1. 据古书记载:“春秋,鲁班至楚为楚王作攻城云梯,云梯之面为二角约为$40°$,若楚欲攻宋,知宋城高为十余丈,则梯长为修矣?”译:春秋时期,鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯,如图所示,云梯AB与水平面BC的夹角为$40°$,若楚国欲攻打宋国,已知宋国城墙AC高为10丈,则云梯梯身长AB约为 ()

A.$\frac{10}{\sin 40°}$丈
B.$\frac{10}{\cos 40°}$丈
C.$10\sin 40°$丈
D.$10\cos 40°$丈

1. A

2. 桔槔俗称“吊杆”“秤杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械。桔槔示意图如图2所示，$OM$是垂直于水平地面的支撑杆，$OM=3$米，$AB$是杠杆，$AB=6$米，$OA:OB=2:1$。当点A位于最高点时，$∠ AOM=120°$。此时，点A到地面的距离为
（）

A.$(2\sqrt{3}+3)$米
B.5米
C.6米
D.7米

2. B

3. 如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC=6，BD=8，CD=21，则tan α的值为。

3. $\frac{3}{2}$

4. 在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题:“如图1示意图所示,均匀杆AB长为8 dm,杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动,在A点正上方距离为10 dm处固定一个小定滑轮,细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连,并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起.当杆AB与水平面夹角为30°时,求动力臂.”从数学角度看是这样一个问题:如图2,已知AB=8 dm,CA⊥AD于点D且CA=10 dm,连接CB,求点A到BC的距离.请写出解答过程求出点A到BC的距离.(结果保留根号)

4. 解:设点 A 到 BC 的距离为 h dm,
如图,过点 B 作 $BE⊥ AC$ 于 E,
$\because CA⊥ AD,\therefore ∠ DAC=90°.$
$\because ∠ BAD=30° ,\therefore ∠ BAE=60° .$
$\because ∠ AEB=90° ,\therefore ∠ ABE=30° .$
$\because AB=8\ \mathrm{dm},\therefore AE=\frac{1}{2}AB=4(\mathrm{dm}),$
$\therefore BE=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=4\sqrt{3}(\mathrm{dm}).$
$\because AC=10\ \mathrm{dm},\therefore CE=10-4=6(\mathrm{dm}),$
$\therefore BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+6^2}=2\sqrt{21}(\mathrm{dm}).$
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BE=\frac{1}{2}BC· h,$
$\therefore h=\frac{10× 4\sqrt{3}}{2\sqrt{21}}=\frac{20\sqrt{7}}{7}(\mathrm{dm}),$
$\therefore$ 点 A 到 BC 的距离为 $\frac{20\sqrt{7}}{7}\ \mathrm{dm}.$