如图3-9，剪一个圆形纸片，对折后使两个半圆完全重合，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

实验表明,直径两侧的半圆能互相重合.这说明圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是对称轴

【分析】
首先回忆轴对称图形的判定规则：若一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。解题时先结合操作过程分析：每次对折圆形纸片后两侧部分能重合，说明符合轴对称图形的特征；再观察多次对折的折痕特点，所有折痕都经过圆心，且可以画出无数条过圆心的折痕，由此可推导出对应的结论。
【解析】
按照要求开展操作：第一次对折圆形纸片，可观察到直径两侧的半圆能够完全重合，符合轴对称图形的特征；重复多次对折，只要折痕经过圆心，对折后圆的两部分都能完全重合，说明所有过圆心的直线都满足对称轴的要求。
【答案】
实验表明,直径两侧的半圆能互相重合.这说明圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是对称轴
【知识点】
轴对称图形；圆的对称性；对称轴定义
【点评】
本题通过动手操作探究圆的轴对称性质，能够引导大家建立“实践探究-总结规律”的几何学习思维，帮助大家更直观地理解圆的基本特征和轴对称图形的相关概念。
【难度系数】
0.9

例1 如图3-10，在$\odot O$中，点A，B在弦CD上，且$OA=OB$.求证:$AC=BD$. 图3-10

过圆心O作$OE⊥ AB$,垂足为E,则$CE=ED. \because OA=OB,\therefore AE=BE. \therefore AC=BD$

【分析】
要证明$AC=BD$，观察到$AC$、$BD$均为弦$CD$上的线段，解题突破口是作过圆心垂直于弦$CD$的辅助线：首先利用垂径定理可得弦$CD$被该垂线平分，再结合已知$OA=OB$，通过等腰三角形三线合一的性质可得$AB$也被这条垂线平分，最后通过线段的和差运算即可推导出$AC=BD$。
【解析】
证明：过圆心$O$作$OE ⊥ AB$，垂足为$E$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$CE=ED$。
$\because OA=OB$，$OE ⊥ AB$，
$\therefore$ 由等腰三角形三线合一的性质得$AE=BE$。
$\therefore CE - AE = ED - BE$，
即$AC=BD$。
【答案】
$AC=BD$，得证。
【知识点】
垂径定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆中线段相等证明的基础题型，核心是掌握作弦心距这一圆内常用辅助线的做法，结合垂径定理和等腰三角形性质，通过线段和差关系即可推导结论，熟练掌握该方法可为后续圆的相关证明打下基础。
【难度系数】
0.8

例2 如图3-11，在$\odot O$中，AB，CD是两条弦，$OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，垂足分别为E，F。
（1）已知$∠ AOB=∠ COD$，那么OE与OF的长度有什么关系？为什么？
（2）已知$OE=OF$，那么AB与CD的长度有什么关系？$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$的长度有什么关系？为什么？$∠ AOB$与$∠ COD$呢？

（1）$OE=OF$. 理由:$\because ∠ AOB=∠ COD,\therefore AB=CD. \because OE⊥ AB,OF⊥ CD,\therefore AE=\frac{1}{2}AB,CF=\frac{1}{2}CD. \therefore AE=CF$. 又$\because OA=OC,\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF. \therefore OE=OF$.
（2）$AB=CD,\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},∠ AOB=∠ COD$. 理由:$\because OE⊥ AB,OF⊥ CD,\therefore AE=\frac{1}{2}AB,CF=\frac{1}{2}CD. \because OA=OC,OE=OF,\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OCF. \therefore AE=CF. \therefore AB=CD. \therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},∠ AOB=∠ COD$

【分析】
（1）要判断OE和OF的大小关系，可通过证明二者所在的直角三角形全等来推导：首先根据同圆中相等的圆心角对应的弦相等，由∠AOB=∠COD可得AB=CD；再结合垂径定理，可得AE=1/2AB，CF=1/2CD，从而得到AE=CF；最后结合同圆半径相等OA=OC，证明Rt△OAE≌Rt△OCF，即可得到OE=OF。
（2）已知OE=OF，首先利用HL证明Rt△OAE≌Rt△OCF，得到AE=CF，结合垂径定理可推出AB=CD；再根据同圆中相等的弦对应的弧相等、对应的圆心角相等，即可得到其余对应量的等量关系。
【解析】
（1）OE=OF，理由如下：
∵∠AOB=∠COD，同圆中相等的圆心角所对的弦相等，
∴AB=CD。
∵OE⊥AB，OF⊥CD，根据垂径定理，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，
∴AE=CF。
又
∵OA=OC（同圆的半径相等），
∴$\mathrm{Rt}△OAE≌\mathrm{Rt}△OCF$（HL），
∴OE=OF。
（2）$AB=CD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠AOB=∠COD$，理由如下：
∵OE⊥AB，OF⊥CD，根据垂径定理，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$。
∵OA=OC，OE=OF，
∴$\mathrm{Rt}△OAE≌\mathrm{Rt}△OCF$（HL），
∴AE=CF，
∴AB=2AE=2CF=CD。
∵同圆中相等的弦所对的弧相等、所对的圆心角相等，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$∠AOB=∠COD$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{OE=OF}$；
（2）$\boldsymbol{AB=CD}$，$\boldsymbol{\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}}$，$\boldsymbol{∠AOB=∠COD}$。
【知识点】
垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；直角三角形全等判定
【点评】
本题围绕圆的对称性展开，结合全等三角形的判定考查圆中各元素的等量关系，是基础类题型，解题的关键是熟练掌握同圆中圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的等价转换规律。
【难度系数】
0.8

1. 填空题：
（1）如图，$\odot O$的直径$CD$与弦$AB$交于点$M$，添加一个条件：（写出一个即可），可得到$M$是$AB$的中点。

[第1(1)题]

1.（1）答案不唯一,如$CD⊥ AB$等

【分析】
本题考查垂径定理的应用，解题时先回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。题目中已经给出CD是$\odot O$的直径，要得到M是AB的中点，也就是直径CD平分弦AB，只需要添加符合垂径定理或其推论的条件即可，比如让直径垂直于弦，或者让直径平分弦所对的某一段弧，都能推出直径平分弦的结论。
【解析】
根据垂径定理，若直径垂直于弦，则该直径平分这条弦。已知CD是$\odot O$的直径，若添加条件$CD⊥AB$，即可直接得到CD平分AB，即M是AB的中点。此外添加$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$等条件也可满足要求，任选其一填写即可。
【答案】
答案不唯一，如$CD⊥AB$等
【知识点】
垂径定理；圆的轴对称性
【点评】
本题为开放性基础填空题，核心考查对垂径定理的理解与运用，只要熟知垂径定理的条件和结论，就能轻松写出符合要求的条件，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.9