例1 7个杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2个杯子。能否经过若干次翻转，使得7个杯子全部杯口朝下？
分析：解决翻杯子的问题的关键在于每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性。一开始杯口朝上的杯子有7个，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变成5个，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转2个杯子，即只有2个杯子改变了上、下方向，所以无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，也就是说不可能使7个杯子全部杯口朝下。
解答：经过若干次翻转，不可能使得7个杯子全部杯口朝下。

7个奇数相加的和为奇数
2×任意正整数的结果为偶数
奇数≠偶数
答：不能经过若干次翻转，使得7个杯子全部杯口朝下。

1. 如图，桌子上放了4个杯口朝上的杯子，每次只允许翻3个杯子，要使杯口都朝下，最少要翻多少次？请写出翻转方法。

最少要翻4次。方法不唯一,示例:第1次翻动1、2、3号,第2次翻动2、3、4号,第3次翻动3、4、1号,第4次翻动4、1、2号。
提示:杯口朝上要翻成杯口朝下,每个杯子必须翻动奇数次,而每次要翻动3个杯子,也就是翻动的总次数应该是3的倍数,当4个杯子最少都翻动1次时共要4次,4不是3的倍数,不能实现,当每个杯子翻动3次时,4个杯子就一共要翻动12次,是3的倍数。翻转方法示例如下:
上 上 上 上
下 下 下 上 第1次翻1、2、3号杯子
下 上 上 下 第2次翻2、3、4号杯子
上 上 下 上 第3次翻3、4、1号杯子
下 下 下 下 第4次翻4、1、2号杯子

2. 桌子上放着6个杯子，其中3个杯口朝上，3个杯口朝下，如果每次翻转5个杯子，那么至少翻转多少次，才能使6个杯子都杯口朝上？

至少翻转3次。
提示:采用逆推法,最后一次翻转前,一定是5个杯子从朝下翻到朝上,1个杯子不变,倒数第二次翻转前就是2个朝下,4个朝上,而第一次翻转时,若朝上的1个杯子不动,翻转其他杯子,得到的结果就是4个朝上,2个朝下,所以至少需要翻转3次,才能使6个杯子都杯口朝上。

例2 把33拆成若干个不同的素数之和,如果要使这些素数的积最大,那么这几个素数分别是多少?
分析:在解决有关素数之和的问题时,由于只有2既是素数又是偶数,所以要结合奇数和偶数的和的关系,即:
奇数+奇数=偶数;
奇数+偶数=奇数。
本题中因为最小的6个素数2、3、5、7、11、13之和大于33,所以最多写成5个素数之和。
首先假设可以写成5个素数之和,由于33是奇数,则其中必定没有2(否则和是偶数);取最小的5个连续奇素数3、5、7、11、13,它们的和是39,超过33,所以分成5个素数是不可能的。
假设33可以分成4个素数之和,则其中有一个是2,其余3个素数之和是31。显然有(3、5、23)、(3、11、17)、(7、11、13)、(5、7、19)这四种情况,积最大是2×7×11×13=2002。
假设33可以分成3个奇数之和,则有(3、13、17)、(5、11、17)、(3、7、23)、(3、11、19)四种情况,乘积均小于2002。
假设33可以分成2个素数之和,只有2和31这一种情况,乘积仅为62。
解答: 要使这些素数的积最大,那么这几个素数分别是2、7、11、13。

2×3×5×23=690
2×3×11×17=1122
2×7×11×13=2002
2×5×7×19=1330
3×13×17=663
5×11×17=935
3×7×23=483
3×11×19=627
2×31=62
62＜483＜627＜663＜935＜1122＜1330＜2002
答：要使这些素数的积最大，这几个素数分别是2、7、11、13。

3. 9个连续的大于80的自然数，其中素数最多有多少个？

素数最多有4个。
提示:9个连续的自然数中,偶数为合数,最少有4个;每9个数中至少有一个奇数是3的倍数,也是合数,所以素数最多有9-4-1=4(个)。