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1. 跨学科·物理 [2025内江中考]阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂 $OA = 150\ \mathrm{cm}$，阻力臂 $OB = 50\ \mathrm{cm}$，$BD = 20\ \mathrm{cm}$，则 $AC$ 的长度是（
A.$80\ \mathrm{cm}$
B.$60\ \mathrm{cm}$
C.$50\ \mathrm{cm}$
D.$40\ \mathrm{cm}$
B
）A.$80\ \mathrm{cm}$
B.$60\ \mathrm{cm}$
C.$50\ \mathrm{cm}$
D.$40\ \mathrm{cm}$
答案
$\because AC ⊥ AB, BD ⊥ AB, \therefore AC // BD, \therefore △ AOC ∽ △ BOD,$
$\therefore \frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}. \because OA = 150\ \mathrm{cm}, OB = 50\ \mathrm{cm}, BD = 20\ \mathrm{cm}, \therefore \frac{AC}{20}=\frac{150}{50}, \therefore AC = 60\ \mathrm{cm}.$
$\therefore \frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}. \because OA = 150\ \mathrm{cm}, OB = 50\ \mathrm{cm}, BD = 20\ \mathrm{cm}, \therefore \frac{AC}{20}=\frac{150}{50}, \therefore AC = 60\ \mathrm{cm}.$
解析
【分析】
首先观察图形特征，AC与BD均垂直于AB，可推出两条线段平行；再结合对顶角相等的性质，可判定△AOC与△BOD相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出AC的长度。
【解析】
$\because AC ⊥ AB, BD ⊥ AB$，
$\therefore ∠ OAC = ∠ OBD = 90°$，
$\therefore AC // BD$，
$\therefore ∠ C = ∠ D$，
又$\because ∠ AOC = ∠ BOD$（对顶角相等），
$\therefore △ AOC ∽ △ BOD$，
$\therefore \frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$。
将$OA = 150\ \mathrm{cm}$，$OB = 50\ \mathrm{cm}$，$BD = 20\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{AC}{20}=\frac{150}{50}$，
解得$AC = 60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的应用
【点评】
本题结合物理杠杆原理考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确识别相似三角形，利用相似三角形对应边成比例建立等式求解，题目贴合生活场景，能锻炼跨学科知识运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，AC与BD均垂直于AB，可推出两条线段平行；再结合对顶角相等的性质，可判定△AOC与△BOD相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出AC的长度。
【解析】
$\because AC ⊥ AB, BD ⊥ AB$，
$\therefore ∠ OAC = ∠ OBD = 90°$，
$\therefore AC // BD$，
$\therefore ∠ C = ∠ D$，
又$\because ∠ AOC = ∠ BOD$（对顶角相等），
$\therefore △ AOC ∽ △ BOD$，
$\therefore \frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$。
将$OA = 150\ \mathrm{cm}$，$OB = 50\ \mathrm{cm}$，$BD = 20\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{AC}{20}=\frac{150}{50}$，
解得$AC = 60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的应用
【点评】
本题结合物理杠杆原理考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确识别相似三角形，利用相似三角形对应边成比例建立等式求解，题目贴合生活场景，能锻炼跨学科知识运用能力。
【难度系数】
0.7
2. 跨学科·物理 [2026吕梁临县期末] 如图是凸透镜成像的原理，$AH ⊥ HG$于点$H$，$BD ⊥ HG$于点$O$，$CG ⊥ HG$于点$G$，$AD // HG // BC$。若焦点$F_1$到物体的距离$HF_1$与到凸透镜中心线$DB$的距离$OF_1$的比为$2:1$，求$\frac{CG}{AH}$的值。（注：$F_2$是另一个焦点）
答案
解:$\because BD ⊥ HG, CG ⊥ HG, \therefore OB // CG.$
$\because OG // BC, \therefore$ 四边形 $OBCG$ 是平行四边形.
$\because ∠ BOG = 90°, \therefore □ OBCG$ 是矩形,
$\therefore OB = CG, \therefore \frac{CG}{AH}=\frac{OB}{AH}.$
$\because AH ⊥ GH, BD ⊥ GH, \therefore AH // OB,$
$\therefore △ AHF_1 ∽ △ BOF_1, \therefore \frac{OB}{HA}=\frac{OF_1}{HF_1}=\frac{1}{2}, \therefore \frac{CG}{AH}=\frac{1}{2}.$
$\because OG // BC, \therefore$ 四边形 $OBCG$ 是平行四边形.
$\because ∠ BOG = 90°, \therefore □ OBCG$ 是矩形,
$\therefore OB = CG, \therefore \frac{CG}{AH}=\frac{OB}{AH}.$
$\because AH ⊥ GH, BD ⊥ GH, \therefore AH // OB,$
$\therefore △ AHF_1 ∽ △ BOF_1, \therefore \frac{OB}{HA}=\frac{OF_1}{HF_1}=\frac{1}{2}, \therefore \frac{CG}{AH}=\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
要求$\frac{CG}{AH}$的值，首先观察图形中的平行与垂直关系，先通过平行和垂直的条件判定四边形$OBCG$的形状，将$CG$转化为与之相等的线段$OB$，把问题转化为求$\frac{OB}{AH}$的值；再根据$AH$和$OB$都垂直于$HG$，可得$AH$平行于$OB$，进而证明$△ AHF_1$和$△ BOF_1$相似，最后结合已知的$HF_1:OF_1=2:1$，利用相似三角形对应边成比例即可求出比值。
【解析】
$\because BD ⊥ HG, CG ⊥ HG, \therefore OB // CG.$
$\because OG // BC, \therefore$ 四边形 $OBCG$ 是平行四边形.
$\because ∠ BOG = 90°, \therefore □ OBCG$ 是矩形,
$\therefore OB = CG, \therefore \frac{CG}{AH}=\frac{OB}{AH}.$
$\because AH ⊥ GH, BD ⊥ GH, \therefore AH // OB,$
$\therefore △ AHF_1 ∽ △ BOF_1, \therefore \frac{OB}{HA}=\frac{OF_1}{HF_1}=\frac{1}{2}, \therefore \frac{CG}{AH}=\frac{1}{2}.$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题结合凸透镜成像的物理背景考查几何知识的应用，解题的关键是通过矩形的性质完成线段的等量转换，再利用相似三角形的性质求解线段比值，实现了跨学科知识的融合考查。
【难度系数】
0.7
要求$\frac{CG}{AH}$的值，首先观察图形中的平行与垂直关系，先通过平行和垂直的条件判定四边形$OBCG$的形状，将$CG$转化为与之相等的线段$OB$，把问题转化为求$\frac{OB}{AH}$的值；再根据$AH$和$OB$都垂直于$HG$，可得$AH$平行于$OB$，进而证明$△ AHF_1$和$△ BOF_1$相似，最后结合已知的$HF_1:OF_1=2:1$，利用相似三角形对应边成比例即可求出比值。
【解析】
$\because BD ⊥ HG, CG ⊥ HG, \therefore OB // CG.$
$\because OG // BC, \therefore$ 四边形 $OBCG$ 是平行四边形.
$\because ∠ BOG = 90°, \therefore □ OBCG$ 是矩形,
$\therefore OB = CG, \therefore \frac{CG}{AH}=\frac{OB}{AH}.$
$\because AH ⊥ GH, BD ⊥ GH, \therefore AH // OB,$
$\therefore △ AHF_1 ∽ △ BOF_1, \therefore \frac{OB}{HA}=\frac{OF_1}{HF_1}=\frac{1}{2}, \therefore \frac{CG}{AH}=\frac{1}{2}.$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题结合凸透镜成像的物理背景考查几何知识的应用，解题的关键是通过矩形的性质完成线段的等量转换，再利用相似三角形的性质求解线段比值，实现了跨学科知识的融合考查。
【难度系数】
0.7
3. [2026长春东北师大附中期中]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,将$△ ABC$绕点$C$逆时针旋转得到$△ DEC$,使得点$D$落在$AB$上,$BC$与$ED$交于点$O$,连接$BE$.求证:
(1)$△ BCE ∽ △ ACD$; (2)$OB · OC = OD · OE$.
(1)$△ BCE ∽ △ ACD$; (2)$OB · OC = OD · OE$.
答案
(1) 根据旋转的性质, 可得 $CE = CB, CD = CA$,
$∠ BCE = ∠ ACD$,
$\therefore \frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}, \therefore △ BCE ∽ △ ACD.$
(2) 根据旋转的性质, 可得 $∠ DBO = ∠ CEO.$
$\because ∠ BOD = ∠ EOC, \therefore △ BOD ∽ △ EOC,$
$\therefore \frac{OB}{OE}=\frac{OD}{OC}, \therefore OB · OC = OD · OE.$
$∠ BCE = ∠ ACD$,
$\therefore \frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}, \therefore △ BCE ∽ △ ACD.$
(2) 根据旋转的性质, 可得 $∠ DBO = ∠ CEO.$
$\because ∠ BOD = ∠ EOC, \therefore △ BOD ∽ △ EOC,$
$\therefore \frac{OB}{OE}=\frac{OD}{OC}, \therefore OB · OC = OD · OE.$
解析
【分析】
(1) 要证明$△ BCE ∽ △ ACD$，可优先使用“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定定理。结合旋转的性质，能得到旋转前后对应边相等、旋转角相等，据此可推出两个三角形的两组对应边成比例，且夹角相等，即可完成证明。
(2) 证明等积式时，通常先将等积式转化为比例式，再通过证明比例式对应的两个三角形相似推导结论。本题待证等积式可转化为$\frac{OB}{OE}=\frac{OD}{OC}$，只需证明线段所在的$△ BOD$和$△ EOC$相似即可；结合旋转性质可得对应角相等，再加对顶角相等即可证明两三角形相似，进而推出结论。
【解析】
(1) 由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，旋转角相等，因此$CE = CB$，$CD = CA$，$∠ BCE = ∠ ACD$。
由此可得$\frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}$，且两边的夹角$∠ BCE = ∠ ACD$，根据相似三角形判定定理，可证$△ BCE ∽ △ ACD$。
(2) 由旋转的性质可得$∠ DEC = ∠ ABC$，即$∠ DBO = ∠ CEO$。
又$∠ BOD$和$∠ EOC$是对顶角，因此$∠ BOD = ∠ EOC$，两角分别相等可证$△ BOD ∽ △ EOC$。
由相似三角形对应边成比例得$\frac{OB}{OE}=\frac{OD}{OC}$，交叉相乘即可得$OB · OC = OD · OE$。
【答案】
(1) $△ BCE ∽ △ ACD$，证明成立；
(2) $OB · OC = OD · OE$，证明成立。
【知识点】
旋转的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是熟练掌握旋转的性质得到边、角的等量关系，同时掌握等积式转化为比例式的技巧，通过证明三角形相似推导结论，整体解题逻辑清晰，对几何推理能力有一定锻炼。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明$△ BCE ∽ △ ACD$，可优先使用“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定定理。结合旋转的性质，能得到旋转前后对应边相等、旋转角相等，据此可推出两个三角形的两组对应边成比例，且夹角相等，即可完成证明。
(2) 证明等积式时，通常先将等积式转化为比例式，再通过证明比例式对应的两个三角形相似推导结论。本题待证等积式可转化为$\frac{OB}{OE}=\frac{OD}{OC}$，只需证明线段所在的$△ BOD$和$△ EOC$相似即可；结合旋转性质可得对应角相等，再加对顶角相等即可证明两三角形相似，进而推出结论。
【解析】
(1) 由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，旋转角相等，因此$CE = CB$，$CD = CA$，$∠ BCE = ∠ ACD$。
由此可得$\frac{CE}{CD}=\frac{CB}{CA}$，且两边的夹角$∠ BCE = ∠ ACD$，根据相似三角形判定定理，可证$△ BCE ∽ △ ACD$。
(2) 由旋转的性质可得$∠ DEC = ∠ ABC$，即$∠ DBO = ∠ CEO$。
又$∠ BOD$和$∠ EOC$是对顶角，因此$∠ BOD = ∠ EOC$，两角分别相等可证$△ BOD ∽ △ EOC$。
由相似三角形对应边成比例得$\frac{OB}{OE}=\frac{OD}{OC}$，交叉相乘即可得$OB · OC = OD · OE$。
【答案】
(1) $△ BCE ∽ △ ACD$，证明成立；
(2) $OB · OC = OD · OE$，证明成立。
【知识点】
旋转的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是熟练掌握旋转的性质得到边、角的等量关系，同时掌握等积式转化为比例式的技巧，通过证明三角形相似推导结论，整体解题逻辑清晰，对几何推理能力有一定锻炼。
【难度系数】
0.65
4. [2026成都川大附中月考]如图
，点M是△ABC的重心，若AB=18，MN//AB，则MN的长是
，点M是△ABC的重心，若AB=18，MN//AB，则MN的长是6
。答案
$\because MN // AB, \therefore △ CMN ∽ △ CDB, \therefore \frac{MN}{DB}=\frac{CM}{CD}. \because$ 点 $M$ 是 $△ ABC$ 的重心, $\therefore DB = \frac{1}{2}AB = 9, \frac{CM}{CD}=\frac{2}{3}, \therefore \frac{MN}{9}=\frac{2}{3}$, 解得 $MN = 6.$
得分要点:三角形的重心是三角形三条中线的交点,重心与一边中点的连线的长是对应中线长的$\frac{1}{3}$.
得分要点:三角形的重心是三角形三条中线的交点,重心与一边中点的连线的长是对应中线长的$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形重心的相关性质：重心是三角形三条中线的交点，它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，且和重心相连的中线会平分对边；再结合已知MN//AB，可判定出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长和比例关系即可求出MN的长度。
【解析】
∵点M是△ABC的重心，
∴CD是AB边上的中线，D为AB中点，且重心分中线CD的比为$CM:MD=2:1$，
∴$DB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×18=9$，$\frac{CM}{CD}=\frac{2}{3}$，
又
∵MN//AB，
∴∠CMN=∠CDB，∠CNM=∠CBD，
∴$△ CMN ∽ △ CDB$，
∴$\frac{MN}{DB}=\frac{CM}{CD}$，
将$DB=9$，$\frac{CM}{CD}=\frac{2}{3}$代入比例式得：$\frac{MN}{9}=\frac{2}{3}$，
解得$MN=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
三角形重心性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与三角形重心性质的基础综合题，解题核心是准确运用重心分中线为2:1的性质，结合平行线得到相似三角形，再通过相似比求解未知线段长度，需熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形重心的相关性质：重心是三角形三条中线的交点，它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，且和重心相连的中线会平分对边；再结合已知MN//AB，可判定出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长和比例关系即可求出MN的长度。
【解析】
∵点M是△ABC的重心，
∴CD是AB边上的中线，D为AB中点，且重心分中线CD的比为$CM:MD=2:1$，
∴$DB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×18=9$，$\frac{CM}{CD}=\frac{2}{3}$，
又
∵MN//AB，
∴∠CMN=∠CDB，∠CNM=∠CBD，
∴$△ CMN ∽ △ CDB$，
∴$\frac{MN}{DB}=\frac{CM}{CD}$，
将$DB=9$，$\frac{CM}{CD}=\frac{2}{3}$代入比例式得：$\frac{MN}{9}=\frac{2}{3}$，
解得$MN=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
三角形重心性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与三角形重心性质的基础综合题，解题核心是准确运用重心分中线为2:1的性质，结合平行线得到相似三角形，再通过相似比求解未知线段长度，需熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
5. 新趋势·尺规作图 [2026长春力旺实验初级中学月考]如图,已知$△ ABC$.
(1)尺规作图:画出$△ ABC$的重心$G$;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若$S_{△ ABG}=5\ \mathrm{cm}^2$,求$△ ABC$的面积.
(1)尺规作图:画出$△ ABC$的重心$G$;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若$S_{△ ABG}=5\ \mathrm{cm}^2$,求$△ ABC$的面积.
答案
解:(1)如图,点 $G$ 即为所求.
(2)如图,连接 $BG$. $\because AM$ 是 $△ ABC$ 的中线, $\therefore S_{△ ABC}=2S_{△ ABM}.$
$\because S_{△ ABM}=S_{△ ABG}+S_{△ BGM}$, 点 $G$ 是 $△ ABC$ 的重心, $\therefore AG = 2MG$,
$\therefore S_{△ ABG}=2S_{△ BGM}$ ($△ ABG$ 和 $△ BGM$ 的高相同),
$\therefore S_{△ ABM}=\frac{3}{2}S_{△ ABG}, \therefore S_{△ ABM}=\frac{3}{2} × 5=\frac{15}{2}(\mathrm{cm}^2),$
$\therefore S_{△ ABC}=2 × \frac{15}{2}=15(\mathrm{cm}^2).$
解析
【分析】
(1) 三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此要作重心G，只需作出△ABC的任意两条中线，两条中线的交点即为所求重心。作图时可通过作边的垂直平分线得到边的中点，连接顶点与对边中点即可得到中线。
(2) 求解△ABC的面积时，首先利用三角形中线的性质：中线将三角形分为面积相等的两个三角形，可得$S_{△ABC}=2S_{△ABM}$；再结合重心的性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，可得$AG=2MG$，根据同高的两个三角形面积比等于底边长的比，可推出$S_{△ABG}$和$S_{△BGM}$的数量关系，进而求出$S_{△ABM}$，最终得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 分别作出BC、AB边的中线AM、BN，两条中线的交点即为△ABC的重心G。
(2) 连接BG：
∵AM是△ABC的中线，中线平分三角形面积，
∴$S_{△ABC}=2S_{△ABM}$。
∵点G是△ABC的重心，根据重心性质可得$AG = 2MG$。
△ABG和△BGM以AG、MG为底时，高相同，因此面积比等于底的比，即$S_{△ABG}=2S_{△BGM}$。
已知$S_{△ABG}=5\ \mathrm{cm}^2$，因此$S_{△BGM}=\frac{1}{2}S_{△ABG}=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
可得$S_{△ABM}=S_{△ABG}+S_{△BGM}=5+\frac{5}{2}=\frac{15}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
因此$S_{△ABC}=2S_{△ABM}=2×\frac{15}{2}=15\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 点G即为所求，如图；
(2) $15\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形重心的定义，三角形重心的性质，三角形中线的性质
【点评】
本题将尺规作图与几何面积计算结合，既考查了基本的尺规作图操作能力，又考查了重心性质、中线性质的应用，解题的关键是理解等高三角形面积比等于对应底的比这一规律，是一道综合性较强的基础几何题。
【难度系数】
0.7
(1) 三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此要作重心G，只需作出△ABC的任意两条中线，两条中线的交点即为所求重心。作图时可通过作边的垂直平分线得到边的中点，连接顶点与对边中点即可得到中线。
(2) 求解△ABC的面积时，首先利用三角形中线的性质：中线将三角形分为面积相等的两个三角形，可得$S_{△ABC}=2S_{△ABM}$；再结合重心的性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，可得$AG=2MG$，根据同高的两个三角形面积比等于底边长的比，可推出$S_{△ABG}$和$S_{△BGM}$的数量关系，进而求出$S_{△ABM}$，最终得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 分别作出BC、AB边的中线AM、BN，两条中线的交点即为△ABC的重心G。
(2) 连接BG：
∵AM是△ABC的中线，中线平分三角形面积，
∴$S_{△ABC}=2S_{△ABM}$。
∵点G是△ABC的重心，根据重心性质可得$AG = 2MG$。
△ABG和△BGM以AG、MG为底时，高相同，因此面积比等于底的比，即$S_{△ABG}=2S_{△BGM}$。
已知$S_{△ABG}=5\ \mathrm{cm}^2$，因此$S_{△BGM}=\frac{1}{2}S_{△ABG}=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
可得$S_{△ABM}=S_{△ABG}+S_{△BGM}=5+\frac{5}{2}=\frac{15}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
因此$S_{△ABC}=2S_{△ABM}=2×\frac{15}{2}=15\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 点G即为所求，如图
；(2) $15\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形重心的定义，三角形重心的性质，三角形中线的性质
【点评】
本题将尺规作图与几何面积计算结合，既考查了基本的尺规作图操作能力，又考查了重心性质、中线性质的应用，解题的关键是理解等高三角形面积比等于对应底的比这一规律，是一道综合性较强的基础几何题。
【难度系数】
0.7
