20. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 平分 $\angle BAC$,$DF\perp AB$ 于点 $F$,$E$ 为 $AC$ 上一点,且 $AE = DE$。
(1)求证：$DF\perp DE$。
(2)若 $\angle ABC+\angle AED = 180^{\circ}$,求证：$AB + AE = 2AF$。

(1) $\because AD$ 平分 $\angle BAC$，$\therefore \angle BAD = \angle CAD$，$\because AE = DE$，$\therefore \angle CAD = \angle ADE$，$\therefore \angle BAD = \angle ADE$，$\therefore DE // AB$，$\because DF \perp AB$，$\therefore DF \perp DE$.
(2) 如图，过 $D$ 作 $DG \perp AC$，$\because AD$ 平分 $\angle BAC$，$DF \perp AB$，$DG \perp AC$，$\therefore DF = DG$，$\angle DFB = \angle DGE = 90^{\circ}$，$\therefore AF = AG$，$\because \angle ABC + \angle AED = 180^{\circ}$，$\angle DEG + \angle AED = 180^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = \angle DEG$，在 $\triangle DFB$ 和 $\triangle DGE$ 中，$\begin{cases} \angle B = \angle DEG \\ \angle DFB = \angle DGE \\ DF = DG \end{cases}$，$\therefore \triangle DFB \cong \triangle DGE(AAS)$，$\therefore BF = EG$，$\therefore AB + AE = AF + BF + AE = AF + EG + AE = AF + AG = 2AF$. 即 $AB + AE = 2AF$.

21. 如图,$\triangle ABC$ 中,$CA = CB$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle A = 45^{\circ}$,$AD = CD$,$\angle ACB$ 的角平分线 $CG$ 交 $BD$ 于点 $G$,作 $\angle FDA= \angle BDC$。
(1)求证：$\triangle AFD\cong\triangle CGD$。
(2)连接 $CF$ 交 $BD$ 于 $E$。求证：$BD\perp FC$。
(3)若 $BG = 10$,$DE = 3$,求 $\triangle FDC$ 的面积。

(1) $\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ACB$ 的角平分线 $CG$ 交 $BD$ 于点 $G$，$\angle A = 45^{\circ}$，$\therefore \angle DCG = \angle BCG = 45^{\circ} = \angle A$，在 $\triangle AFD$ 和 $\triangle CGD$ 中，$\begin{cases} \angle FDA = \angle GDC \\ AD = CD \\ \angle A = \angle DCG \end{cases}$，$\therefore \triangle AFD \cong \triangle CGD(ASA)$.
(2) $\because \triangle AFD \cong \triangle CGD$，$\therefore AF = CG$，在 $\triangle ACF$ 和 $\triangle CBG$ 中，$\begin{cases} AF = CG \\ \angle A = \angle BCG \\ CA = CB \end{cases}$，$\therefore \triangle ACF \cong \triangle CBG$，$\therefore \angle ACF = \angle CBG$，$\because \angle ACF + \angle BCE = \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CBG + \angle BCE = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BEC = 90^{\circ}$，$\therefore BD \perp FC$.
(3) $\because \triangle ACF \cong \triangle CBG$，$BG = 10$，$\therefore CF = BG = 10$，$\because BD \perp FC$，$DE = 3$，$\therefore S_{\triangle FDC} = \frac{1}{2}CF \cdot DE = \frac{1}{2} \times 10 \times 3 = 15$.

22. (1)如图 $1$,$AC$ 平分 $\angle DAB$,$\angle B= \angle D = 90^{\circ}$,若 $DC = 5$,则 $BC= $______。
(2)探究：如图 $2$,四边形 $ABCD$,$AC$ 平分 $\angle DAB$,$\angle B+\angle D = 180^{\circ}$,求证：$DC = BC$。
(3)应用：如图 $3$,点 $D$,$F$ 分别在 $EC$,$AD$ 上,若 $EF = AC$,且 $\angle DFE= \angle DAC$,求证：$D$ 为 $CE$ 的中点。

(1) 5
(2) 如图，过 $C$ 作 $CE \perp AB$ 于 $E$，过 $C$ 作 $CF \perp AD$ 延长线于 $F$. $\because \angle B + \angle ADC = 180^{\circ}$，$\angle CDF + \angle ADC = 180^{\circ}$，$\therefore \angle B = \angle CDF$，由 (1) 结论得 $CE = CF$，在 $\triangle CBE$ 和 $\triangle CDF$ 中，$\begin{cases} \angle B = \angle CDF \\ \angle CEB = \angle CFD = 90^{\circ} \\ CE = CF \end{cases}$，$\therefore \triangle CBE \cong \triangle CDF(AAS)$，$\therefore DC = BC$.

(3) 过点 $C$ 作 $CM \perp AD$ 于 $M$，过点 $E$ 作 $EN \perp AD$ 交 $AD$ 的延长线于 $N$，$\therefore \angle CMA = \angle ENF = 90^{\circ}$，在 $\triangle AMC$ 和 $\triangle FNE$ 中，$\begin{cases} \angle CMA = \angle ENF = 90^{\circ} \\ \angle DAC = \angle DFE \\ AC = EF \end{cases}$，$\therefore \triangle AMC \cong \triangle FNE(AAS)$，$\therefore CM = EN$，在 $\triangle CMD$ 和 $\triangle END$ 中，$\begin{cases} \angle CMD = \angle END = 90^{\circ} \\ \angle CDA = \angle EDN \\ CM = EN \end{cases}$，$\therefore \triangle CMD \cong \triangle END(AAS)$，$\therefore CD = ED$，$\therefore D$ 为 $CE$ 的中点.