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7.甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条直线公路匀速相向行驶，出发3 h后两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行驶了90 km，相遇后经1 h乙到达A地.
(1)甲、乙行驶的速度分别是多少？
(2)甲、乙行驶多长时间时，两车相距30 km？
(1)甲、乙行驶的速度分别是多少？
(2)甲、乙行驶多长时间时，两车相距30 km？
答案
7.解:(1)设甲行驶的速度为 x km/h,乙行驶的速度为 y km/h,根据题意,得 $\begin{cases} 3x+90=3y, \\ y=3x, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=15, \\ y=45. \end{cases}$
答:甲行驶的速度为 15 km/h,乙行驶的速度为 45 km/h.
(2)由(1)可得 A,B 两地相距 $45×(3+1)=180$(km).
设甲、乙行驶 n h 时,两车相距 30 km.根据题意,得两车行驶的总路程是$(180-30)$km 或$(180+30)$km,则$(45+15)n=180-30$ 或$(45+15)n=180+30$,解得$n=\dfrac{5}{2}$或$n=\dfrac{7}{2}$.答:甲、乙行驶$\dfrac{5}{2}$ h 或$\dfrac{7}{2}$ h 时,两车相距 30 km.
答:甲行驶的速度为 15 km/h,乙行驶的速度为 45 km/h.
(2)由(1)可得 A,B 两地相距 $45×(3+1)=180$(km).
设甲、乙行驶 n h 时,两车相距 30 km.根据题意,得两车行驶的总路程是$(180-30)$km 或$(180+30)$km,则$(45+15)n=180-30$ 或$(45+15)n=180+30$,解得$n=\dfrac{5}{2}$或$n=\dfrac{7}{2}$.答:甲、乙行驶$\dfrac{5}{2}$ h 或$\dfrac{7}{2}$ h 时,两车相距 30 km.
解析
【分析】
(1) 解第一问需先提取两个等量关系：①出发3小时相遇时乙比甲多行驶90km，即乙3小时行驶的路程=甲3小时行驶的路程+90km；②相遇后乙1小时到达A地，说明相遇点到A地的距离既等于甲3小时走的路程，也等于乙1小时走的路程，即乙的速度×1=甲的速度×3。设甲、乙速度分别为x km/h、y km/h，列二元一次方程组即可求解。
(2) 解第二问先根据乙的总行驶时间（3+1）h算出A、B两地总路程。两车相距30km要分两种情况讨论：①相遇前相距30km，此时两人行驶总路程=总路程-30km；②相遇后继续行驶相距30km，此时两人行驶总路程=总路程+30km。设行驶时间为n h，根据“速度和×时间=总行驶路程”列方程求解即可。
【解析】
(1) 设甲行驶的速度为x km/h，乙行驶的速度为y km/h，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 3x+90=3y \\ y=3x \end{cases}$
把$y=3x$代入$3x+90=3y$，得$3x+90=9x$，解得$x=15$，
将$x=15$代入$y=3x$，得$y=45$。
(2) 由(1)可知乙的速度为45 km/h，乙走完全程共耗时$3+1=4$h，因此A、B两地总路程为$45×4=180$km。
设甲、乙行驶n h时两车相距30 km，分两种情况：
① 相遇前相距30 km：两人行驶总路程为$180-30=150$km，列方程得$(15+45)n=150$，解得$n=\dfrac{5}{2}$；
② 相遇后相距30 km：两人行驶总路程为$180+30=210$km，列方程得$(15+45)n=210$，解得$n=\dfrac{7}{2}$。
【答案】
(1) 甲行驶的速度为15 km/h，乙行驶的速度为45 km/h；
(2) 甲、乙行驶$\dfrac{5}{2}$ h 或$\dfrac{7}{2}$ h时，两车相距30 km。
【知识点】
二元一次方程组应用，行程相遇问题，分类讨论思想
【点评】
本题是行程类典型应用题，核心考查路程、速度、时间三者的关系，要求学生能准确提取题干等量关系列方程，第二问需注意分相遇前、相遇后两种情况分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 解第一问需先提取两个等量关系：①出发3小时相遇时乙比甲多行驶90km，即乙3小时行驶的路程=甲3小时行驶的路程+90km；②相遇后乙1小时到达A地，说明相遇点到A地的距离既等于甲3小时走的路程，也等于乙1小时走的路程，即乙的速度×1=甲的速度×3。设甲、乙速度分别为x km/h、y km/h，列二元一次方程组即可求解。
(2) 解第二问先根据乙的总行驶时间（3+1）h算出A、B两地总路程。两车相距30km要分两种情况讨论：①相遇前相距30km，此时两人行驶总路程=总路程-30km；②相遇后继续行驶相距30km，此时两人行驶总路程=总路程+30km。设行驶时间为n h，根据“速度和×时间=总行驶路程”列方程求解即可。
【解析】
(1) 设甲行驶的速度为x km/h，乙行驶的速度为y km/h，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 3x+90=3y \\ y=3x \end{cases}$
把$y=3x$代入$3x+90=3y$，得$3x+90=9x$，解得$x=15$，
将$x=15$代入$y=3x$，得$y=45$。
(2) 由(1)可知乙的速度为45 km/h，乙走完全程共耗时$3+1=4$h，因此A、B两地总路程为$45×4=180$km。
设甲、乙行驶n h时两车相距30 km，分两种情况：
① 相遇前相距30 km：两人行驶总路程为$180-30=150$km，列方程得$(15+45)n=150$，解得$n=\dfrac{5}{2}$；
② 相遇后相距30 km：两人行驶总路程为$180+30=210$km，列方程得$(15+45)n=210$，解得$n=\dfrac{7}{2}$。
【答案】
(1) 甲行驶的速度为15 km/h，乙行驶的速度为45 km/h；
(2) 甲、乙行驶$\dfrac{5}{2}$ h 或$\dfrac{7}{2}$ h时，两车相距30 km。
【知识点】
二元一次方程组应用，行程相遇问题，分类讨论思想
【点评】
本题是行程类典型应用题，核心考查路程、速度、时间三者的关系，要求学生能准确提取题干等量关系列方程，第二问需注意分相遇前、相遇后两种情况分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8.某体育场的环形跑道长 400 m，甲、乙从同一起点分别以一定的速度同时练习跑步.如果两人反向而行，那么他们每隔 30 s 相遇一次.如果两人同向而行，那么每隔 90 s 乙就追上甲一次.甲、乙的速度分别是多少？
答案
8.解:设甲的速度是 x m/s,乙的速度是 y m/s.
可列方程组为 $\begin{cases} 30(x+y)=400, \\ 90(y-x)=400, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=\dfrac{40}{9}, \\ y=\dfrac{80}{9}. \end{cases}$
答:甲的速度是$\dfrac{40}{9}$ m/s,乙的速度是$\dfrac{80}{9}$ m/s.
可列方程组为 $\begin{cases} 30(x+y)=400, \\ 90(y-x)=400, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=\dfrac{40}{9}, \\ y=\dfrac{80}{9}. \end{cases}$
答:甲的速度是$\dfrac{40}{9}$ m/s,乙的速度是$\dfrac{80}{9}$ m/s.
解析
【分析】
这是环形跑道的行程问题，需结合两种行驶场景找等量关系解题：①两人反向而行时属于相遇问题，30秒两人行驶的路程和刚好等于跑道一圈的长度400m，对应等量关系为“速度和×相遇时间=总路程”；②两人同向而行时属于追及问题，乙速度更快，90秒乙比甲多行驶的路程刚好等于跑道一圈的长度400m，对应等量关系为“速度差×追及时间=路程差”。我们可以设甲、乙的速度分别为x m/s、y m/s，根据两个等量关系列二元一次方程组求解即可。
【解析】
解：设甲的速度是x m/s，乙的速度是y m/s。
根据反向相遇的等量关系列方程：$30(x+y)=400$
根据同向追及的等量关系列方程：$90(y-x)=400$
联立得方程组：$\begin{cases} 30(x+y)=400 \\ 90(y-x)=400 \end{cases}$
化简方程组：
第一个方程两边同时除以30，得：$x+y=\dfrac{40}{3}$ ③
第二个方程两边同时除以90，得：$y-x=\dfrac{40}{9}$ ④
③+④得：$2y=\dfrac{160}{9}$，解得$y=\dfrac{80}{9}$
将$y=\dfrac{80}{9}$代入③，得$x+\dfrac{80}{9}=\dfrac{40}{3}$，解得$x=\dfrac{40}{9}$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{40}{9} \\ y=\dfrac{80}{9} \end{cases}$
答：甲的速度是$\dfrac{40}{9}$ m/s，乙的速度是$\dfrac{80}{9}$ m/s。
【答案】
甲的速度是$\dfrac{40}{9}$ m/s，乙的速度是$\dfrac{80}{9}$ m/s。
【知识点】
二元一次方程组的应用；相遇问题；追及问题
【点评】
本题是环形行程问题的典型考题，解题核心是区分反向相遇、同向追及两种场景下的路程等量关系，熟练掌握二元一次方程组的解法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是环形跑道的行程问题，需结合两种行驶场景找等量关系解题：①两人反向而行时属于相遇问题，30秒两人行驶的路程和刚好等于跑道一圈的长度400m，对应等量关系为“速度和×相遇时间=总路程”；②两人同向而行时属于追及问题，乙速度更快，90秒乙比甲多行驶的路程刚好等于跑道一圈的长度400m，对应等量关系为“速度差×追及时间=路程差”。我们可以设甲、乙的速度分别为x m/s、y m/s，根据两个等量关系列二元一次方程组求解即可。
【解析】
解：设甲的速度是x m/s，乙的速度是y m/s。
根据反向相遇的等量关系列方程：$30(x+y)=400$
根据同向追及的等量关系列方程：$90(y-x)=400$
联立得方程组：$\begin{cases} 30(x+y)=400 \\ 90(y-x)=400 \end{cases}$
化简方程组：
第一个方程两边同时除以30，得：$x+y=\dfrac{40}{3}$ ③
第二个方程两边同时除以90，得：$y-x=\dfrac{40}{9}$ ④
③+④得：$2y=\dfrac{160}{9}$，解得$y=\dfrac{80}{9}$
将$y=\dfrac{80}{9}$代入③，得$x+\dfrac{80}{9}=\dfrac{40}{3}$，解得$x=\dfrac{40}{9}$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{40}{9} \\ y=\dfrac{80}{9} \end{cases}$
答：甲的速度是$\dfrac{40}{9}$ m/s，乙的速度是$\dfrac{80}{9}$ m/s。
【答案】
甲的速度是$\dfrac{40}{9}$ m/s，乙的速度是$\dfrac{80}{9}$ m/s。
【知识点】
二元一次方程组的应用；相遇问题；追及问题
【点评】
本题是环形行程问题的典型考题，解题核心是区分反向相遇、同向追及两种场景下的路程等量关系，熟练掌握二元一次方程组的解法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9.小刚沿街匀速行走，发现每隔6 min从背后驶过一辆2路公交车，每隔3 min迎面驶来一辆2路公交车.假设每辆2路公交车行驶速度相同，并且2路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔是多少分钟？
答案
9.解:设2路公交车的速度是 x m/min,小刚行走的速度是 y m/min,发车间隔的时间是 t min,由题意得
$\begin{cases} 3(x+y)=6(x-y), \\ 6(x-y)=x· t, \end{cases}$ 可得 $\begin{cases} 12y=xt,① \\ 3x+3y=xt,② \end{cases}$ 联立①②,得 $x=3y···$③,联立②③,得 $4x=xt$,则 $t=4$.
答:发车间隔是 4 min.
$\begin{cases} 3(x+y)=6(x-y), \\ 6(x-y)=x· t, \end{cases}$ 可得 $\begin{cases} 12y=xt,① \\ 3x+3y=xt,② \end{cases}$ 联立①②,得 $x=3y···$③,联立②③,得 $4x=xt$,则 $t=4$.
答:发车间隔是 4 min.
解析
【分析】
这是行程中相遇与追及结合的发车间隔问题，解题关键是抓住隐含不变量：相邻两辆2路公交车的间距是固定的，该间距等于公交车速度乘发车间隔时间。首先梳理两种场景的等量关系：①背后驶过公交车属于追及问题，6分钟内公交车比小刚多走的路程等于相邻两车的间距；②迎面驶来公交车属于相遇问题，3分钟内公交车和小刚走的路程和等于相邻两车的间距。我们可以设公交车速度、小刚速度、发车间隔三个未知数，列出两个方程，通过消元法去掉速度类未知数，最终求出发车间隔。
【解析】
解：设2路公交车的速度是$x$ m/min，小刚行走的速度是$y$ m/min，发车间隔的时间是$t$ min。
根据相邻两车间距固定，可列方程组：
$\begin{cases} 3(x+y)=6(x-y) \\ 6(x-y)=x·t \end{cases}$
先化简第一个方程：
$3x+3y=6x-6y$
移项合并同类项得：$3x=9y$，即$x=3y$ ③
把③代入第二个方程：
$6(3y-y)=3y·t$
计算得$12y=3yt$，由于小刚行走速度$y≠0$，两边同时除以$3y$，得$t=4$。
【答案】
发车间隔是4 min。
【知识点】
二元一次方程组的应用、行程相遇追及问题
【点评】
本题是发车间隔类行程问题的典型考法，核心突破口是挖掘到“相邻公交车辆间距固定”这一隐含等量关系，解题过程中无需求出车速和人速的具体值，通过参数消元即可求出发车间隔，能有效考查学生分析复杂行程场景、提取等量关系的能力。
【难度系数】
0.6
这是行程中相遇与追及结合的发车间隔问题，解题关键是抓住隐含不变量：相邻两辆2路公交车的间距是固定的，该间距等于公交车速度乘发车间隔时间。首先梳理两种场景的等量关系：①背后驶过公交车属于追及问题，6分钟内公交车比小刚多走的路程等于相邻两车的间距；②迎面驶来公交车属于相遇问题，3分钟内公交车和小刚走的路程和等于相邻两车的间距。我们可以设公交车速度、小刚速度、发车间隔三个未知数，列出两个方程，通过消元法去掉速度类未知数，最终求出发车间隔。
【解析】
解：设2路公交车的速度是$x$ m/min，小刚行走的速度是$y$ m/min，发车间隔的时间是$t$ min。
根据相邻两车间距固定，可列方程组：
$\begin{cases} 3(x+y)=6(x-y) \\ 6(x-y)=x·t \end{cases}$
先化简第一个方程：
$3x+3y=6x-6y$
移项合并同类项得：$3x=9y$，即$x=3y$ ③
把③代入第二个方程：
$6(3y-y)=3y·t$
计算得$12y=3yt$，由于小刚行走速度$y≠0$，两边同时除以$3y$，得$t=4$。
【答案】
发车间隔是4 min。
【知识点】
二元一次方程组的应用、行程相遇追及问题
【点评】
本题是发车间隔类行程问题的典型考法，核心突破口是挖掘到“相邻公交车辆间距固定”这一隐含等量关系，解题过程中无需求出车速和人速的具体值，通过参数消元即可求出发车间隔，能有效考查学生分析复杂行程场景、提取等量关系的能力。
【难度系数】
0.6
10.[学科素养·应用意识]某市举办学生足球联赛，共赛了17轮(即每队均需参赛17场)，积分规则是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.
(1)在这次足球联赛中，若小虎足球队共得16分，踢平场数与踢负场数相同，求该队胜了几场；
(2)在这次足球联赛中，若小虎足球队总得分仍为16分，且踢平场数是踢负场数的整数倍，试推算小虎足球队踢负场数的情况有几种.
(1)在这次足球联赛中，若小虎足球队共得16分，踢平场数与踢负场数相同，求该队胜了几场；
(2)在这次足球联赛中，若小虎足球队总得分仍为16分，且踢平场数是踢负场数的整数倍，试推算小虎足球队踢负场数的情况有几种.
答案
10.解:(1)设小虎足球队胜了 x 场,平了 y 场,则负了y 场,依题意,得 $\begin{cases} x+2y=17, \\ 3x+y=16, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=3, \\ y=7. \end{cases}$ 答:小虎足球队胜了3场.
(2)设小虎足球队胜了 m 场,负了 n 场,踢平场数是踢负场数的 k 倍(k 为整数). 依题意,得
$\begin{cases} m+(k+1)n=17, \\ 3m+kn=16, \end{cases}$ 解得 $n=\dfrac{35}{2k+3}$. 又因为 n,k 为正整数,所以 $\begin{cases} k=1, \\ n=7, \end{cases}$$\begin{cases} k=2, \\ n=5 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} k=16, \\ n=1. \end{cases}$ 答:小虎足球队踢负场数的情况有3种,分别为1场、5场或7场.
(2)设小虎足球队胜了 m 场,负了 n 场,踢平场数是踢负场数的 k 倍(k 为整数). 依题意,得
$\begin{cases} m+(k+1)n=17, \\ 3m+kn=16, \end{cases}$ 解得 $n=\dfrac{35}{2k+3}$. 又因为 n,k 为正整数,所以 $\begin{cases} k=1, \\ n=7, \end{cases}$$\begin{cases} k=2, \\ n=5 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} k=16, \\ n=1. \end{cases}$ 答:小虎足球队踢负场数的情况有3种,分别为1场、5场或7场.
解析
【分析】
(1) 解题先抓住两个核心等量关系：一是总参赛场次=胜场数+平场数+负场数，二是总积分=胜场得分+平场得分；已知平场数和负场数相等，设胜场数为x，平场数、负场数均为y，列二元一次方程组即可求解。
(2) 第二问中平场数是负场数的整数倍，可设负场数为n，倍数为正整数k，胜场数为m，同样根据总场次、总积分的等量关系列方程组，消去胜场数m后得到n和k的关系式，再结合n、k均为正整数的条件，筛选出所有符合要求的n值即可。
【解析】
(1) 设小虎足球队胜了$x$场，平了$y$场，则负了$y$场，依题意得：
$\begin{cases} x+2y=17 \\ 3x+y=16 \end{cases}$
将第二个方程乘2得$6x+2y=32$，减去第一个方程得$5x=15$，解得$x=3$，代入$x+2y=17$得$y=7$。
(2) 设小虎足球队胜了$m$场，负了$n$场，踢平场数是踢负场数的$k$倍（$k$为正整数），则平场数为$kn$，依题意得：
$\begin{cases} m+(k+1)n=17 ①\\ 3m+kn=16 ② \end{cases}$
①×3 - ②得：$3(k+1)n-kn=51-16$，化简得$n(2k+3)=35$，即$n=\dfrac{35}{2k+3}$。
因为$n$、$k$均为正整数，所以$2k+3$是35的正因数且$2k+3≥5$，符合要求的取值为：
当$2k+3=5$时，$k=1$，$n=7$；
当$2k+3=7$时，$k=2$，$n=5$；
当$2k+3=35$时，$k=16$，$n=1$。
【答案】
(1) 该队胜了3场；
(2) 小虎足球队踢负场数的情况有3种，分别为1场、5场或7场。
【知识点】
二元一次方程组应用；不定方程正整数解；积分问题计算
【点评】
本题以足球联赛为实际背景，既考查了利用方程解决实际问题的基本方法，又通过整数倍的限定条件考查了逻辑推理能力，解题时需注意结合未知数的实际意义筛选有效解，能很好地锻炼数学应用意识。
【难度系数】
0.6
(1) 解题先抓住两个核心等量关系：一是总参赛场次=胜场数+平场数+负场数，二是总积分=胜场得分+平场得分；已知平场数和负场数相等，设胜场数为x，平场数、负场数均为y，列二元一次方程组即可求解。
(2) 第二问中平场数是负场数的整数倍，可设负场数为n，倍数为正整数k，胜场数为m，同样根据总场次、总积分的等量关系列方程组，消去胜场数m后得到n和k的关系式，再结合n、k均为正整数的条件，筛选出所有符合要求的n值即可。
【解析】
(1) 设小虎足球队胜了$x$场，平了$y$场，则负了$y$场，依题意得：
$\begin{cases} x+2y=17 \\ 3x+y=16 \end{cases}$
将第二个方程乘2得$6x+2y=32$，减去第一个方程得$5x=15$，解得$x=3$，代入$x+2y=17$得$y=7$。
(2) 设小虎足球队胜了$m$场，负了$n$场，踢平场数是踢负场数的$k$倍（$k$为正整数），则平场数为$kn$，依题意得：
$\begin{cases} m+(k+1)n=17 ①\\ 3m+kn=16 ② \end{cases}$
①×3 - ②得：$3(k+1)n-kn=51-16$，化简得$n(2k+3)=35$，即$n=\dfrac{35}{2k+3}$。
因为$n$、$k$均为正整数，所以$2k+3$是35的正因数且$2k+3≥5$，符合要求的取值为：
当$2k+3=5$时，$k=1$，$n=7$；
当$2k+3=7$时，$k=2$，$n=5$；
当$2k+3=35$时，$k=16$，$n=1$。
【答案】
(1) 该队胜了3场；
(2) 小虎足球队踢负场数的情况有3种，分别为1场、5场或7场。
【知识点】
二元一次方程组应用；不定方程正整数解；积分问题计算
【点评】
本题以足球联赛为实际背景，既考查了利用方程解决实际问题的基本方法，又通过整数倍的限定条件考查了逻辑推理能力，解题时需注意结合未知数的实际意义筛选有效解，能很好地锻炼数学应用意识。
【难度系数】
0.6
