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【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?
【问题初探】(1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，
如图1,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,$DE⊥ AB,DF⊥ AC$,垂足分别为点E,F.经过合作,该小组的同学们得出的结论是$DE=DF$,并且展示了他们的证法如下:
证明:如图1,
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠ DEB=∠ DFC=90°,$
$\because AB=AC,$
$\therefore ∠ B=∠ C$(依据1),
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD,$
在$△ BDE$和$△ CDF$中，$\{\begin{array}{l}∠ DEB=∠ DFC,\\∠ B=∠ C,\\BD=CD.\end{array} $
$\therefore △ BDE≌△ CDF$(依据2).
$\therefore DE=DF.$
①请写出依据1和依据2的内容:依据1:
【类比探究】(2)奋斗小组的同学们认真研究过后,发现以下两个正确结论:①在图3中$AB=AC$,D为BC中点,若$DE,DF$分别为$△ ABD$和$△ ACD$的中线,那么$DE=DF$仍然成立;②在图4中$AB=AC$,D为BC中点,若$DE$,
DF分别为$△ ABD$和$△ ACD$的角平分线,那么$DE=DF$仍然成立.请对上述两个结论,写出证明过程.
(3)未来小组的同学们经过探究又有新的发现,如图5,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,D为BC中点,$DE⊥ AB$,作腰AB上的高CG,则CG与DE有确定的数量关系,请你直接写出这个数量关系
【问题初探】(1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，
如图1,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,$DE⊥ AB,DF⊥ AC$,垂足分别为点E,F.经过合作,该小组的同学们得出的结论是$DE=DF$,并且展示了他们的证法如下:
证明:如图1,
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠ DEB=∠ DFC=90°,$
$\because AB=AC,$
$\therefore ∠ B=∠ C$(依据1),
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD,$
在$△ BDE$和$△ CDF$中，$\{\begin{array}{l}∠ DEB=∠ DFC,\\∠ B=∠ C,\\BD=CD.\end{array} $
$\therefore △ BDE≌△ CDF$(依据2).
$\therefore DE=DF.$
①请写出依据1和依据2的内容:依据1:
等边对等角
;依据2:AAS
;②请你应用图2写出一种不同于希望小组的证法.【类比探究】(2)奋斗小组的同学们认真研究过后,发现以下两个正确结论:①在图3中$AB=AC$,D为BC中点,若$DE,DF$分别为$△ ABD$和$△ ACD$的中线,那么$DE=DF$仍然成立;②在图4中$AB=AC$,D为BC中点,若$DE$,
DF分别为$△ ABD$和$△ ACD$的角平分线,那么$DE=DF$仍然成立.请对上述两个结论,写出证明过程.
(3)未来小组的同学们经过探究又有新的发现,如图5,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,D为BC中点,$DE⊥ AB$,作腰AB上的高CG,则CG与DE有确定的数量关系,请你直接写出这个数量关系
CG=2DE
.答案
1. ① 依据1：等边对等角，依据2：AAS；② 连接AD,
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD平分∠BAC. 又
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF
2. 在图3中,
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD平分∠BAC,即∠DAE=∠DAF.
∵DE,DF分别为△ABD和△ACD的中线,
∴AE=$\frac{1}{2}$AB,AF=$\frac{1}{2}$AC. 又
∵AB=AC,
∴AE=AF. 在△AED和△AFD中$\begin{cases} AE=AF, \\ ∠EAD=∠FAD, \\ AD=AD. \end{cases}$
∴△ADE≌△ADF(SAS).
∴DE=DF; 在图4中,
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,BD=CD,∠B=∠C.
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵DE,DF分别为△ABD和△ACD的角平分线，
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ADB=45°,∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°.
∴∠BDE=∠CDF. 在△BDE和△CDF中,$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ BD=CD, \\ ∠BDE=∠CDF, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(ASA),
∴DE=DF
3. CG=2DE
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD平分∠BAC. 又
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF
2. 在图3中,
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD平分∠BAC,即∠DAE=∠DAF.
∵DE,DF分别为△ABD和△ACD的中线,
∴AE=$\frac{1}{2}$AB,AF=$\frac{1}{2}$AC. 又
∵AB=AC,
∴AE=AF. 在△AED和△AFD中$\begin{cases} AE=AF, \\ ∠EAD=∠FAD, \\ AD=AD. \end{cases}$
∴△ADE≌△ADF(SAS).
∴DE=DF; 在图4中,
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,BD=CD,∠B=∠C.
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵DE,DF分别为△ABD和△ACD的角平分线，
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ADB=45°,∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°.
∴∠BDE=∠CDF. 在△BDE和△CDF中,$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ BD=CD, \\ ∠BDE=∠CDF, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(ASA),
∴DE=DF
3. CG=2DE
解析
【分析】
本题围绕等腰三角形中相等线段的探究展开，解题思路如下：
(1)① 回忆等腰三角形性质和全等三角形判定定理即可直接写出依据；② 要证DE=DF，除了证三角形全等，还可以利用角平分线的性质：等腰三角形底边上的中线同时是顶角的角平分线，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得证。
(2)① 对于中线的情况：先由等腰三角形三线合一得∠EAD=∠FAD，再由中线定义结合AB=AC得AE=AF，借助SAS证明△AED≌△AFD，即可得DE=DF；② 对于角平分线的情况：先由等腰三角形三线合一得∠ADB=∠ADC=90°，再由角平分线定义得∠BDE=∠CDF，结合∠B=∠C、BD=CD，用ASA证明△BDE≌△CDF，即可得DE=DF。
(3) 利用面积法推导：△ABC的面积既可以用腰AB和腰上的高CG计算，也可以拆分为△ABD和△ACD的面积之和，两者相等即可推出CG和DE的数量关系。
【解析】
(1) ① 依据1：等腰三角形两底角相等（等边对等角）；依据2：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。
② 证明：连接AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
(2) 证明图3的结论：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，即∠DAE=∠DAF，
∵DE、DF分别为△ABD和△ACD的中线，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，AF=$\frac{1}{2}$AC，
又
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△AED和△AFD中，
$\begin{cases} AE=AF \\ ∠EAD=∠FAD \\ AD=AD \end{cases}$
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF。
证明图4的结论：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，BD=CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵DE、DF分别为△ABD和△ACD的角平分线，
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ADB=45°，∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°，
∴∠BDE=∠CDF，
在△BDE和△CDF中，
$\begin{cases} ∠B=∠C \\ BD=CD \\ ∠BDE=∠CDF \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF。
(3) 推导：连接AD，
∵D是BC中点，
∴$S_{△ABC}=2S_{△ABD}$，
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CG$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，
∴$\frac{1}{2}AB·CG=2×\frac{1}{2}AB·DE$，
化简得CG=2DE。
【答案】
(1) ① 等边对等角；AAS
② 连接AD，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF
(2) 两个结论均成立，证明见解析
(3) $\boldsymbol{CG=2DE}$
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题以等腰三角形中相等线段的探究为载体，设置了分层递进的问题，既考查了基础定理的识记与应用，也引导学生通过类比迁移解决同类问题，有助于提升逻辑推理能力和几何探究意识，加深对等腰三角形、全等三角形相关知识的理解。
【难度系数】
0.7
本题围绕等腰三角形中相等线段的探究展开，解题思路如下：
(1)① 回忆等腰三角形性质和全等三角形判定定理即可直接写出依据；② 要证DE=DF，除了证三角形全等，还可以利用角平分线的性质：等腰三角形底边上的中线同时是顶角的角平分线，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得证。
(2)① 对于中线的情况：先由等腰三角形三线合一得∠EAD=∠FAD，再由中线定义结合AB=AC得AE=AF，借助SAS证明△AED≌△AFD，即可得DE=DF；② 对于角平分线的情况：先由等腰三角形三线合一得∠ADB=∠ADC=90°，再由角平分线定义得∠BDE=∠CDF，结合∠B=∠C、BD=CD，用ASA证明△BDE≌△CDF，即可得DE=DF。
(3) 利用面积法推导：△ABC的面积既可以用腰AB和腰上的高CG计算，也可以拆分为△ABD和△ACD的面积之和，两者相等即可推出CG和DE的数量关系。
【解析】
(1) ① 依据1：等腰三角形两底角相等（等边对等角）；依据2：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。
② 证明：连接AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
(2) 证明图3的结论：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，即∠DAE=∠DAF，
∵DE、DF分别为△ABD和△ACD的中线，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，AF=$\frac{1}{2}$AC，
又
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△AED和△AFD中，
$\begin{cases} AE=AF \\ ∠EAD=∠FAD \\ AD=AD \end{cases}$
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF。
证明图4的结论：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，BD=CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵DE、DF分别为△ABD和△ACD的角平分线，
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ADB=45°，∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°，
∴∠BDE=∠CDF，
在△BDE和△CDF中，
$\begin{cases} ∠B=∠C \\ BD=CD \\ ∠BDE=∠CDF \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF。
(3) 推导：连接AD，
∵D是BC中点，
∴$S_{△ABC}=2S_{△ABD}$，
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CG$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，
∴$\frac{1}{2}AB·CG=2×\frac{1}{2}AB·DE$，
化简得CG=2DE。
【答案】
(1) ① 等边对等角；AAS
② 连接AD，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF
(2) 两个结论均成立，证明见解析
(3) $\boldsymbol{CG=2DE}$
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题以等腰三角形中相等线段的探究为载体，设置了分层递进的问题，既考查了基础定理的识记与应用，也引导学生通过类比迁移解决同类问题，有助于提升逻辑推理能力和几何探究意识，加深对等腰三角形、全等三角形相关知识的理解。
【难度系数】
0.7
