两个半圆，小于半圆的弧为$\overgroup{AC}$、$\overgroup{BC}$；
(5) 根据优弧的定义：大于半圆的弧为优弧，需用三个字母表示，符合条件的为$\overgroup{CAB}$、$\overgroup{CBA}$。
【答案】
(1) AB (2) AC,BC,AB (3) OA,OB,OC (4) $\overgroup{AC},\overgroup{BC}$ (5) $\overgroup{CAB},\overgroup{CBA}$
【知识点】
直径的识别；弦的识别；弧的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对圆的各类基础定义的掌握程度，解题的关键是牢记各概念的区分标准，注意优弧需要用三个端点的字母表示，避免和劣弧的表示方法混淆。
【难度系数】
0.9

3.【例2】如图，OA，OB是$\odot O$的两条半径，$∠ AOB = 90°$，$OA = 4$，则$OB =$ ，$∠ A =$ ，$AB =$ 。

3. 4 $45°$ $4\sqrt{2}$

【分析】
解题思路：首先回忆圆的基本性质，同圆的所有半径长度相等，据此可直接得出OB的长度；接下来判断△AOB的形状，已知∠AOB=90°且OA=OB，可知它是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形底角相等、三角形内角和为180°即可算出∠A的度数；最后求AB的长度，在直角三角形中用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
1. 求OB的长度：
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，同圆的半径长度相等，已知$OA=4$，
∴$OB=OA=4$。
2. 求$∠ A$的度数：
∵$∠ AOB=90°$，$OA=OB$，
∴$△ AOB$是等腰直角三角形，底角$∠ A$和$∠ B$相等，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ A=(180°-∠ AOB)÷2=(180°-90°)÷2=45°$。
3. 求$AB$的长度：
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4$；$45°$；$4\sqrt{2}$
【知识点】
圆的半径性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的基本性质与三角形相关知识的结合应用，解题的关键是先利用同圆半径相等得到两条边相等，再结合已知直角判断三角形形状，后续计算即可顺利完成。
【难度系数】
0.9

4. 如图,在直径为 100 mm 的$\odot O$中,弦$AB = 50$ mm,则$∠ AOB$的度数为.

4. $60°$

【分析】
解题时首先根据圆的直径求出半径长度，结合同圆的半径相等，可得OA、OB的长度均等于半径，再对比弦AB的长度，可判断出△OAB的形状，最后利用该特殊三角形的内角性质即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：已知⊙O的直径为100mm，因此⊙O的半径为：
$OA=OB=\frac{1}{2}×100=50\mathrm{mm}$
又已知弦$AB=50\mathrm{mm}$，因此$OA=OB=AB$，
所以$△ OAB$是等边三角形，
根据等边三角形的内角均为$60°$，可得$∠ AOB=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
圆的基本性质、等边三角形的判定、等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，将圆的半径特征和等边三角形的知识点结合考查，解题关键是判断出△OAB为等边三角形，掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8