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2.若$y=(m-1)x^{|m|+1}-x+1$是二次函数，求这个函数的解析式.
答案
解：
由二次函数的定义可得：
$\begin{cases}|m| + 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|+1=2$，解得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$。
结合$m-1≠0$（即$m≠1$），可得$m=-1$。
将$m=-1$代入原式，得函数解析式为：
$y=-2x^2 -x +1$
由二次函数的定义可得：
$\begin{cases}|m| + 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|+1=2$，解得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$。
结合$m-1≠0$（即$m≠1$），可得$m=-1$。
将$m=-1$代入原式，得函数解析式为：
$y=-2x^2 -x +1$
解析
【分析】
要确定该二次函数的解析式，需先根据二次函数的定义求出参数m的取值。二次函数有两个核心判定条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先依据这两个条件列出关于m的方程和不等式，求解得到符合要求的m值，再将m代入原式即可得到最终的函数解析式。
【解析】
根据二次函数的定义，可得：
$\begin{cases}|m| + 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
先解方程$|m| + 1 = 2$，移项得$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$。
再结合不等式$m-1≠0$（即$m≠1$），舍去不符合条件的$m=1$，得$m=-1$。
将$m=-1$代入原表达式$y=(m-1)x^{|m|+1}-x+1$中，可得：
$y=(-1-1)x^{2}-x+1=-2x^2 -x +1$
【答案】
$y=-2x^2 -x +1$
【知识点】
二次函数的定义，绝对值方程求解，不等式求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题型，解题的关键是牢记二次函数需要同时满足最高次为2、二次项系数不为0两个条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，错误保留m=1的取值。
【难度系数】
0.8
要确定该二次函数的解析式，需先根据二次函数的定义求出参数m的取值。二次函数有两个核心判定条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先依据这两个条件列出关于m的方程和不等式，求解得到符合要求的m值，再将m代入原式即可得到最终的函数解析式。
【解析】
根据二次函数的定义，可得：
$\begin{cases}|m| + 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
先解方程$|m| + 1 = 2$，移项得$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$。
再结合不等式$m-1≠0$（即$m≠1$），舍去不符合条件的$m=1$，得$m=-1$。
将$m=-1$代入原表达式$y=(m-1)x^{|m|+1}-x+1$中，可得：
$y=(-1-1)x^{2}-x+1=-2x^2 -x +1$
【答案】
$y=-2x^2 -x +1$
【知识点】
二次函数的定义，绝对值方程求解，不等式求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题型，解题的关键是牢记二次函数需要同时满足最高次为2、二次项系数不为0两个条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，错误保留m=1的取值。
【难度系数】
0.8
1. 关于$x$的函数$y=(a-2)x^2 + (a^2 - 4)x + 4$是二次函数，则$a$的取值范围是。
答案
解：
根据二次函数的定义，二次项系数不为0，可得
$a-2 ≠ 0$
解得 $a ≠ 2$
即$a$的取值范围是$a ≠ 2$。
根据二次函数的定义，二次项系数不为0，可得
$a-2 ≠ 0$
解得 $a ≠ 2$
即$a$的取值范围是$a ≠ 2$。
解析
【分析】
要确定a的取值范围，首先回忆二次函数的定义：二次函数的最高次为二次，因此必须保证二次项系数不为0，一次项和常数项的取值不影响二次函数的判定。首先找到本题中函数的二次项系数为$(a-2)$，只需令该系数不等于0，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A、B、C$为常数，且$A≠0$）的函数是二次函数。
本题中函数的二次项系数为$a-2$，要使函数为二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$a-2 ≠ 0$
解得 $a ≠ 2$
【答案】
$a ≠ 2$
【知识点】
二次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对二次函数定义的理解，解题时只需抓住“二次项系数不为0”这个核心判定条件即可，易错点是部分同学会额外考虑一次项系数的限制，属于概念辨析的常规题型。
【难度系数】
0.9
要确定a的取值范围，首先回忆二次函数的定义：二次函数的最高次为二次，因此必须保证二次项系数不为0，一次项和常数项的取值不影响二次函数的判定。首先找到本题中函数的二次项系数为$(a-2)$，只需令该系数不等于0，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A、B、C$为常数，且$A≠0$）的函数是二次函数。
本题中函数的二次项系数为$a-2$，要使函数为二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$a-2 ≠ 0$
解得 $a ≠ 2$
【答案】
$a ≠ 2$
【知识点】
二次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对二次函数定义的理解，解题时只需抓住“二次项系数不为0”这个核心判定条件即可，易错点是部分同学会额外考虑一次项系数的限制，属于概念辨析的常规题型。
【难度系数】
0.9
2.已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元，则w与x之间的函数关系式为。
答案
解：
降价后每件产品的利润为$(60 - 40 - x)=(20 - x)$元，
降价后每星期的销售量为$(300 + 20x)$件，
由总利润等于每件利润乘以总销售量，可得：
$\begin{aligned}w&=(20 - x)(300 + 20x)\\&=-20x^2 + 100x + 6000\end{aligned}$
其中x的取值范围是$0≤ x≤20$，且x为整数。
最终函数关系式为：$\boldsymbol{w=-20x^2 + 100x + 6000\ (0≤ x≤20,\ x为整数)}$
降价后每件产品的利润为$(60 - 40 - x)=(20 - x)$元，
降价后每星期的销售量为$(300 + 20x)$件，
由总利润等于每件利润乘以总销售量，可得：
$\begin{aligned}w&=(20 - x)(300 + 20x)\\&=-20x^2 + 100x + 6000\end{aligned}$
其中x的取值范围是$0≤ x≤20$，且x为整数。
最终函数关系式为：$\boldsymbol{w=-20x^2 + 100x + 6000\ (0≤ x≤20,\ x为整数)}$
解析
【分析】
解这道题的核心是掌握销售问题的基本等量关系：总利润=单件商品利润×销售总数量。首先先推导降价x元后的单件利润：原本每件利润为售价减进价，即60-40=20元，降价x元后单件利润减少x元，为(20-x)元；其次推导降价后的总销量：每降价1元多卖20件，降价x元就多卖20x件，总销量为原销量300件加多卖出的20x件；再将单件利润和总销量代入等量关系展开化简，最后结合实际意义确定x的取值范围：降价金额不能为负，且单件利润不能为负，同时x为整数。
【解析】
1. 计算降价后单件产品的利润：
降价后每件利润为 $60 - 40 - x = (20 - x)$ 元
2. 计算降价后每星期的销售量：
每降价1元多卖20件，降价x元后总销量为 $(300 + 20x)$ 件
3. 代入总利润公式推导函数关系式：
根据总利润=单件利润×销售量，可得
$\begin{aligned}w&=(20 - x)(300 + 20x)\\&=6000 + 400x - 300x - 20x^2\\&=-20x^2 + 100x + 6000\end{aligned}$
4. 确定自变量x的取值范围：
结合实际意义，$\begin{cases}x≥0 \\ 20 - x≥0 \end{cases}$，且x为整数，因此x的取值范围是$0≤ x≤20$，且x为整数。
【答案】
$\boldsymbol{w=-20x^2 + 100x + 6000\ (0≤ x≤20,\ x为整数)}$
【知识点】
销售利润计算，列二次函数解析式，自变量取值范围
【点评】
本题是销售类函数应用的基础题，主要考察对销售利润等量关系的理解，解题时要注意结合实际问题的限制条件，不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是掌握销售问题的基本等量关系：总利润=单件商品利润×销售总数量。首先先推导降价x元后的单件利润：原本每件利润为售价减进价，即60-40=20元，降价x元后单件利润减少x元，为(20-x)元；其次推导降价后的总销量：每降价1元多卖20件，降价x元就多卖20x件，总销量为原销量300件加多卖出的20x件；再将单件利润和总销量代入等量关系展开化简，最后结合实际意义确定x的取值范围：降价金额不能为负，且单件利润不能为负，同时x为整数。
【解析】
1. 计算降价后单件产品的利润：
降价后每件利润为 $60 - 40 - x = (20 - x)$ 元
2. 计算降价后每星期的销售量：
每降价1元多卖20件，降价x元后总销量为 $(300 + 20x)$ 件
3. 代入总利润公式推导函数关系式：
根据总利润=单件利润×销售量，可得
$\begin{aligned}w&=(20 - x)(300 + 20x)\\&=6000 + 400x - 300x - 20x^2\\&=-20x^2 + 100x + 6000\end{aligned}$
4. 确定自变量x的取值范围：
结合实际意义，$\begin{cases}x≥0 \\ 20 - x≥0 \end{cases}$，且x为整数，因此x的取值范围是$0≤ x≤20$，且x为整数。
【答案】
$\boldsymbol{w=-20x^2 + 100x + 6000\ (0≤ x≤20,\ x为整数)}$
【知识点】
销售利润计算，列二次函数解析式，自变量取值范围
【点评】
本题是销售类函数应用的基础题，主要考察对销售利润等量关系的理解，解题时要注意结合实际问题的限制条件，不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
3.用一根长为40 m的铁丝围成一个矩形，则矩形的面积$ S $（单位：$ \mathrm{m}^2 $）与它的一边长$ x $（单位：m）之间的函数关系式为，自变量$ x $的取值范围为。
答案
解：
∵ 矩形周长为40 m，一边长为x m，
∴ 相邻的另一边长为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)$ m。
根据矩形面积公式得：
$S = x(20-x) = -x^2 + 20x$
由矩形边长为正，可得不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\20-x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜20$。
函数关系式为$\boldsymbol{S=-x^2+20x}$，自变量$x$的取值范围为$\boldsymbol{0＜x＜20}$。
∵ 矩形周长为40 m，一边长为x m，
∴ 相邻的另一边长为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)$ m。
根据矩形面积公式得：
$S = x(20-x) = -x^2 + 20x$
由矩形边长为正，可得不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\20-x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜20$。
函数关系式为$\boldsymbol{S=-x^2+20x}$，自变量$x$的取值范围为$\boldsymbol{0＜x＜20}$。
解析
【分析】
解决本题可按照三步思路推导：首先从矩形周长的已知条件出发，利用周长公式表示出与已知边x相邻的另一边长；接着将两边长代入矩形面积公式，即可得到面积S和x的函数关系式；最后结合实际问题中矩形边长必须为正数的要求，列不等式求出自变量x的取值范围。
【解析】
已知矩形的周长为40 m，其中一边长为x m，
则相邻的另一边长为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)$ m，
根据矩形面积公式“面积=长×宽”，可得：
$S = x(20-x) = -x^2 + 20x$
由于矩形的边长为正数，因此列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\20-x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜20$。
【答案】
$S=-x^2+20x$；$0＜x＜20$
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 矩形周长与面积计算
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数结合几何实际问题的基础题，解题关键是熟练运用矩形的周长、面积公式推导函数关系，注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义，不能仅从函数表达式本身判断取值范围。
【难度系数】
0.85
解决本题可按照三步思路推导：首先从矩形周长的已知条件出发，利用周长公式表示出与已知边x相邻的另一边长；接着将两边长代入矩形面积公式，即可得到面积S和x的函数关系式；最后结合实际问题中矩形边长必须为正数的要求，列不等式求出自变量x的取值范围。
【解析】
已知矩形的周长为40 m，其中一边长为x m，
则相邻的另一边长为$\frac{40-2x}{2}=(20-x)$ m，
根据矩形面积公式“面积=长×宽”，可得：
$S = x(20-x) = -x^2 + 20x$
由于矩形的边长为正数，因此列不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\20-x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜20$。
【答案】
$S=-x^2+20x$；$0＜x＜20$
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 矩形周长与面积计算
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数结合几何实际问题的基础题，解题关键是熟练运用矩形的周长、面积公式推导函数关系，注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义，不能仅从函数表达式本身判断取值范围。
【难度系数】
0.85
4. 下列函数中,是二次函数的是()
A.$y=8x^2+7$
B.$y=4x-2$
C.$y=\frac{3}{x}$
D.$y=\frac{1}{x^2}+2$
A.$y=8x^2+7$
B.$y=4x-2$
C.$y=\frac{3}{x}$
D.$y=\frac{1}{x^2}+2$
答案
A
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，需先明确二次函数的判定标准：首先函数必须是整式，其次自变量的最高次数为2，且二次项的系数不能为0。解题时我们逐一对照这个标准分析每个选项即可得出答案。
【解析】
首先回顾二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，需满足三个要点：①是整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数不为0。
选项A：$y=8x^2+7$，是整式函数，自变量$x$的最高次数为2，二次项系数$8≠0$，符合二次函数的定义；
选项B：$y=4x-2$，自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
选项C：$y=\frac{3}{x}$，是分式函数，自变量$x$的次数为$-1$，属于反比例函数，不符合要求；
选项D：$y=\frac{1}{x^2}+2$，是分式函数，自变量$x$的次数为$-2$，不满足二次函数的整式要求和次数要求。
综上，只有选项A是二次函数。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义、函数类型识别
【点评】
本题是基础概念考察题，解题核心是紧扣二次函数的判定要点，特别要注意区分整式函数和分式函数，不要误将自变量出现在分母中的函数判定为二次函数。
【难度系数】
0.9
要判断一个函数是否为二次函数，需先明确二次函数的判定标准：首先函数必须是整式，其次自变量的最高次数为2，且二次项的系数不能为0。解题时我们逐一对照这个标准分析每个选项即可得出答案。
【解析】
首先回顾二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，需满足三个要点：①是整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数不为0。
选项A：$y=8x^2+7$，是整式函数，自变量$x$的最高次数为2，二次项系数$8≠0$，符合二次函数的定义；
选项B：$y=4x-2$，自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
选项C：$y=\frac{3}{x}$，是分式函数，自变量$x$的次数为$-1$，属于反比例函数，不符合要求；
选项D：$y=\frac{1}{x^2}+2$，是分式函数，自变量$x$的次数为$-2$，不满足二次函数的整式要求和次数要求。
综上，只有选项A是二次函数。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义、函数类型识别
【点评】
本题是基础概念考察题，解题核心是紧扣二次函数的判定要点，特别要注意区分整式函数和分式函数，不要误将自变量出现在分母中的函数判定为二次函数。
【难度系数】
0.9
5.关于函数$y=(3-2x)(x-1)$，下列说法中不正确的是()
A.化简后$y$与$x$的关系是二次函数关系
B.二次项系数为$-2$
C.一次项系数为$-5$
D.常数项为$-3$
A.化简后$y$与$x$的关系是二次函数关系
B.二次项系数为$-2$
C.一次项系数为$-5$
D.常数项为$-3$
答案
C
解析
【分析】
要判断各选项的正误，首先需要将给定的函数表达式展开，整理为二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），再分别对应二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，逐一核对每个选项即可找到不正确的说法。
【解析】
先将函数$y=(3-2x)(x-1)$展开化简：
$\begin{aligned}y&=3(x-1)-2x(x-1)\\&=3x-3-2x^2+2x\\&=-2x^2+5x-3\end{aligned}$
接下来逐一判断选项：
选项A：化简后函数最高次为2次，是二次函数，该说法正确；
选项B：二次项系数为$-2$，该说法正确；
选项C：一次项系数为$5$，不是$-5$，该说法错误；
选项D：常数项为$-3$，该说法正确。
本题要求选出不正确的说法，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的概念；多项式乘多项式；整式化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数的相关概念，解题的关键是正确将函数展开为一般式，合并同类项时要注意符号，避免因计算失误选错答案。
【难度系数】
0.8
要判断各选项的正误，首先需要将给定的函数表达式展开，整理为二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），再分别对应二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，逐一核对每个选项即可找到不正确的说法。
【解析】
先将函数$y=(3-2x)(x-1)$展开化简：
$\begin{aligned}y&=3(x-1)-2x(x-1)\\&=3x-3-2x^2+2x\\&=-2x^2+5x-3\end{aligned}$
接下来逐一判断选项：
选项A：化简后函数最高次为2次，是二次函数，该说法正确；
选项B：二次项系数为$-2$，该说法正确；
选项C：一次项系数为$5$，不是$-5$，该说法错误；
选项D：常数项为$-3$，该说法正确。
本题要求选出不正确的说法，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的概念；多项式乘多项式；整式化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数的相关概念，解题的关键是正确将函数展开为一般式，合并同类项时要注意符号，避免因计算失误选错答案。
【难度系数】
0.8
6. 下列说法中，不正确的是()
A.二次函数$y=x^2$中，自变量的取值范围是全体实数
B.在圆的面积公式$S=π r^2$中，S是r的二次函数
C.$y=\frac{1}{3}(x+1)(2x-1)$是二次函数
D.在函数$y=2-\sqrt{3}x^2$中，一次项系数为2
A.二次函数$y=x^2$中，自变量的取值范围是全体实数
B.在圆的面积公式$S=π r^2$中，S是r的二次函数
C.$y=\frac{1}{3}(x+1)(2x-1)$是二次函数
D.在函数$y=2-\sqrt{3}x^2$中，一次项系数为2
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数相关的基础概念，解题时需先明确二次函数的定义、自变量取值范围的判断、函数各项系数的区分方法，再逐一分析每个选项，找出说法错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 二次函数$y=x^2$中，$x$取任意实数时$x^2$都有意义，因此自变量的取值范围是全体实数，该选项说法正确，不符合题意。
B. 在圆的面积公式$S=π r^2$中，$π$是不为0的常数，$r$是自变量，$S$关于$r$的最高次数为2，符合二次函数的定义，因此$S$是$r$的二次函数，该选项说法正确，不符合题意。
C. 将$y=\frac{1}{3}(x+1)(2x-1)$展开整理：
先计算括号内的乘积：$(x+1)(2x-1)=2x^2 +x -1$，
再乘$\frac{1}{3}$得：$y=\frac{2}{3}x^2 +\frac{1}{3}x -\frac{1}{3}$，符合二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的形式，是二次函数，该选项说法正确，不符合题意。
D. 将函数$y=2-\sqrt{3}x^2$整理为标准形式：$y=-\sqrt{3}x^2 +0x +2$，其中一次项系数为0，常数项为2，因此该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的概念，函数的项与系数，自变量取值范围
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点围绕二次函数的相关定义设置选项，只要准确掌握二次函数的判定方法，能正确区分函数的一次项系数、常数项，就能顺利解题，做题时要注意审题，看清题目要求选“不正确”的选项。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数相关的基础概念，解题时需先明确二次函数的定义、自变量取值范围的判断、函数各项系数的区分方法，再逐一分析每个选项，找出说法错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 二次函数$y=x^2$中，$x$取任意实数时$x^2$都有意义，因此自变量的取值范围是全体实数，该选项说法正确，不符合题意。
B. 在圆的面积公式$S=π r^2$中，$π$是不为0的常数，$r$是自变量，$S$关于$r$的最高次数为2，符合二次函数的定义，因此$S$是$r$的二次函数，该选项说法正确，不符合题意。
C. 将$y=\frac{1}{3}(x+1)(2x-1)$展开整理：
先计算括号内的乘积：$(x+1)(2x-1)=2x^2 +x -1$，
再乘$\frac{1}{3}$得：$y=\frac{2}{3}x^2 +\frac{1}{3}x -\frac{1}{3}$，符合二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的形式，是二次函数，该选项说法正确，不符合题意。
D. 将函数$y=2-\sqrt{3}x^2$整理为标准形式：$y=-\sqrt{3}x^2 +0x +2$，其中一次项系数为0，常数项为2，因此该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的概念，函数的项与系数，自变量取值范围
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点围绕二次函数的相关定义设置选项，只要准确掌握二次函数的判定方法，能正确区分函数的一次项系数、常数项，就能顺利解题，做题时要注意审题，看清题目要求选“不正确”的选项。
【难度系数】
0.8
7.某校九年级毕业生有$x$人,在毕业晚会上,每两人之间握一次手,$x$人共握手$y$次,则$y$与$x$的函数关系式是()
A.$y=x^2+1$
B.$y=x^2-x$
C.$y=\frac{x^2+2}{2}$
D.$y=\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x$
A.$y=x^2+1$
B.$y=x^2-x$
C.$y=\frac{x^2+2}{2}$
D.$y=\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x$
答案
D
解析
【分析】
解决本题可从握手的计数逻辑入手：首先每个同学都要和除自己外的其他同学握手，其次要注意甲与乙握手、乙与甲握手是同一次，不能重复计数。先算出重复统计的总握手次数，再剔除重复部分就能得到y与x的函数关系式，最后整理为标准形式对应选项即可。
【解析】
1. 每个人需要和除自己外的$(x-1)$人握手，若不考虑重复计数，$x$个人的总握手次数为$x(x-1)$次；
2. 由于每一次握手会被参与的两个人各统计1次，也就是上述结果将每一次握手都计算了2遍，因此实际握手次数需要除以2，可得：
$y=\frac{x(x-1)}{2}$
3. 将式子展开化简得：$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
握手问题模型、列函数关系式、整式化简
【点评】
本题是计数类函数的基础应用，解题核心是注意避免重复计数，掌握此类实际问题中函数关系式的列写方法即可轻松作答。
【难度系数】
0.7
解决本题可从握手的计数逻辑入手：首先每个同学都要和除自己外的其他同学握手，其次要注意甲与乙握手、乙与甲握手是同一次，不能重复计数。先算出重复统计的总握手次数，再剔除重复部分就能得到y与x的函数关系式，最后整理为标准形式对应选项即可。
【解析】
1. 每个人需要和除自己外的$(x-1)$人握手，若不考虑重复计数，$x$个人的总握手次数为$x(x-1)$次；
2. 由于每一次握手会被参与的两个人各统计1次，也就是上述结果将每一次握手都计算了2遍，因此实际握手次数需要除以2，可得：
$y=\frac{x(x-1)}{2}$
3. 将式子展开化简得：$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
握手问题模型、列函数关系式、整式化简
【点评】
本题是计数类函数的基础应用，解题核心是注意避免重复计数，掌握此类实际问题中函数关系式的列写方法即可轻松作答。
【难度系数】
0.7
8. 下列函数中是二次函数的有()
①$y=3-\sqrt{3}x^2$；②$y=\frac{2}{x^2}$；③$y=x(3-5x)$；
④$y=(1+2x)(1-2x)+4x^2$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$y=3-\sqrt{3}x^2$；②$y=\frac{2}{x^2}$；③$y=x(3-5x)$；
④$y=(1+2x)(1-2x)+4x^2$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
要判断函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，需满足三个条件：一是解析式右侧为整式，二是自变量的最高次数为2，三是二次项系数不为0。解题时先对每个函数解析式化简，再逐一对照条件判断即可。
【解析】
根据二次函数的定义逐个分析：
① $y=3-\sqrt{3}x^2$：右侧是整式，自变量$x$最高次数为2，二次项系数$-\sqrt{3}≠0$，符合二次函数定义，是二次函数；
② $y=\frac{2}{x^2}$：右侧是分式，不是整式，不符合要求，不是二次函数；
③ 化简得$y=x(3-5x)=3x-5x^2$，右侧是整式，自变量最高次数为2，二次项系数$-5≠0$，符合二次函数定义，是二次函数；
④ 化简得$y=(1+2x)(1-2x)+4x^2=1-4x^2+4x^2=1$，属于常数函数，没有二次项，不符合二次函数定义，不是二次函数。
综上，是二次函数的有①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的概念，整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的识别，解题关键是牢记二次函数的定义，注意必须先化简解析式再判断，不要直接依据原式形式判定，尤其要注意化简后二次项抵消、以及分母含自变量的函数都不属于二次函数。
【难度系数】
0.75
要判断函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，需满足三个条件：一是解析式右侧为整式，二是自变量的最高次数为2，三是二次项系数不为0。解题时先对每个函数解析式化简，再逐一对照条件判断即可。
【解析】
根据二次函数的定义逐个分析：
① $y=3-\sqrt{3}x^2$：右侧是整式，自变量$x$最高次数为2，二次项系数$-\sqrt{3}≠0$，符合二次函数定义，是二次函数；
② $y=\frac{2}{x^2}$：右侧是分式，不是整式，不符合要求，不是二次函数；
③ 化简得$y=x(3-5x)=3x-5x^2$，右侧是整式，自变量最高次数为2，二次项系数$-5≠0$，符合二次函数定义，是二次函数；
④ 化简得$y=(1+2x)(1-2x)+4x^2=1-4x^2+4x^2=1$，属于常数函数，没有二次项，不符合二次函数定义，不是二次函数。
综上，是二次函数的有①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的概念，整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的识别，解题关键是牢记二次函数的定义，注意必须先化简解析式再判断，不要直接依据原式形式判定，尤其要注意化简后二次项抵消、以及分母含自变量的函数都不属于二次函数。
【难度系数】
0.75
9.若$y=(m-1)x^{m^2+2m-1}+3.$
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
答案
解：
(1) 若此函数是二次函数，需满足：
$\begin{cases}m^2 + 2m - 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
整理方程$m^2 + 2m -1 = 2$得$m^2 + 2m - 3 = 0$，
因式分解得$(m+3)(m-1)=0$，
解得$m=-3$或$m=1$，
结合$m-1≠0$即$m≠1$，可得$m=-3$。
(2) 若此函数是一次函数，需满足：
$\begin{cases}m^2 + 2m - 1 = 1 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
整理方程$m^2 + 2m -1 = 1$得$m^2 + 2m - 2 = 0$，
由求根公式得$m = \frac{-2\pm\sqrt{2^2 + 8}}{2} = -1\pm\sqrt{3}$，
两个取值均满足$m≠1$，符合条件。
答：(1) 当$m=-3$时，此函数是二次函数；(2) 当$m=-1+\sqrt{3}$或$m=-1-\sqrt{3}$时，此函数是一次函数。
(1) 若此函数是二次函数，需满足：
$\begin{cases}m^2 + 2m - 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
整理方程$m^2 + 2m -1 = 2$得$m^2 + 2m - 3 = 0$，
因式分解得$(m+3)(m-1)=0$，
解得$m=-3$或$m=1$，
结合$m-1≠0$即$m≠1$，可得$m=-3$。
(2) 若此函数是一次函数，需满足：
$\begin{cases}m^2 + 2m - 1 = 1 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
整理方程$m^2 + 2m -1 = 1$得$m^2 + 2m - 2 = 0$，
由求根公式得$m = \frac{-2\pm\sqrt{2^2 + 8}}{2} = -1\pm\sqrt{3}$，
两个取值均满足$m≠1$，符合条件。
答：(1) 当$m=-3$时，此函数是二次函数；(2) 当$m=-1+\sqrt{3}$或$m=-1-\sqrt{3}$时，此函数是一次函数。
解析
【分析】
判断函数为二次函数或一次函数需紧扣对应函数的定义：一是最高次项的次数符合对应要求（二次函数为2，一次函数为1）；二是最高次项的系数不能为0，避免函数退化为常数函数。因此我们可分别根据两类函数的要求列方程组，求解后排除不符合限制条件的取值即可。
【解析】
(1) 若此函数是二次函数，需同时满足：
$\begin{cases}m^2 + 2m - 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
整理方程$m^2 + 2m -1 = 2$，移项得$m^2 + 2m - 3 = 0$，
因式分解得$(m+3)(m-1)=0$，解得$m=-3$或$m=1$，
结合$m-1≠0$即$m≠1$，舍去$m=1$，因此$m=-3$。
(2) 若此函数是一次函数，需同时满足：
$\begin{cases}m^2 + 2m - 1 = 1 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
整理方程$m^2 + 2m -1 = 1$，移项得$m^2 + 2m - 2 = 0$，
由一元二次方程求根公式$m=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（其中$a=1,b=2,c=-2$），代入得：
$m = \frac{-2\pm\sqrt{2^2 - 4×1×(-2)}}{2×1} = -1\pm\sqrt{3}$，
验证得两个取值均满足$m≠1$，均符合条件。
【答案】
(1) $m=-3$；(2) $m=-1+\sqrt{3}$或$m=-1-\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于函数定义类基础题，解题核心是牢记一次、二次函数的成立条件，尤其不要遗漏最高次项系数不为0的隐含限制，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
判断函数为二次函数或一次函数需紧扣对应函数的定义：一是最高次项的次数符合对应要求（二次函数为2，一次函数为1）；二是最高次项的系数不能为0，避免函数退化为常数函数。因此我们可分别根据两类函数的要求列方程组，求解后排除不符合限制条件的取值即可。
【解析】
(1) 若此函数是二次函数，需同时满足：
$\begin{cases}m^2 + 2m - 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
整理方程$m^2 + 2m -1 = 2$，移项得$m^2 + 2m - 3 = 0$，
因式分解得$(m+3)(m-1)=0$，解得$m=-3$或$m=1$，
结合$m-1≠0$即$m≠1$，舍去$m=1$，因此$m=-3$。
(2) 若此函数是一次函数，需同时满足：
$\begin{cases}m^2 + 2m - 1 = 1 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
整理方程$m^2 + 2m -1 = 1$，移项得$m^2 + 2m - 2 = 0$，
由一元二次方程求根公式$m=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（其中$a=1,b=2,c=-2$），代入得：
$m = \frac{-2\pm\sqrt{2^2 - 4×1×(-2)}}{2×1} = -1\pm\sqrt{3}$，
验证得两个取值均满足$m≠1$，均符合条件。
【答案】
(1) $m=-3$；(2) $m=-1+\sqrt{3}$或$m=-1-\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于函数定义类基础题，解题核心是牢记一次、二次函数的成立条件，尤其不要遗漏最高次项系数不为0的隐含限制，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
