9. 定义:如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后,使这个角的一边与另一边重叠,再将所旋转后的三角形进行相似缩放,使重叠的两条边相互重合,我们称这样的图形变换为三角形转似,这个三角形的顶点称为转似中心,所得的三角形称为原三角形的转似三角形.如图,在$△ ABC$中,$AB=4,AC=6,BC=5,△ AB'C'$是$△ ABC$以点A为转似中心的顺时针的一个转似三角形,那么以点A为转似中心的逆时针的另一个转似三角形$△ AB''C''$(点$B'',C''$分别与点$B,C$对应),其中$B''C''$边的长为.

9. $\frac{15}{2}$ 解析:如图,由题意可得△ABC∽△AB''C'',
∴ $\frac{AB}{AB''}=\frac{BC}{B''C''}$.
∵ AB=4,AB''=AC=6,BC=5,
∴ $\frac{4}{6}=\frac{5}{B''C''}$,解得
∴ $B''C''=\frac{15}{2}$.故答案为$\frac{15}{2}$.

10. 如图,在菱形$OABC$中,$∠ AOC = 60°$,$OA = 2\sqrt{2}$,以点$O$为位似中心,相似比为$\frac{1}{2}$,将菱形$OABC$缩小,得到菱形$OA_1B_1C_1$;再以点$O$为位似中心,相似比为$\frac{1}{2}$,将菱形$OA_1B_1C_1$缩小,得到菱形$OA_2B_2C_2$……以此类推,则菱形$OA_{2024}B_{2024}C_{2024}$的面积为.

10. $\sqrt{3} × ( \frac{1}{2} )^{4046}$ 解析:由菱形OABC中,∠AOC=60°,OA=$2\sqrt{2}$,易得菱形OABC的面积为$4\sqrt{3}$.
∵ 菱形$OA_1B_1C_1$与菱形OABC相似,相似比为$\frac{1}{2}$,
∴ 菱形$OA_1B_1C_1$的面积为$4\sqrt{3}×(\frac{1}{2})^2$.
∵ 菱形$OA_2B_2C_2$与菱形$OA_1B_1C_1$相似,相似比为$\frac{1}{2}$,
∴ 菱形$OA_2B_2C_2$的面积为$4\sqrt{3}×(\frac{1}{2})^2 × (\frac{1}{2})^2$……以此类推,则菱形$OA_{2024}B_{2024}C_{2024}$的面积为$4\sqrt{3}×(\frac{1}{2})^{4048}=\sqrt{3}×(\frac{1}{2})^{4046}$.

11. 如图,在网格图中,每个小正方形的边长都为1,四边形ABCD的顶点均为格点.
(1) 以点O为位似中心,在网格图中作四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似,且$\frac{OC'}{OC}=2$;
(2) 在(1)的基础上,求$\frac{S_{△ A'B'O}}{S_{△ A'C'O}}$的值.

11. (1) 如图,四边形A'B'C'D'即为所求.
(2)
∵ $A'B'^2=2^2+2^2=8$,$B'O^2=4^2+4^2=32$,$A'O^2=2^2+6^2=40$,
∴ $A'B'^2+B'O^2=A'O^2$,
∴ △A'B'O是直角三角形,
∴ $S_{△A'B'O}=\frac{1}{2}A'B'·B'O=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4\sqrt{2}=8$.
∵ $S_{△A'C'O}=\frac{1}{2}A'C'·C'O=\frac{1}{2}×6×2=6$,
∴ $\frac{S_{△A'B'O}}{S_{△A'C'O}}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$.

12. 如果两个相似多边形任意一组对应顶点$P$，$P'$所在的直线都经过同一点$O$，且有$OP'=k· OP(k≠0)$，那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点$O$叫作位似中心.
(1) 如图①，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$AB=6\ \mathrm{cm}$.点$P$在$AB$上，点$Q$在$AC$上，以$PQ$为边作菱形$PQMN$，点$N$在线段$PB$上且$∠ APQ=120°$，在$△ ABC$及其内部，以点$A$为位似中心，请画出菱形$PQMN$的位似菱形$P'Q'M'N'$，且使菱形$P'Q'M'N'$的面积最大（不要求尺规作图）.
(2) 求(1)中作出的菱形$P'Q'M'N'$的面积.
(3) 如图②，四边形$ABCD$，$AEFG$是全等的两个菱形，$CD$，$EF$相交于点$M$，连接$BG$，$CF$.请用定义证明：$△ ABG$与$△ MCF$位似.

12. (1) 如图①,连接AM并延长,交BC于点M',作Q'M'//QM,交AC于点Q',作Q'P'//QP,交AB于点P',作M'N'//NM,交AB于点N',菱形P'Q'M'N'即为所求.
(2) 如图②,过点M'作M'G⊥N'B于点G.
∵ 四边形P'Q'M'N'是菱形,
∴ Q'P'//M'N',Q'P'=P'N'=N'M'=M'Q',
∴ ∠AN'M'=∠AP'Q'.
∵ ∠CAB=30°,∠APQ=120°,
∴ ∠AQP=180°-∠APQ-∠CAB=180°-120°-30°=30°.
∵ Q'P'//QP,
∴ ∠AQ'P'=∠AQP=30°,∠AP'Q'=∠APQ=120°,
∴ ∠AN'M'=∠AP'Q'=120°,
∴ ∠M'N'B=180°-∠AN'M'=180°-120°=60°.
∵ ∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴ ∠B=60°,
∴ ∠M'N'B=∠B=60°,
∴ △M'N'B是等边三角形,
∴ M'N'=BM'=N'B.又
∵ ∠CAB=30°,∠AQ'P'=30°,
∴ AP'=Q'P',
∴ AP'=P'N'=N'B.
∵ AB=6 cm,
∴ P'N'=$\frac{1}{3}$AB=2 cm.
∵ △M'N'B是等边三角形,M'G⊥N'B,
∴ GN'=GB=$\frac{1}{2}$BN'=1 cm,
∴ 在Rt△BM'G中,M'G=$\sqrt{BM'^2-BG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$(cm),
∴ 菱形P'Q'M'N'的面积为P'N'·M'G=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$($\mathrm{cm}^2$).
(3) 如图③,连接AM,
∵ 四边形ABCD,AEFG是全等的两个菱形,
∴ CM//AB,FM//AG,延长AM交BC,GF的延长线于点O,
∴ △OMC∽△OAB,△OMF∽△OAG,
∴ $\frac{OM}{AO}=\frac{MC}{AB}$,$\frac{OM}{AO}=\frac{MF}{AG}$,
∴ $\frac{MC}{AB}=\frac{MF}{AG}$.
∵ CM//AB,FM//AG,
∴ ∠CMO=∠BAO,∠FMO=∠GAO,
∴ ∠CMF=∠BAG,
∴ △ABG∽△MCF.
∵ 四边形ABCD,AEFG是全等的两个菱形,
∴ BC=GF.
∵ CM//AB,FM//AG,
∴ $\frac{OM}{AO}=\frac{OC}{BO}$,$\frac{OM}{AO}=\frac{OF}{OG}$,故$\frac{OM}{AO}=\frac{OC}{BO}=\frac{OF}{OG}$,
∴ △ABG与△MCF位似.