登录
6. 如图7,已知数轴(不完整)上点A表示的数是-3,数轴的单位长度为1.
(1)请在数轴上标出原点(用O表示),并写出点B所表示的数;
(2)请在数轴上表示下列各数: -2, +$(-\frac{1}{2})$, $\frac{5}{4}$, -$\left|-4\frac{1}{3}\right|$, -$(-3\frac{1}{2})$;
(3)请用“＞”将(2)中的5个数连接起来.
(1)请在数轴上标出原点(用O表示),并写出点B所表示的数;
(2)请在数轴上表示下列各数: -2, +$(-\frac{1}{2})$, $\frac{5}{4}$, -$\left|-4\frac{1}{3}\right|$, -$(-3\frac{1}{2})$;
(3)请用“＞”将(2)中的5个数连接起来.
答案
解：
(1) 在点A右侧距离3个单位长度的刻度处标注原点O（标注略），点B所表示的数是$\boldsymbol{4}$；
(2) 先化简各数：
$+(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{2}$，
$-\left|-4\dfrac{1}{3}\right|=-4\dfrac{1}{3}$，
$-(-3\dfrac{1}{2})=3\dfrac{1}{2}$，
在数轴对应位置标注各数：$-4\dfrac{1}{3}$位于-4左侧$\dfrac{1}{3}$单位处，$-2$对应刻度-2，$-\dfrac{1}{2}$位于-1和0的中点处，$\dfrac{5}{4}$位于1右侧$\dfrac{1}{4}$单位处，$3\dfrac{1}{2}$位于3和4的中点处（标注略）；
(3) 根据数轴上右侧的数大于左侧的数，可得：
$-(-3\dfrac{1}{2})＞\dfrac{5}{4}＞+(-\dfrac{1}{2})＞-2＞-\left|-4\dfrac{1}{3}\right|$
(1) 在点A右侧距离3个单位长度的刻度处标注原点O（标注略），点B所表示的数是$\boldsymbol{4}$；
(2) 先化简各数：
$+(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{2}$，
$-\left|-4\dfrac{1}{3}\right|=-4\dfrac{1}{3}$，
$-(-3\dfrac{1}{2})=3\dfrac{1}{2}$，
在数轴对应位置标注各数：$-4\dfrac{1}{3}$位于-4左侧$\dfrac{1}{3}$单位处，$-2$对应刻度-2，$-\dfrac{1}{2}$位于-1和0的中点处，$\dfrac{5}{4}$位于1右侧$\dfrac{1}{4}$单位处，$3\dfrac{1}{2}$位于3和4的中点处（标注略）；
(3) 根据数轴上右侧的数大于左侧的数，可得：
$-(-3\dfrac{1}{2})＞\dfrac{5}{4}＞+(-\dfrac{1}{2})＞-2＞-\left|-4\dfrac{1}{3}\right|$
解析
【分析】
首先解决第(1)问：已知点A表示-3，数轴上原点表示的数是0，0比-3大3，因此原点在点A右侧3个单位长度的位置；确定原点后，数点B在原点右侧的单位长度数，即可得到点B表示的数。
接着解决第(2)问：题目给出的数含有多重符号和绝对值，首先需要根据相反数的定义、绝对值的性质先对各数进行化简，再根据正数在原点右侧、负数在原点左侧，结合数的大小找到对应位置标注即可。
最后解决第(3)问：根据数轴的性质，数轴上右边的数始终大于左边的数，只需将(2)中标注的数按从右到左的顺序用“＞”连接即可。
【解析】
(1) 因为点A表示的数是-3，原点表示0，所以原点O在点A右侧3个单位长度的刻度处（标注略）；数得点B在原点右侧4个单位长度，因此点B表示的数是4。
(2) 先根据相反数和绝对值的性质化简各数：
$+(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{2}$，
$-\left|-4\dfrac{1}{3}\right|=-4\dfrac{1}{3}$，
$-(-3\dfrac{1}{2})=3\dfrac{1}{2}$，
标注各数：$-4\dfrac{1}{3}$在-4左侧$\dfrac{1}{3}$单位处，-2对应刻度-2，$-\dfrac{1}{2}$在-1和0的中点处，$\dfrac{5}{4}$在1右侧$\dfrac{1}{4}$单位处，$3\dfrac{1}{2}$在3和4的中点处（标注略）。
(3) 根据数轴上右边的数大于左边的数，将各数从大到小排列：
$-(-3\dfrac{1}{2})＞\dfrac{5}{4}＞+(-\dfrac{1}{2})＞-2＞-\left|-4\dfrac{1}{3}\right|$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；
(2) 标注略；
(3) $\boldsymbol{-(-3\dfrac{1}{2})＞\dfrac{5}{4}＞+(-\dfrac{1}{2})＞-2＞-\left|-4\dfrac{1}{3}\right|}$
【知识点】
数轴的认识；相反数与绝对值化简；有理数大小比较
【点评】
本题是数轴的基础应用类题目，解题的核心是先正确化简带有符号、绝对值的有理数，再利用数轴上数的位置特性判断大小，是对有理数基础性质的综合考查，掌握化简规则和数轴的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先解决第(1)问：已知点A表示-3，数轴上原点表示的数是0，0比-3大3，因此原点在点A右侧3个单位长度的位置；确定原点后，数点B在原点右侧的单位长度数，即可得到点B表示的数。
接着解决第(2)问：题目给出的数含有多重符号和绝对值，首先需要根据相反数的定义、绝对值的性质先对各数进行化简，再根据正数在原点右侧、负数在原点左侧，结合数的大小找到对应位置标注即可。
最后解决第(3)问：根据数轴的性质，数轴上右边的数始终大于左边的数，只需将(2)中标注的数按从右到左的顺序用“＞”连接即可。
【解析】
(1) 因为点A表示的数是-3，原点表示0，所以原点O在点A右侧3个单位长度的刻度处（标注略）；数得点B在原点右侧4个单位长度，因此点B表示的数是4。
(2) 先根据相反数和绝对值的性质化简各数：
$+(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{2}$，
$-\left|-4\dfrac{1}{3}\right|=-4\dfrac{1}{3}$，
$-(-3\dfrac{1}{2})=3\dfrac{1}{2}$，
标注各数：$-4\dfrac{1}{3}$在-4左侧$\dfrac{1}{3}$单位处，-2对应刻度-2，$-\dfrac{1}{2}$在-1和0的中点处，$\dfrac{5}{4}$在1右侧$\dfrac{1}{4}$单位处，$3\dfrac{1}{2}$在3和4的中点处（标注略）。
(3) 根据数轴上右边的数大于左边的数，将各数从大到小排列：
$-(-3\dfrac{1}{2})＞\dfrac{5}{4}＞+(-\dfrac{1}{2})＞-2＞-\left|-4\dfrac{1}{3}\right|$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；
(2) 标注略；
(3) $\boldsymbol{-(-3\dfrac{1}{2})＞\dfrac{5}{4}＞+(-\dfrac{1}{2})＞-2＞-\left|-4\dfrac{1}{3}\right|}$
【知识点】
数轴的认识；相反数与绝对值化简；有理数大小比较
【点评】
本题是数轴的基础应用类题目，解题的核心是先正确化简带有符号、绝对值的有理数，再利用数轴上数的位置特性判断大小，是对有理数基础性质的综合考查，掌握化简规则和数轴的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7. 如图8,数轴上有a,b,c三点.
(1)用“＜”将a,b,c连接起来.
(2)$b-a$ $1$,$c-a+1$ $0$. (填“＜”“＞”或“=” )
(3)求下列各式的最小值:
①$|x-1|+|x-3|$的最小值为 ;
②$|x-a|+|x-b|$的最小值为 ;
③当$x=a$时,求$|x-a|+|x-b|+|x-c|$的最小值.
(1)用“＜”将a,b,c连接起来.
(2)$b-a$ $1$,$c-a+1$ $0$. (填“＜”“＞”或“=” )
(3)求下列各式的最小值:
①$|x-1|+|x-3|$的最小值为 ;
②$|x-a|+|x-b|$的最小值为 ;
③当$x=a$时,求$|x-a|+|x-b|+|x-c|$的最小值.
答案
(1) $\boldsymbol{c ＜ a ＜ b}$
(2) $\boldsymbol{＜}$，$\boldsymbol{＜}$
(3) ① $\boldsymbol{2}$；② $\boldsymbol{b-a}$；③ $\boldsymbol{b-c}$
(2) $\boldsymbol{＜}$，$\boldsymbol{＜}$
(3) ① $\boldsymbol{2}$；② $\boldsymbol{b-a}$；③ $\boldsymbol{b-c}$
解析
【分析】
本题考查数轴与绝对值的综合应用，解题思路如下：1. 第一问根据数轴上数的大小规律：右边的数总大于左边的数，直接比较三点大小即可；2. 第二问先根据数轴确定a、b、c的取值范围，再通过范围推导两个代数式和1、0的大小关系；3. 第三问利用绝对值的几何意义：$|x-m|$表示数轴上点x到点m的距离，两个绝对值相加的最小值为两个对应点之间的距离，三个绝对值相加的最小值为x取中间点时，最大点与最小点的距离，代入计算即可。
【解析】
(1) 数轴上的数从左到右依次增大，三点从左到右的顺序为c、a、b，因此$c ＜ a ＜ b$。
(2) 由数轴可得各数的范围：$-1 ＜ c ＜ 0$，$1 ＜ a ＜ b ＜ 2$。
① 因为$b ＜ 2$，$a ＞ 1$，所以$b - a ＜ 2 - 1 = 1$，故$b-a ＜ 1$；
② 因为$c ＜ 0$，$-a ＜ -1$，所以$c - a + 1 ＜ 0 -1 +1 = 0$，故$c-a+1 ＜ 0$。
(3) 根据绝对值的几何意义，$|x-m|$表示数轴上点x到点m的距离：
① $|x-1|+|x-3|$表示x到1的距离与x到3的距离之和，当x在1和3之间（含端点）时，距离和最小，最小值为$3-1=2$；
② $|x-a|+|x-b|$表示x到a的距离与x到b的距离之和，当x在a和b之间（含端点）时，距离和最小，最小值为$b - a$；
③ 当$x=a$时，代入原式得：
$|x-a|+|x-b|+|x-c| = |a-a| + |a-b| + |a-c| = 0 + (b-a) + (a-c) = b - c$，即最小值为$b - c$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{c ＜ a ＜ b}$
(2) $\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{＜}$
(3) ① $\boldsymbol{2}$；② $\boldsymbol{b-a}$；③ $\boldsymbol{b-c}$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的意义，代数式化简
【点评】
本题是数轴与绝对值结合的典型题型，核心是掌握绝对值的几何意义，利用数形结合思想可以快速求解距离和的最值问题，对理解绝对值的概念有很好的巩固作用。
【难度系数】
0.7
本题考查数轴与绝对值的综合应用，解题思路如下：1. 第一问根据数轴上数的大小规律：右边的数总大于左边的数，直接比较三点大小即可；2. 第二问先根据数轴确定a、b、c的取值范围，再通过范围推导两个代数式和1、0的大小关系；3. 第三问利用绝对值的几何意义：$|x-m|$表示数轴上点x到点m的距离，两个绝对值相加的最小值为两个对应点之间的距离，三个绝对值相加的最小值为x取中间点时，最大点与最小点的距离，代入计算即可。
【解析】
(1) 数轴上的数从左到右依次增大，三点从左到右的顺序为c、a、b，因此$c ＜ a ＜ b$。
(2) 由数轴可得各数的范围：$-1 ＜ c ＜ 0$，$1 ＜ a ＜ b ＜ 2$。
① 因为$b ＜ 2$，$a ＞ 1$，所以$b - a ＜ 2 - 1 = 1$，故$b-a ＜ 1$；
② 因为$c ＜ 0$，$-a ＜ -1$，所以$c - a + 1 ＜ 0 -1 +1 = 0$，故$c-a+1 ＜ 0$。
(3) 根据绝对值的几何意义，$|x-m|$表示数轴上点x到点m的距离：
① $|x-1|+|x-3|$表示x到1的距离与x到3的距离之和，当x在1和3之间（含端点）时，距离和最小，最小值为$3-1=2$；
② $|x-a|+|x-b|$表示x到a的距离与x到b的距离之和，当x在a和b之间（含端点）时，距离和最小，最小值为$b - a$；
③ 当$x=a$时，代入原式得：
$|x-a|+|x-b|+|x-c| = |a-a| + |a-b| + |a-c| = 0 + (b-a) + (a-c) = b - c$，即最小值为$b - c$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{c ＜ a ＜ b}$
(2) $\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{＜}$
(3) ① $\boldsymbol{2}$；② $\boldsymbol{b-a}$；③ $\boldsymbol{b-c}$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的意义，代数式化简
【点评】
本题是数轴与绝对值结合的典型题型，核心是掌握绝对值的几何意义，利用数形结合思想可以快速求解距离和的最值问题，对理解绝对值的概念有很好的巩固作用。
【难度系数】
0.7
