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7.将图中的角用不同的方法表示出来，并填写在下表中：
答案
$∠α$ $∠2$ $∠ACD$ $∠B$
解析
【分析】
解题核心是掌握角的四类表示规则，第一步先明确每个待表示角的顶点和两条边，第二步根据标注情况选对应表示方法：①角内标有希腊字母时，可用∠+希腊字母表示；②角内标有阿拉伯数字时，可用∠+数字表示；③用三个大写字母表示角时，顶点字母要放在中间；④顶点处只有唯一1个角时，还可以用顶点的单个大写字母表示，按规则逐一匹配即可得到答案。
【解析】
角的常见表示方法及对应匹配如下：
1. 若角内部标注了希腊字母α，该角可直接表示为$∠ α$；
2. 若角内部标注了阿拉伯数字2，该角可直接表示为$∠ 2$；
3. 顶点为C，两条边分别过点A、点D的角，用三个大写字母表示时顶点字母放中间，写作$∠ ACD$；
4. 顶点为B的角，顶点处仅有这1个角，可用单个顶点字母表示为$∠ B$。
【答案】
$∠ α$ $∠ 2$ $∠ ACD$ $∠ B$
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题是角的表示的基础应用题，解题时要注意只有顶点处仅有一个角时，才能用单个大写字母表示该角，避免出现指代混淆的错误。
【难度系数】
0.9
解题核心是掌握角的四类表示规则，第一步先明确每个待表示角的顶点和两条边，第二步根据标注情况选对应表示方法：①角内标有希腊字母时，可用∠+希腊字母表示；②角内标有阿拉伯数字时，可用∠+数字表示；③用三个大写字母表示角时，顶点字母要放在中间；④顶点处只有唯一1个角时，还可以用顶点的单个大写字母表示，按规则逐一匹配即可得到答案。
【解析】
角的常见表示方法及对应匹配如下：
1. 若角内部标注了希腊字母α，该角可直接表示为$∠ α$；
2. 若角内部标注了阿拉伯数字2，该角可直接表示为$∠ 2$；
3. 顶点为C，两条边分别过点A、点D的角，用三个大写字母表示时顶点字母放中间，写作$∠ ACD$；
4. 顶点为B的角，顶点处仅有这1个角，可用单个顶点字母表示为$∠ B$。
【答案】
$∠ α$ $∠ 2$ $∠ ACD$ $∠ B$
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题是角的表示的基础应用题，解题时要注意只有顶点处仅有一个角时，才能用单个大写字母表示该角，避免出现指代混淆的错误。
【难度系数】
0.9
8.小明晚上放学到家时，钟表显示的时间为6时15分（如图所示），此时时钟的分针与时针所成角的度数是
97.5°
。答案
$97.5°$
解析
【分析】
要计算6时15分时针与分针的夹角，首先明确钟面的度数划分：整个钟面为周角360°，平均分成12个大格，每个大格对应30°；再掌握时针和分针的转动速度：分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。先求出6时整两针的初始夹角，再分别计算15分钟内分针、时针转动的角度，结合两针的转动方向，即可求出最终夹角。
【解析】
解：钟面一圈为360°，共12个大格，因此每个大格的度数为 $360° ÷ 12 = 30°$。
分针每分钟转动的角度：$360° ÷ 60 = 6°$；
时针每分钟转动的角度：$360° ÷ (12 × 60) = 0.5°$。
6时整时，时针指向6，分针指向12，两针夹角为 $6 × 30° = 180°$。
15分钟后，分针转动的角度：$15 × 6° = 90°$；
时针转动的角度：$15 × 0.5° = 7.5°$。
此时两针的夹角为 $180° - 90° + 7.5° = 97.5°$。
【答案】
$97.5°$
【知识点】
钟面角计算、角的和差运算、度的运算
【点评】
本题是钟面角计算的基础题型，解题核心是牢记时针、分针的转动速度，特别注意不要忽略时针会随时间同步转动，结合初始夹角和两针的转动角度差即可求出结果。
【难度系数】
0.7
要计算6时15分时针与分针的夹角，首先明确钟面的度数划分：整个钟面为周角360°，平均分成12个大格，每个大格对应30°；再掌握时针和分针的转动速度：分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。先求出6时整两针的初始夹角，再分别计算15分钟内分针、时针转动的角度，结合两针的转动方向，即可求出最终夹角。
【解析】
解：钟面一圈为360°，共12个大格，因此每个大格的度数为 $360° ÷ 12 = 30°$。
分针每分钟转动的角度：$360° ÷ 60 = 6°$；
时针每分钟转动的角度：$360° ÷ (12 × 60) = 0.5°$。
6时整时，时针指向6，分针指向12，两针夹角为 $6 × 30° = 180°$。
15分钟后，分针转动的角度：$15 × 6° = 90°$；
时针转动的角度：$15 × 0.5° = 7.5°$。
此时两针的夹角为 $180° - 90° + 7.5° = 97.5°$。
【答案】
$97.5°$
【知识点】
钟面角计算、角的和差运算、度的运算
【点评】
本题是钟面角计算的基础题型，解题核心是牢记时针、分针的转动速度，特别注意不要忽略时针会随时间同步转动，结合初始夹角和两针的转动角度差即可求出结果。
【难度系数】
0.7
9. 一个正方形被一条直线截去一个角后，剩下图形的角的个数是（
A.3
B.3或4
C.4或5
D.3或4或5
D
）A.3
B.3或4
C.4或5
D.3或4或5
答案
9.D
解析
【分析】
解题时要考虑直线切割正方形的不同位置，按截线经过正方形顶点的数量分三种情况讨论，避免思维定式只考虑某一种切割方式：①截线过两个顶点；②截线过1个顶点和1条边（非顶点处）；③截线过两条相邻边（均不过顶点），分别计算三种情况剩下图形的角的个数即可。
【解析】
我们分三种情况讨论直线截正方形的情况：
1. 当截线经过正方形的两个对角顶点时，截去一个角后剩余图形为三角形，角的个数是3；
2. 当截线经过正方形的1个顶点，以及与该顶点不相邻的一条边上的任意一点（非顶点）时，截去一个角后剩余图形为四边形，角的个数是4；
3. 当截线经过正方形相邻两条边上的任意两点（均非顶点）时，截去一个角后剩余图形为五边形，角的个数是5。
综上，剩下图形的角的个数可能是3、4或5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的特征；分类讨论；图形切割
【点评】
本题容易因考虑不全面出现漏解，解题时要打破“截去一个角就少一个角”的思维定式，全面考虑切割的所有可能情况，养成分类讨论的解题习惯。
【难度系数】
0.7
解题时要考虑直线切割正方形的不同位置，按截线经过正方形顶点的数量分三种情况讨论，避免思维定式只考虑某一种切割方式：①截线过两个顶点；②截线过1个顶点和1条边（非顶点处）；③截线过两条相邻边（均不过顶点），分别计算三种情况剩下图形的角的个数即可。
【解析】
我们分三种情况讨论直线截正方形的情况：
1. 当截线经过正方形的两个对角顶点时，截去一个角后剩余图形为三角形，角的个数是3；
2. 当截线经过正方形的1个顶点，以及与该顶点不相邻的一条边上的任意一点（非顶点）时，截去一个角后剩余图形为四边形，角的个数是4；
3. 当截线经过正方形相邻两条边上的任意两点（均非顶点）时，截去一个角后剩余图形为五边形，角的个数是5。
综上，剩下图形的角的个数可能是3、4或5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形的特征；分类讨论；图形切割
【点评】
本题容易因考虑不全面出现漏解，解题时要打破“截去一个角就少一个角”的思维定式，全面考虑切割的所有可能情况，养成分类讨论的解题习惯。
【难度系数】
0.7
10. 王老师到菜市场去买菜，发现把10kg菜放到秤盘上，指针盘上的指针转了180°,如图所示.第二天王老师就给同学们出了两个问题:
(1)如果把0.5kg菜放在秤盘上,那么指针转过多少度?
(2)如果指针转了540°,那么这些菜重多少千克?
(1)如果把0.5kg菜放在秤盘上,那么指针转过多少度?
(2)如果指针转了540°,那么这些菜重多少千克?
答案
(1)$9°$ (2)$30kg$
解析
【分析】
本题中菜的重量和秤盘指针转过的角度成正比例关系，解题时先理清两个量的对应关系：首先根据已知的10kg菜对应指针转180°，求出单位重量的菜对应的指针转角度数，或指针转1度对应的菜的重量，再分别求解两个问题即可。
【解析】
首先计算每千克菜放在秤盘上指针转过的角度：
$180° ÷ 10 = 18°/\mathrm{kg}$
(1) 0.5kg菜对应的指针转角度数：
$0.5 × 18° = 9°$
再计算指针每转$1°$对应的菜的重量：
$10÷180=\frac{1}{18}\ \mathrm{kg/}°$
(2) 指针转540°对应的菜重：
$540 × \frac{1}{18}=30\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) $9°$；(2) $30\ \mathrm{kg}$
【知识点】
比例的应用，角度计算，有理数运算
【点评】
本题结合生活中盘秤称重的实际场景命题，贴近生活，只要理清菜的重量和指针转角的正比例对应关系，就能快速求出结果，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.85
本题中菜的重量和秤盘指针转过的角度成正比例关系，解题时先理清两个量的对应关系：首先根据已知的10kg菜对应指针转180°，求出单位重量的菜对应的指针转角度数，或指针转1度对应的菜的重量，再分别求解两个问题即可。
【解析】
首先计算每千克菜放在秤盘上指针转过的角度：
$180° ÷ 10 = 18°/\mathrm{kg}$
(1) 0.5kg菜对应的指针转角度数：
$0.5 × 18° = 9°$
再计算指针每转$1°$对应的菜的重量：
$10÷180=\frac{1}{18}\ \mathrm{kg/}°$
(2) 指针转540°对应的菜重：
$540 × \frac{1}{18}=30\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) $9°$；(2) $30\ \mathrm{kg}$
【知识点】
比例的应用，角度计算，有理数运算
【点评】
本题结合生活中盘秤称重的实际场景命题，贴近生活，只要理清菜的重量和指针转角的正比例对应关系，就能快速求出结果，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.85
▲11.元旦这一天，城区某中学七年级的部分学生上午八点多集中在学校门口，准备去步行街进行公益服务.临出发时，组长一看钟，时针与分针正好是重合的.下午两点多他们回到学校，进校门时，组长看见钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线.那么你知道他们去步行街进行公益服务一共用了多少时间吗？通过计算加以说明.
答案
6小时
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确钟表上时针和分针的转动速度：整个钟面为360°，分针每60分钟转一圈，因此每分钟转$360°÷60=6°$；时针每12小时转一圈，即每720分钟转360°，因此每分钟转$360°÷720=0.5°$，每分钟分针比时针多走$6°-0.5°=5.5°$。接下来分别分析出发和返回时的时刻：①上午8点多时针与分针重合：8点整时，时针领先分针$8×30°=240°$（每大格对应30°），要重合需要分针追上240°，可算出对应的分钟数；②下午2点多时针与分针反向成直线（夹角180°）：2点整时，时针领先分针$2×30°=60°$，要形成180°反向直线，分针需要追上60°后再多走180°，总路程差也是240°，对应的分钟数和出发时的分钟数相等。因此总时长就是下午2点（即14点）减去上午8点，分钟数抵消，直接得到总时长。
【解析】
解：首先计算时针、分针的转动速度：
分针每分钟转：$360°÷60=6°$
时针每分钟转：$360°÷(12×60)=0.5°$
每分钟分针比时针多转：$6°-0.5°=5.5°$
设上午8点$x$分时针与分针重合，此时分针追上时针的角度差为8点整的领先角度240°，列方程：
$6x - 0.5x = 240$
解得$x=\frac{480}{11}$，即出发时间为8时$\frac{480}{11}$分。
设下午2点$y$分时针与分针反向成直线，此时分针需要比时针多走2点整的领先角度60°再加180°，总路程差为240°，列方程：
$6y - 0.5y = 60 + 180$
即$5.5y=240$，解得$y=\frac{480}{11}$，即返回时间为14时$\frac{480}{11}$分。
总时长为：$14时\frac{480}{11}分 - 8时\frac{480}{11}分 = 6小时$
【答案】
6小时
【知识点】
钟面角计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活场景考查钟面角的相关计算，解题的关键是掌握时针和分针的转动速度，将钟表问题转化为追及问题列方程求解，本题无需计算具体分钟数即可通过时刻差得到最终结果，简化了计算过程。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要明确钟表上时针和分针的转动速度：整个钟面为360°，分针每60分钟转一圈，因此每分钟转$360°÷60=6°$；时针每12小时转一圈，即每720分钟转360°，因此每分钟转$360°÷720=0.5°$，每分钟分针比时针多走$6°-0.5°=5.5°$。接下来分别分析出发和返回时的时刻：①上午8点多时针与分针重合：8点整时，时针领先分针$8×30°=240°$（每大格对应30°），要重合需要分针追上240°，可算出对应的分钟数；②下午2点多时针与分针反向成直线（夹角180°）：2点整时，时针领先分针$2×30°=60°$，要形成180°反向直线，分针需要追上60°后再多走180°，总路程差也是240°，对应的分钟数和出发时的分钟数相等。因此总时长就是下午2点（即14点）减去上午8点，分钟数抵消，直接得到总时长。
【解析】
解：首先计算时针、分针的转动速度：
分针每分钟转：$360°÷60=6°$
时针每分钟转：$360°÷(12×60)=0.5°$
每分钟分针比时针多转：$6°-0.5°=5.5°$
设上午8点$x$分时针与分针重合，此时分针追上时针的角度差为8点整的领先角度240°，列方程：
$6x - 0.5x = 240$
解得$x=\frac{480}{11}$，即出发时间为8时$\frac{480}{11}$分。
设下午2点$y$分时针与分针反向成直线，此时分针需要比时针多走2点整的领先角度60°再加180°，总路程差为240°，列方程：
$6y - 0.5y = 60 + 180$
即$5.5y=240$，解得$y=\frac{480}{11}$，即返回时间为14时$\frac{480}{11}$分。
总时长为：$14时\frac{480}{11}分 - 8时\frac{480}{11}分 = 6小时$
【答案】
6小时
【知识点】
钟面角计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活场景考查钟面角的相关计算，解题的关键是掌握时针和分针的转动速度，将钟表问题转化为追及问题列方程求解，本题无需计算具体分钟数即可通过时刻差得到最终结果，简化了计算过程。
【难度系数】
0.6
