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17. $ \triangle ABC $ 在平面直角坐标系中的位置如图所示.将 $ \triangle ABC $ 先向下平移 4 个单位长度,再向右平移 3 个单位长度,画出平移后的 $ \triangle A_1B_1C_1 $,并计算 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 的面积.
答案
如图，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ 是所求作的图形，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ 的面积 $= 2 \times 2 - \frac{1}{2} \times 1 \times 1 - 2 \times \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = \frac{3}{2}$。
18. 如图,在正方形 $ ABCD $ 中,$ E $ 为 $ AB $ 的中点,$ F $ 是 $ AD $ 上一点,且 $ AF= \frac{1}{4}AD $.证明：$ \triangle FEC $ 是直角三角形.
答案
设正方形 $ABCD$ 的边长为 $4a$。
∵ $E$ 为 $AB$ 的中点，$AF = \frac{1}{4}AD$，∴ $AE = EB = 2a$，$AF = a$，$FD = 3a$。
在 $Rt\triangle AEF$ 中，$EF^{2} = AE^{2} + AF^{2} = 5a^{2}$，
在 $Rt\triangle BCE$ 中，$CE^{2} = BE^{2} + BC^{2} = 20a^{2}$，
在 $Rt\triangle CDF$ 中，$CF^{2} = DF^{2} + CD^{2} = 25a^{2}$，
∴ $CF^{2} = CE^{2} + EF^{2}$，∴ $\triangle FEC$ 是直角三角形。
∵ $E$ 为 $AB$ 的中点，$AF = \frac{1}{4}AD$，∴ $AE = EB = 2a$，$AF = a$，$FD = 3a$。
在 $Rt\triangle AEF$ 中，$EF^{2} = AE^{2} + AF^{2} = 5a^{2}$，
在 $Rt\triangle BCE$ 中，$CE^{2} = BE^{2} + BC^{2} = 20a^{2}$，
在 $Rt\triangle CDF$ 中，$CF^{2} = DF^{2} + CD^{2} = 25a^{2}$，
∴ $CF^{2} = CE^{2} + EF^{2}$，∴ $\triangle FEC$ 是直角三角形。
19. 如图,在 $ \square ABCD $ 中,点 $ E,F,G,H $ 分别在边 $ AB,BC,CD,DA $ 上,$ AE = CG $,$ AH = CF $.
(1) 求证：$ \triangle AEH\cong\triangle CGF $；
(2) 若 $ EG $ 平分 $ \angle HEF $,求证：四边形 $ EFGH $ 是菱形.
(1) 求证：$ \triangle AEH\cong\triangle CGF $；
(2) 若 $ EG $ 平分 $ \angle HEF $,求证：四边形 $ EFGH $ 是菱形.
答案
(1) ∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，∴ $\angle A = \angle C$。
在 $\triangle AEH$ 与 $\triangle CGF$ 中，$\begin{cases} AE = CG, \\ \angle A = \angle C, \\ AH = CF, \end{cases}$
∴ $\triangle AEH \cong \triangle CGF$。
(2) ∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AB = CD$，$\angle B = \angle D$。
∵ $AE = CG$，$AH = CF$，
∴ $EB = DG$，$HD = BF$。
∴ $\triangle BEF \cong \triangle DGH$。∴ $EF = HG$。
又 ∵ $\triangle AEH \cong \triangle CGF$，∴ $EH = GF$。
∴ 四边形 $HEFG$ 为平行四边形。
∴ $EH // FG$，∴ $\angle HEG = \angle FGE$。
∵ $EG$ 平分 $\angle HEF$，∴ $\angle HEG = \angle FEG$，
∴ $\angle FGE = \angle FEG$，∴ $EF = GF$，
∴ 四边形 $EFGH$ 是菱形。
在 $\triangle AEH$ 与 $\triangle CGF$ 中，$\begin{cases} AE = CG, \\ \angle A = \angle C, \\ AH = CF, \end{cases}$
∴ $\triangle AEH \cong \triangle CGF$。
(2) ∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AB = CD$，$\angle B = \angle D$。
∵ $AE = CG$，$AH = CF$，
∴ $EB = DG$，$HD = BF$。
∴ $\triangle BEF \cong \triangle DGH$。∴ $EF = HG$。
又 ∵ $\triangle AEH \cong \triangle CGF$，∴ $EH = GF$。
∴ 四边形 $HEFG$ 为平行四边形。
∴ $EH // FG$，∴ $\angle HEG = \angle FGE$。
∵ $EG$ 平分 $\angle HEF$，∴ $\angle HEG = \angle FEG$，
∴ $\angle FGE = \angle FEG$，∴ $EF = GF$，
∴ 四边形 $EFGH$ 是菱形。
20. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ABC = 90^{\circ} $,$ E $ 为 $ AC $ 的中点.
操作：过点 $ C $ 作 $ BE $ 的垂线,过点 $ A $ 作 $ BE $ 的平行线,两直线相交于点 $ D $,在 $ AD $ 的延长线上截取 $ DF = BE $.连结 $ EF,BD $.
(1) 试判断 $ EF $ 与 $ BD $ 之间具有怎样的关系.并证明你所得的结论；
(2) 如果 $ AF = 13 $,$ CD = 6 $,求 $ AC $ 的长.
操作：过点 $ C $ 作 $ BE $ 的垂线,过点 $ A $ 作 $ BE $ 的平行线,两直线相交于点 $ D $,在 $ AD $ 的延长线上截取 $ DF = BE $.连结 $ EF,BD $.
(1) 试判断 $ EF $ 与 $ BD $ 之间具有怎样的关系.并证明你所得的结论；
(2) 如果 $ AF = 13 $,$ CD = 6 $,求 $ AC $ 的长.
答案
操作如图所示。
(1) $EF$ 与 $BD$ 互相垂直平分。
证明如下:连结 $DE$，$BF$，
∵ $BE // DF$，$BE = DF$，
∴ 四边形 $BEDF$ 是平行四边形。
∵ $CD \perp BE$，∴ $CD \perp AD$。
∵ $\angle ABC = 90^{\circ}$，$E$ 为 $AC$ 的中点，∴ $BE = DE = \frac{1}{2}AC$，
∴ 平行四边形 $BEDF$ 是菱形，
∴ $EF$ 与 $BD$ 互相垂直平分。
(2) 设 $DF = BE = x$，则 $AC = 2x$，$AD = AF - DF = 13 - x$，
在 $Rt\triangle ACD$ 中，∵ $AD^{2} + CD^{2} = AC^{2}$，
∴ $(13 - x)^{2} + 6^{2} = (2x)^{2}$，
即 $3x^{2} + 26x - 205 = 0$，解得 $x_{1} = -\frac{41}{3}$（舍去），$x_{2} = 5$，
∴ $AC = 10$，故 $AC$ 的长是 $10$。
