1 如图，某商场有一自动扶梯，其坡角为$28°$，高为7米。用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是（）

A.7 × sin 2 8 =
B.7 ÷ sin 2 8 =
C.7 × tan 2 8 =
D.7 ÷ tan 2 8 =

B

在扶梯、地面、竖直高度构成的直角三角形中，坡角28°的对边为竖直高度7米，斜边为扶梯长度AB。根据正弦函数定义：$\sin28°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{7}{AB}$，变形得$AB=\frac{7}{\sin28°}$，对应的计算器按键顺序为7 ÷ sin 2 8 =，符合选项B的操作。

2 [2026 绥化]如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B，此时从探测器上看目标B的俯角α=30°，探测器飞行的高度AC=60√3 m，则探测器到目标B的距离AB约为(参考数据:√3≈1.732，结果精确到0.1 m) （）

A.207.8 m
B.207.9 m
C.208.8 m
D.208.9 m

A

在Rt△ABC中，∠C=90°，由俯角的定义可得∠B=α=30°。根据锐角三角函数的正弦定义：$\sin B=\frac{AC}{AB}$，因此$AB=\frac{AC}{\sin30°}=\frac{60\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=120\sqrt{3}$。将$\sqrt{3}\approx1.732$代入，得$AB\approx120×1.732=207.84$，精确到0.1m后约为207.8m。

3 [2026上海]如图，小明正在确认大楼是否安全，规定$\frac{h}{d}＜\frac{1}{8}$即为安全.
（1）当$d=100$米时，$h$至少小于多少米？
（2）若测得$AB$的长为$a$，$BC$的长为$b$，仰角为$θ$，求$\frac{h}{d}$（用含有$a,b,θ$的代数式表示）.

解：
(1) 将$d=100$代入$\frac{h}{d}＜\frac{1}{8}$，得
$\frac{h}{100}＜\frac{1}{8},$
解得$h＜12.5$。
即h至少小于12.5米。
(2) 在含仰角$θ$的直角三角形中：
$d = b\cosθ$，
$h - a = b\sinθ$，即$h = a + b\sinθ$，
因此
$\frac{h}{d}=\frac{a + b\sinθ}{b\cosθ}.$

4 [2026达州]在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九年级(6)班同学需要翻越一座小山.他们由山脚A处出发，先沿坡角为$42°$的山坡行走300 m到达B处，再沿坡角为$30°$的山坡行走200 m到达山顶C处.估计这座小山的高度(参考数据:$\sin 42° \approx 0.67$，$\cos 42° \approx 0.74$，$\tan 42° \approx 0.90$，结果保留整数).

解：分别过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥BE于点G，
由BE//AD可知，山顶C到山脚地面AD的总高度为BF与CG的和。
在Rt△ABF中，AB=300 m，∠BAF=42°，
$BF = AB·\sin42° \approx 300×0.67 = 201\ \mathrm{m}$
在Rt△BCG中，BC=200 m，∠CBG=30°，
$CG = BC·\sin30° = 200×\frac{1}{2} = 100\ \mathrm{m}$
因此小山的总高度为：
$BF + CG \approx 201 + 100 = 301\ \mathrm{m}$
答：这座小山的高度约为301 m。