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1. 如图，在等边三角形ABC中，AB=10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则EC的长是（）
A.$\frac{5}{2}$
B.5
C.7
D.$\frac{15}{2}$
（第1题）
A.$\frac{5}{2}$
B.5
C.7
D.$\frac{15}{2}$
（第1题）答案
D
解析
∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=10，∠A=60°。
∵D是AB的中点，AB=10，∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5。
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠A=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{5}{2}$。
∴EC=AC - AE=10 - $\frac{5}{2}$=$\frac{15}{2}$。
∵D是AB的中点，AB=10，∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5。
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠A=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{5}{2}$。
∴EC=AC - AE=10 - $\frac{5}{2}$=$\frac{15}{2}$。
2. 如图，一根木棒AB斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，$A'B'$表示木棒AB在滑动过程中的某一位置. 以下说法正确的是（）
A.下滑时，$OP$的长度增大
B.上升时，$OP$的长度减小
C.只要滑动，$OP$的长度就变化
D.无论怎样滑动，$OP$的长度不变
A.下滑时，$OP$的长度增大
B.上升时，$OP$的长度减小
C.只要滑动，$OP$的长度就变化
D.无论怎样滑动，$OP$的长度不变
答案
D
解析
由题意可知墙与地面垂直，即∠AOB=90°，△AOB为直角三角形。因为P是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得$OP=\frac{1}{2}AB$。木棒滑动过程中自身长度AB始终不变，因此无论木棒怎样滑动，OP的长度都等于AB长度的一半，保持不变。
3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,边$AC$的垂直平分线交$AC$于点$D$,交$BC$于点$E$,且$∠ C=15°$,$AB=1$,则$EC=$.
答案
解：连接AE，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=15°，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=30°，
在Rt△ABE中，∠B=90°，∠AEB=30°，AB=1，
∴AE=2AB=2，
又∵EA=EC，
∴EC=2。
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=15°，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=30°，
在Rt△ABE中，∠B=90°，∠AEB=30°，AB=1，
∴AE=2AB=2，
又∵EA=EC，
∴EC=2。
4. 直角三角形斜边上的高和中线分别为2和3，则该直角三角形的面积为.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：
∵ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且该直角三角形斜边上的中线为3，
∴ 斜边长为 $2 × 3 = 6$。
∴ 该直角三角形的面积为 $\frac{1}{2} × 6 × 2 = 6$。
∵ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且该直角三角形斜边上的中线为3，
∴ 斜边长为 $2 × 3 = 6$。
∴ 该直角三角形的面积为 $\frac{1}{2} × 6 × 2 = 6$。
