7. 园林工人围着湖边一圈每4米栽一棵树,一共栽了75棵。现在要改为每6米栽一棵树,不用移栽的树有多少棵?

$[4,6] = 12$ $75 × 4 ÷ 12 = 25$ (棵)
答:不用移栽的树有 25 棵。

8. 父子两人在雪地散步,同一个起点出发,父亲在前,每步80厘米,儿子在后,每步60厘米。在120米内一共留下多少个脚印?

120 米 = 12000 厘米 $12000 ÷ 80 + 1 = 151$ (个)
$12000 ÷ 60 + 1 = 201$ (个)
$80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5$ $60 = 2 × 2 × 3 × 5$
80 和 60 的最小公倍数是 $2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 240$ $12000 ÷ 240 + 1 = 51$ (个)
$151 + 201 - 51 = 301$ (个)
答:在 120 米内一共留下 301 个脚印。

9. 在一根长木棍上,有三种刻度线,第一种将木棍分成十等份;第二种将木棍分成十二等份;第三种将木棍分成十五等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断,则木棍总共被锯成多少段?

用 $[a,b]$ 表示 a 与 b 的最小公倍数
假设木棍长 60 厘米 $60 ÷ 10 = 6$ (厘米)
$60 ÷ 12 = 5$ (厘米) $60 ÷ 15 = 4$ (厘米)
$60 ÷ [6,5] = 2$ (段) $60 ÷ [6,4] = 5$ (段)
$60 ÷ [5,4] = 3$ (段) $60 ÷ [6,5,4] = 1$ (段)
$10 + 12 + 15 - 2 - 5 - 3 + 1 = 28$ (段)
提示 假设木棍长 60 厘米,则沿第一种刻度线锯成的木棍每段长 $60 ÷ 10 = 6$ (厘米),沿第二种刻度线锯成的木棍每段长 $60 ÷ 12 = 5$ (厘米),沿第三种刻度线锯成的木棍每段长 $60 ÷ 15 = 4$ (厘米)。因为沿三种刻度线可将木棍分别锯成 10,12,15 小段;沿第一、二种重合的刻度线可将木棍锯成 $60 ÷ [6,5] = 2$ (段),沿第一、三种重合的刻度线可将木棍锯成 $60 ÷ [6,4] = 5$ (段),沿第二、三种重合的刻度线可将木棍锯成 $60 ÷ [5,4] = 3$ (段);沿三种刻度重合的刻度线可将木棍锯成 $60 ÷ [6,5,4] = 1$ (段)。应该减去重复计算的沿任意两种重合的刻度线锯成的段数,再加上多减去的沿三种刻度重合的刻度线锯成的段数。所以沿每条刻度线将木棍锯断,则木棍总共被锯成 $10 + 12 + 15 - 2 - 5 - 3 + 1 = 28$ (段)。

10. 一根1.8米长的木棍,从左端开始每隔2厘米画一个刻度,再从左端开始每隔3厘米画一个刻度,再从左端开始每隔5厘米画一个刻度,再从左端开始每隔7厘米画一个刻度,最后按刻度把木棍截断,一共可以截成多少段小木棍?

1.8 米长的木棍,从左端开始每隔 2 厘米画一个刻度,那么也就是说所有的偶数点都要画一个刻度,即 2,4,6,8,10,…,共 89 个刻度;
从左端开始每隔 3 厘米画刻度时所有的偶数点都已经画过,那么会多出 30 个刻度,即 3,9,15,…;
从左端开始每隔 5 厘米画刻度时会多出来的刻度是 5,25,35,55,65,85,95,115,125,145,155,175,共 12 个刻度;
从左端开始每隔 7 厘米画刻度时会多出来的刻度是 7,49,77,91,119,133,161,共 7 个刻度。
那么所有的刻度总和应该是 $89 + 30 + 12 + 7 = 138$ (个),即一共可以截成 $138 + 1 = 139$ (段) 小木棍。
答:一共可以截成 139 段小木棍。
提示 分别求出每隔 2 厘米、每隔 3 厘米、每隔 5 厘米、每隔 7 厘米画刻度增加的数量,总的数量加上 1 得到段数。