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12. 小荣的妈妈给家里添置了一套标有“容量450 mL”的水杯，小荣质疑厂家的标注是否准确，于是拿来厨房里的电子秤一探究竟。当倒入质量为500 g的水时恰好倒满。($\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$，$\rho_{糖浆}=1.4\ \mathrm{g/cm}^3$)
(1)水杯的真实容积是多少毫升？
(2)小荣先在空杯中倒入125 mL的糖浆，再倒满水，搅拌均匀的糖水密度是多少克每立方厘米？(假设糖浆和水混合后总体积不变)
(3)小荣用水和上述糖水制作了四杯饮料，其中1、3号杯分别放入了等量的果冻碎(不溶于水)，再向四杯饮料分别添加好水或糖水后各液面恰好相平(未装满)，小荣称出了四杯饮料(含杯子)的总质量如图所示，请帮小荣求出果冻碎的密度是多少克每立方厘米？
(1)水杯的真实容积是多少毫升？
(2)小荣先在空杯中倒入125 mL的糖浆，再倒满水，搅拌均匀的糖水密度是多少克每立方厘米？(假设糖浆和水混合后总体积不变)
(3)小荣用水和上述糖水制作了四杯饮料，其中1、3号杯分别放入了等量的果冻碎(不溶于水)，再向四杯饮料分别添加好水或糖水后各液面恰好相平(未装满)，小荣称出了四杯饮料(含杯子)的总质量如图所示，请帮小荣求出果冻碎的密度是多少克每立方厘米？
答案
【解】(1)倒入质量为500 g的水时恰好装满，由$\rho=\frac{m}{V}$可得，$V_{实}=V_水=\frac{m_水}{\rho_水}=\frac{500\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=500\ \mathrm{cm}^3=500\ \mathrm{mL}$。
(2)糖浆质量$m_{糖浆}=\rho_{糖浆}V_{糖浆}=1.4\ \mathrm{g/cm}^3×125\ \mathrm{cm}^3=175\ \mathrm{g}$，再倒满水，倒入水的体积$V_水'=V_{实}-V_{糖浆}=500\ \mathrm{cm}^3-125\ \mathrm{cm}^3=375\ \mathrm{cm}^3$，则倒入水的质量$m_水'=\rho_水 V_水'=1.0\ \mathrm{g/cm}^3×375\ \mathrm{cm}^3=375\ \mathrm{g}$。搅拌均匀的糖水总质量$m_{糖水}=m_{糖浆}+m_水'=175\ \mathrm{g}+375\ \mathrm{g}=550\ \mathrm{g}$，所以搅拌均匀的糖水密度$\rho_{糖水}=\frac{m_{糖水}}{V_{实}}=\frac{550\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=1.1\ \mathrm{g/cm}^3$。
(3)四杯饮料的液面恰好相平，即总体积相等，设为$V'$。由2号杯和4号杯饮料可得，$m_{杯}+1.0\ \mathrm{g/cm}^3× V'=300\ \mathrm{g}$，$m_{杯}+1.1\ \mathrm{g/cm}^3× V'=320\ \mathrm{g}$，解得$m_{杯}=100\ \mathrm{g}$，$V'=200\ \mathrm{cm}^3$。根据1号杯和3号杯饮料可得，杯子的质量、果冻碎的质量和加入水(或糖水)的质量之和为最终的总质量，即$100\ \mathrm{g}+\rho_{果冻}V_{果冻}+1.0\ \mathrm{g/cm}^3×(200\ \mathrm{cm}^3-V_{果冻})=310\ \mathrm{g}$，$100\ \mathrm{g}+\rho_{果冻}V_{果冻}+1.1\ \mathrm{g/cm}^3×(200\ \mathrm{cm}^3-V_{果冻})=328\ \mathrm{g}$，解得$\rho_{果冻}=1.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
(2)糖浆质量$m_{糖浆}=\rho_{糖浆}V_{糖浆}=1.4\ \mathrm{g/cm}^3×125\ \mathrm{cm}^3=175\ \mathrm{g}$，再倒满水，倒入水的体积$V_水'=V_{实}-V_{糖浆}=500\ \mathrm{cm}^3-125\ \mathrm{cm}^3=375\ \mathrm{cm}^3$，则倒入水的质量$m_水'=\rho_水 V_水'=1.0\ \mathrm{g/cm}^3×375\ \mathrm{cm}^3=375\ \mathrm{g}$。搅拌均匀的糖水总质量$m_{糖水}=m_{糖浆}+m_水'=175\ \mathrm{g}+375\ \mathrm{g}=550\ \mathrm{g}$，所以搅拌均匀的糖水密度$\rho_{糖水}=\frac{m_{糖水}}{V_{实}}=\frac{550\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=1.1\ \mathrm{g/cm}^3$。
(3)四杯饮料的液面恰好相平，即总体积相等，设为$V'$。由2号杯和4号杯饮料可得，$m_{杯}+1.0\ \mathrm{g/cm}^3× V'=300\ \mathrm{g}$，$m_{杯}+1.1\ \mathrm{g/cm}^3× V'=320\ \mathrm{g}$，解得$m_{杯}=100\ \mathrm{g}$，$V'=200\ \mathrm{cm}^3$。根据1号杯和3号杯饮料可得，杯子的质量、果冻碎的质量和加入水(或糖水)的质量之和为最终的总质量，即$100\ \mathrm{g}+\rho_{果冻}V_{果冻}+1.0\ \mathrm{g/cm}^3×(200\ \mathrm{cm}^3-V_{果冻})=310\ \mathrm{g}$，$100\ \mathrm{g}+\rho_{果冻}V_{果冻}+1.1\ \mathrm{g/cm}^3×(200\ \mathrm{cm}^3-V_{果冻})=328\ \mathrm{g}$，解得$\rho_{果冻}=1.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
本题是密度相关的综合应用题，分三小问逐步推导：
1. 第(1)问：已知水的质量和密度，利用密度公式变形可求出水的体积，即水杯的真实容积；
2. 第(2)问：先根据糖浆的体积和密度算出糖浆质量，再求水杯中剩余水的体积与质量，总质量除以水杯容积得到糖水密度；
3. 第(3)问：通过2号（水）和4号（糖水）杯的总质量，设杯子质量和液面总体积，联立方程求出这两个量；再结合1号（水+果冻）和3号（糖水+果冻）杯的总质量，利用果冻体积与液面体积的关系，联立方程求解果冻密度。
【解析】
(1) 已知水的质量$m_{水}=500\ \mathrm{g}$，水的密度$\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得水杯真实容积：
$V_{实}=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{500\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=500\ \mathrm{cm}^3=500\ \mathrm{mL}$。
(2) 糖浆体积$V_{糖浆}=125\ \mathrm{mL}=125\ \mathrm{cm}^3$，糖浆密度$\rho_{糖浆}=1.4\ \mathrm{g/cm}^3$，则糖浆质量：
$m_{糖浆}=\rho_{糖浆}V_{糖浆}=1.4\ \mathrm{g/cm}^3×125\ \mathrm{cm}^3=175\ \mathrm{g}$；
剩余水的体积$V_{水}'=V_{实}-V_{糖浆}=500\ \mathrm{cm}^3-125\ \mathrm{cm}^3=375\ \mathrm{cm}^3$，剩余水的质量：
$m_{水}'=\rho_{水}V_{水}'=1.0\ \mathrm{g/cm}^3×375\ \mathrm{cm}^3=375\ \mathrm{g}$；
糖水总质量$m_{糖水}=m_{糖浆}+m_{水}'=175\ \mathrm{g}+375\ \mathrm{g}=550\ \mathrm{g}$，则糖水密度：
$\rho_{糖水}=\frac{m_{糖水}}{V_{实}}=\frac{550\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=1.1\ \mathrm{g/cm}^3$。
(3) 设杯子质量为$m_{杯}$，液面总体积为$V'$。由2号杯（水）和4号杯（糖水）的总质量得：
$\begin{cases}m_{杯}+\rho_{水}V'=300\ \mathrm{g} \\ m_{杯}+\rho_{糖水}V'=320\ \mathrm{g}\end{cases}$
代入$\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$、$\rho_{糖水}=1.1\ \mathrm{g/cm}^3$，解得：$m_{杯}=100\ \mathrm{g}$，$V'=200\ \mathrm{cm}^3$。
设果冻体积为$V_{果冻}$，密度为$\rho_{果冻}$，由1号杯和3号杯的总质量得：
$\begin{cases}m_{杯}+\rho_{果冻}V_{果冻}+\rho_{水}(V'-V_{果冻})=310\ \mathrm{g} \\ m_{杯}+\rho_{果冻}V_{果冻}+\rho_{糖水}(V'-V_{果冻})=328\ \mathrm{g}\end{cases}$
代入$m_{杯}=100\ \mathrm{g}$、$V'=200\ \mathrm{cm}^3$及密度值，解得：$\rho_{果冻}=1.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
500 mL；1.1 g/cm³；1.5 g/cm³
【知识点】
密度公式应用、密度计算、混合密度计算
【点评】
本题综合考查密度公式的运用，需要学生灵活分析各物理量的关系，尤其是第(3)问需通过联立方程求解，对逻辑分析能力有一定要求，是密度知识的典型综合题。
【难度系数】
0.5
本题是密度相关的综合应用题，分三小问逐步推导：
1. 第(1)问：已知水的质量和密度，利用密度公式变形可求出水的体积，即水杯的真实容积；
2. 第(2)问：先根据糖浆的体积和密度算出糖浆质量，再求水杯中剩余水的体积与质量，总质量除以水杯容积得到糖水密度；
3. 第(3)问：通过2号（水）和4号（糖水）杯的总质量，设杯子质量和液面总体积，联立方程求出这两个量；再结合1号（水+果冻）和3号（糖水+果冻）杯的总质量，利用果冻体积与液面体积的关系，联立方程求解果冻密度。
【解析】
(1) 已知水的质量$m_{水}=500\ \mathrm{g}$，水的密度$\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得水杯真实容积：
$V_{实}=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{500\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=500\ \mathrm{cm}^3=500\ \mathrm{mL}$。
(2) 糖浆体积$V_{糖浆}=125\ \mathrm{mL}=125\ \mathrm{cm}^3$，糖浆密度$\rho_{糖浆}=1.4\ \mathrm{g/cm}^3$，则糖浆质量：
$m_{糖浆}=\rho_{糖浆}V_{糖浆}=1.4\ \mathrm{g/cm}^3×125\ \mathrm{cm}^3=175\ \mathrm{g}$；
剩余水的体积$V_{水}'=V_{实}-V_{糖浆}=500\ \mathrm{cm}^3-125\ \mathrm{cm}^3=375\ \mathrm{cm}^3$，剩余水的质量：
$m_{水}'=\rho_{水}V_{水}'=1.0\ \mathrm{g/cm}^3×375\ \mathrm{cm}^3=375\ \mathrm{g}$；
糖水总质量$m_{糖水}=m_{糖浆}+m_{水}'=175\ \mathrm{g}+375\ \mathrm{g}=550\ \mathrm{g}$，则糖水密度：
$\rho_{糖水}=\frac{m_{糖水}}{V_{实}}=\frac{550\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=1.1\ \mathrm{g/cm}^3$。
(3) 设杯子质量为$m_{杯}$，液面总体积为$V'$。由2号杯（水）和4号杯（糖水）的总质量得：
$\begin{cases}m_{杯}+\rho_{水}V'=300\ \mathrm{g} \\ m_{杯}+\rho_{糖水}V'=320\ \mathrm{g}\end{cases}$
代入$\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$、$\rho_{糖水}=1.1\ \mathrm{g/cm}^3$，解得：$m_{杯}=100\ \mathrm{g}$，$V'=200\ \mathrm{cm}^3$。
设果冻体积为$V_{果冻}$，密度为$\rho_{果冻}$，由1号杯和3号杯的总质量得：
$\begin{cases}m_{杯}+\rho_{果冻}V_{果冻}+\rho_{水}(V'-V_{果冻})=310\ \mathrm{g} \\ m_{杯}+\rho_{果冻}V_{果冻}+\rho_{糖水}(V'-V_{果冻})=328\ \mathrm{g}\end{cases}$
代入$m_{杯}=100\ \mathrm{g}$、$V'=200\ \mathrm{cm}^3$及密度值，解得：$\rho_{果冻}=1.5\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
500 mL；1.1 g/cm³；1.5 g/cm³
【知识点】
密度公式应用、密度计算、混合密度计算
【点评】
本题综合考查密度公式的运用，需要学生灵活分析各物理量的关系，尤其是第(3)问需通过联立方程求解，对逻辑分析能力有一定要求，是密度知识的典型综合题。
【难度系数】
0.5
13. 2026重庆南开中学期末 如图所示，质量为200 g的薄壁圆柱形溢水杯放在水平桌面上，溢水口到杯底的距离为20 cm，溢水杯内装有质量为1 800 g的水，水深18 cm。小开将溢水杯放入冷冻室，水全部结冰后，冰面水平。（不考虑水的蒸发和溢水杯的体积变化，$\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$，$\rho_{冰}=0.9\ \mathrm{g/cm}^3$）
(1)求溢水杯的底面积。
(2)求冰面比水面高的高度。
(3)小开待冰完全熔化成水后，用熔化的水继续探究某特殊材料制成的柱体A的吸水性。用轻绳将A竖直缓慢下降至刚好浸没，该过程中溢出水500 g。静置一段时间后，溢水杯中水面下降了2 cm，之后不再发生变化。小开继续使A缓慢下降至沉底，剪断轻绳，测出此时溢水杯、水和A的总质量为3 750 g。已知：A高度为15 cm，每$5\ \mathrm{cm}^3$的柱体A会吸1 $\mathrm{cm}^3$水。求柱体A未吸水时的密度。（不考虑轻绳体积和A吸水前后的体积变化）
(1)求溢水杯的底面积。
(2)求冰面比水面高的高度。
(3)小开待冰完全熔化成水后，用熔化的水继续探究某特殊材料制成的柱体A的吸水性。用轻绳将A竖直缓慢下降至刚好浸没，该过程中溢出水500 g。静置一段时间后，溢水杯中水面下降了2 cm，之后不再发生变化。小开继续使A缓慢下降至沉底，剪断轻绳，测出此时溢水杯、水和A的总质量为3 750 g。已知：A高度为15 cm，每$5\ \mathrm{cm}^3$的柱体A会吸1 $\mathrm{cm}^3$水。求柱体A未吸水时的密度。（不考虑轻绳体积和A吸水前后的体积变化）
答案
【解】(1)溢水杯内水的体积$V_水=\frac{m_水}{\rho_水}=\frac{1800\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=1800\ \mathrm{cm}^3$，溢水杯底面积$S_{容}=\frac{V_水}{h_水}=\frac{1800\ \mathrm{cm}^3}{18\ \mathrm{cm}}=100\ \mathrm{cm}^2$。
(2)水结成冰后，冰的体积$V_冰=\frac{m_冰}{\rho_冰}=\frac{m_水}{\rho_冰}=\frac{1800\ \mathrm{g}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3}=2000\ \mathrm{cm}^3$，冰的高度$h_冰=\frac{V_冰}{S_{容}}=\frac{2000\ \mathrm{cm}^3}{100\ \mathrm{cm}^2}=20\ \mathrm{cm}$，冰面比水面高的高度$\Delta h=h_冰-h_水=20\ \mathrm{cm}-18\ \mathrm{cm}=2\ \mathrm{cm}$。
(3)溢水杯质量为200 g，原来水的质量为1 800 g，A浸没后溢出水500 g，最终溢水杯、水和A的总质量为3 750 g，所以A的质量$m_A=m_总-m_{杯}-(m_水-m_{溢水})=3750\ \mathrm{g}-200\ \mathrm{g}-(1800\ \mathrm{g}-500\ \mathrm{g})=2250\ \mathrm{g}$，待冰完全熔化成水后，水深等于18 cm，用轻绳将A竖直缓慢下降至刚好浸没，该过程中溢出水500 g，则水面上升的高度$\Delta h_{上升}=20\ \mathrm{cm}-18\ \mathrm{cm}=2\ \mathrm{cm}$，溢出水的体积$V_{溢水}=\frac{m_{溢水}}{\rho_水}=\frac{500\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=500\ \mathrm{cm}^3$，则该过程中A排开水的总体积$V_{排}=V_{溢水}+V_{上升}=V_{溢水}+S_{容}\Delta h_{上升}=500\ \mathrm{cm}^3+100\ \mathrm{cm}^2×2\ \mathrm{cm}=700\ \mathrm{cm}^3$，设柱体A的底面积为$S_A\ \mathrm{cm}^2$，则A的体积$V_A=S_A\ \mathrm{cm}^2×15\ \mathrm{cm}=15S_A\ \mathrm{cm}^3$，已知每$5\ \mathrm{cm}^3$的柱体A会吸$1\ \mathrm{cm}^3$水，则整个过程中柱体A吸收水的总体积$V_{吸总}=\frac{V_A}{5\ \mathrm{cm}^3}×1\ \mathrm{cm}^3=\frac{15S_A\ \mathrm{cm}^3}{5}=3S_A\ \mathrm{cm}^3$，柱体A吸水分2段过程，即A竖直缓慢下降至刚好浸没要吸水(设该过程中吸收水的体积为$V_吸$)，A在水中静置一段时间也要吸水(设该过程中吸收水的体积为$V_吸'$)，由题知，原来A刚好浸没，静置一段时间后，溢水杯中水面下降了2 cm(即A露出水面的高度为2 cm)，则此过程中吸收水的体积(吸收两侧水的体积)$V_吸'=(S_{容}-S_A\ \mathrm{cm}^2)×\Delta h_{下降}=(100\ \mathrm{cm}^2-S_A\ \mathrm{cm}^2)×2\ \mathrm{cm}=(200-2S_A)\ \mathrm{cm}^3$，所以A竖直缓慢下降过程中吸收水的体积$V_吸=V_{吸总}-V_吸'=3S_A\ \mathrm{cm}^3-(200-2S_A)\ \mathrm{cm}^3=(5S_A-200)\ \mathrm{cm}^3$，A的体积也等于下降过程中排开水的体积加上该过程中吸收水的体积，则$V_A=V_{排}+V_吸$，即$15S_A\ \mathrm{cm}^3=700\ \mathrm{cm}^3+(5S_A-200)\ \mathrm{cm}^3$，解得$S_A=50$，即A的底面积为$50\ \mathrm{cm}^2$，所以A的体积$V_A=15S_A\ \mathrm{cm}^3=15×50\ \mathrm{cm}^3=750\ \mathrm{cm}^3$，A未吸水时的密度$\rho_A=\frac{m_A}{V_A}=\frac{2250\ \mathrm{g}}{750\ \mathrm{cm}^3}=3\ \mathrm{g/cm}^3$。
(2)水结成冰后，冰的体积$V_冰=\frac{m_冰}{\rho_冰}=\frac{m_水}{\rho_冰}=\frac{1800\ \mathrm{g}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3}=2000\ \mathrm{cm}^3$，冰的高度$h_冰=\frac{V_冰}{S_{容}}=\frac{2000\ \mathrm{cm}^3}{100\ \mathrm{cm}^2}=20\ \mathrm{cm}$，冰面比水面高的高度$\Delta h=h_冰-h_水=20\ \mathrm{cm}-18\ \mathrm{cm}=2\ \mathrm{cm}$。
(3)溢水杯质量为200 g，原来水的质量为1 800 g，A浸没后溢出水500 g，最终溢水杯、水和A的总质量为3 750 g，所以A的质量$m_A=m_总-m_{杯}-(m_水-m_{溢水})=3750\ \mathrm{g}-200\ \mathrm{g}-(1800\ \mathrm{g}-500\ \mathrm{g})=2250\ \mathrm{g}$，待冰完全熔化成水后，水深等于18 cm，用轻绳将A竖直缓慢下降至刚好浸没，该过程中溢出水500 g，则水面上升的高度$\Delta h_{上升}=20\ \mathrm{cm}-18\ \mathrm{cm}=2\ \mathrm{cm}$，溢出水的体积$V_{溢水}=\frac{m_{溢水}}{\rho_水}=\frac{500\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=500\ \mathrm{cm}^3$，则该过程中A排开水的总体积$V_{排}=V_{溢水}+V_{上升}=V_{溢水}+S_{容}\Delta h_{上升}=500\ \mathrm{cm}^3+100\ \mathrm{cm}^2×2\ \mathrm{cm}=700\ \mathrm{cm}^3$，设柱体A的底面积为$S_A\ \mathrm{cm}^2$，则A的体积$V_A=S_A\ \mathrm{cm}^2×15\ \mathrm{cm}=15S_A\ \mathrm{cm}^3$，已知每$5\ \mathrm{cm}^3$的柱体A会吸$1\ \mathrm{cm}^3$水，则整个过程中柱体A吸收水的总体积$V_{吸总}=\frac{V_A}{5\ \mathrm{cm}^3}×1\ \mathrm{cm}^3=\frac{15S_A\ \mathrm{cm}^3}{5}=3S_A\ \mathrm{cm}^3$，柱体A吸水分2段过程，即A竖直缓慢下降至刚好浸没要吸水(设该过程中吸收水的体积为$V_吸$)，A在水中静置一段时间也要吸水(设该过程中吸收水的体积为$V_吸'$)，由题知，原来A刚好浸没，静置一段时间后，溢水杯中水面下降了2 cm(即A露出水面的高度为2 cm)，则此过程中吸收水的体积(吸收两侧水的体积)$V_吸'=(S_{容}-S_A\ \mathrm{cm}^2)×\Delta h_{下降}=(100\ \mathrm{cm}^2-S_A\ \mathrm{cm}^2)×2\ \mathrm{cm}=(200-2S_A)\ \mathrm{cm}^3$，所以A竖直缓慢下降过程中吸收水的体积$V_吸=V_{吸总}-V_吸'=3S_A\ \mathrm{cm}^3-(200-2S_A)\ \mathrm{cm}^3=(5S_A-200)\ \mathrm{cm}^3$，A的体积也等于下降过程中排开水的体积加上该过程中吸收水的体积，则$V_A=V_{排}+V_吸$，即$15S_A\ \mathrm{cm}^3=700\ \mathrm{cm}^3+(5S_A-200)\ \mathrm{cm}^3$，解得$S_A=50$，即A的底面积为$50\ \mathrm{cm}^2$，所以A的体积$V_A=15S_A\ \mathrm{cm}^3=15×50\ \mathrm{cm}^3=750\ \mathrm{cm}^3$，A未吸水时的密度$\rho_A=\frac{m_A}{V_A}=\frac{2250\ \mathrm{g}}{750\ \mathrm{cm}^3}=3\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
本题分三小问逐步求解：
1. 第(1)问：已知水的质量和密度，先利用密度公式算出溢水杯内水的体积，再根据圆柱体积公式$V=Sh$，由水的体积和水深求出溢水杯底面积。
2. 第(2)问：水结冰后质量不变，利用冰的密度算出冰的体积，再结合溢水杯底面积求出冰的高度，冰的高度与原水深的差值即为冰面比水面高的高度。
3. 第(3)问：先通过总质量关系求出柱体A的质量；再分析A浸没过程中排开水的体积，结合A吸水的体积变化，利用A的体积与排开体积、吸水体积的关系，求出A的底面积，进而得到A的体积；最后用密度公式算出A未吸水时的密度。
【解析】
(1) 由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$得，溢水杯内水的体积：
$V_水=\frac{m_水}{\rho_水}=\frac{1800\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=1800\ \mathrm{cm}^3$
溢水杯为圆柱形容器，体积$V=Sh$，则溢水杯底面积：
$S_{容}=\frac{V_水}{h_水}=\frac{1800\ \mathrm{cm}^3}{18\ \mathrm{cm}}=100\ \mathrm{cm}^2$
(2) 水结冰后质量不变，$m_冰=m_水=1800\ \mathrm{g}$，则冰的体积：
$V_冰=\frac{m_冰}{\rho_冰}=\frac{1800\ \mathrm{g}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3}=2000\ \mathrm{cm}^3$
冰的高度：
$h_冰=\frac{V_冰}{S_{容}}=\frac{2000\ \mathrm{cm}^3}{100\ \mathrm{cm}^2}=20\ \mathrm{cm}$
冰面比水面高的高度：
$\Delta h=h_冰 - h_水=20\ \mathrm{cm}-18\ \mathrm{cm}=2\ \mathrm{cm}$
(3) ① 求A的质量：
溢水杯质量$m_{杯}=200\ \mathrm{g}$，最终总质量$m_总=3750\ \mathrm{g}$，A浸没后溢出水$500\ \mathrm{g}$，则A的质量：
$m_A=m_总 - m_{杯} - (m_水 - m_{溢水})=3750\ \mathrm{g}-200\ \mathrm{g}-(1800\ \mathrm{g}-500\ \mathrm{g})=2250\ \mathrm{g}$
② 分析A排开水的体积：
A刚好浸没时，溢水杯内水深从18cm上升到20cm（溢水口到杯底20cm），水面上升高度$\Delta h_{上升}=20\ \mathrm{cm}-18\ \mathrm{cm}=2\ \mathrm{cm}$，溢出水的体积$V_{溢水}=\frac{m_{溢水}}{\rho_水}=\frac{500\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=500\ \mathrm{cm}^3$，则A排开水的总体积：
$V_{排}=V_{溢水} + S_{容}\Delta h_{上升}=500\ \mathrm{cm}^3 + 100\ \mathrm{cm}^2×2\ \mathrm{cm}=700\ \mathrm{cm}^3$
③ 分析A吸水的体积：
设A的底面积为$S_A$，A的体积$V_A=S_A×h_A=S_A×15\ \mathrm{cm}=15S_A\ \mathrm{cm}^3$；
每$5\ \mathrm{cm}^3$A吸$1\ \mathrm{cm}^3$水，总吸水量$V_{吸总}=\frac{V_A}{5}×1=\frac{15S_A}{5}=3S_A\ \mathrm{cm}^3$；
静置后水面下降2cm，此过程A吸水的体积$V_{吸}'=(S_{容}-S_A)×\Delta h_{下降}=(100 - S_A)×2=200 - 2S_A\ \mathrm{cm}^3$；
则A下降至浸没过程中吸水的体积$V_{吸}=V_{吸总}-V_{吸}'=3S_A - (200 - 2S_A)=5S_A - 200\ \mathrm{cm}^3$；
又因为A的体积等于排开体积加该过程吸水体积，即$V_A=V_{排}+V_{吸}$，代入得：
$15S_A=700 + (5S_A - 200)$
解得$S_A=50\ \mathrm{cm}^2$，则A的体积$V_A=15×50=750\ \mathrm{cm}^3$。
④ A的密度：
$\rho_A=\frac{m_A}{V_A}=\frac{2250\ \mathrm{g}}{750\ \mathrm{cm}^3}=3\ \mathrm{g/cm}^3$
【答案】
(1) $100\ \mathrm{cm}^2$；(2) $2\ \mathrm{cm}$；(3) $3\ \mathrm{g/cm}^3$
【知识点】
密度公式应用、体积与底面积高度关系、质量守恒
【点评】
本题为力学综合题，结合物态变化、密度计算、物体排开体积及吸水体积分析，需理清各物理过程的量的关系，逻辑要求较高，是期末考的典型综合题型，能较好考查学生的综合分析能力。
【难度系数】
0.5
本题分三小问逐步求解：
1. 第(1)问：已知水的质量和密度，先利用密度公式算出溢水杯内水的体积，再根据圆柱体积公式$V=Sh$，由水的体积和水深求出溢水杯底面积。
2. 第(2)问：水结冰后质量不变，利用冰的密度算出冰的体积，再结合溢水杯底面积求出冰的高度，冰的高度与原水深的差值即为冰面比水面高的高度。
3. 第(3)问：先通过总质量关系求出柱体A的质量；再分析A浸没过程中排开水的体积，结合A吸水的体积变化，利用A的体积与排开体积、吸水体积的关系，求出A的底面积，进而得到A的体积；最后用密度公式算出A未吸水时的密度。
【解析】
(1) 由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$得，溢水杯内水的体积：
$V_水=\frac{m_水}{\rho_水}=\frac{1800\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=1800\ \mathrm{cm}^3$
溢水杯为圆柱形容器，体积$V=Sh$，则溢水杯底面积：
$S_{容}=\frac{V_水}{h_水}=\frac{1800\ \mathrm{cm}^3}{18\ \mathrm{cm}}=100\ \mathrm{cm}^2$
(2) 水结冰后质量不变，$m_冰=m_水=1800\ \mathrm{g}$，则冰的体积：
$V_冰=\frac{m_冰}{\rho_冰}=\frac{1800\ \mathrm{g}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3}=2000\ \mathrm{cm}^3$
冰的高度：
$h_冰=\frac{V_冰}{S_{容}}=\frac{2000\ \mathrm{cm}^3}{100\ \mathrm{cm}^2}=20\ \mathrm{cm}$
冰面比水面高的高度：
$\Delta h=h_冰 - h_水=20\ \mathrm{cm}-18\ \mathrm{cm}=2\ \mathrm{cm}$
(3) ① 求A的质量：
溢水杯质量$m_{杯}=200\ \mathrm{g}$，最终总质量$m_总=3750\ \mathrm{g}$，A浸没后溢出水$500\ \mathrm{g}$，则A的质量：
$m_A=m_总 - m_{杯} - (m_水 - m_{溢水})=3750\ \mathrm{g}-200\ \mathrm{g}-(1800\ \mathrm{g}-500\ \mathrm{g})=2250\ \mathrm{g}$
② 分析A排开水的体积：
A刚好浸没时，溢水杯内水深从18cm上升到20cm（溢水口到杯底20cm），水面上升高度$\Delta h_{上升}=20\ \mathrm{cm}-18\ \mathrm{cm}=2\ \mathrm{cm}$，溢出水的体积$V_{溢水}=\frac{m_{溢水}}{\rho_水}=\frac{500\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=500\ \mathrm{cm}^3$，则A排开水的总体积：
$V_{排}=V_{溢水} + S_{容}\Delta h_{上升}=500\ \mathrm{cm}^3 + 100\ \mathrm{cm}^2×2\ \mathrm{cm}=700\ \mathrm{cm}^3$
③ 分析A吸水的体积：
设A的底面积为$S_A$，A的体积$V_A=S_A×h_A=S_A×15\ \mathrm{cm}=15S_A\ \mathrm{cm}^3$；
每$5\ \mathrm{cm}^3$A吸$1\ \mathrm{cm}^3$水，总吸水量$V_{吸总}=\frac{V_A}{5}×1=\frac{15S_A}{5}=3S_A\ \mathrm{cm}^3$；
静置后水面下降2cm，此过程A吸水的体积$V_{吸}'=(S_{容}-S_A)×\Delta h_{下降}=(100 - S_A)×2=200 - 2S_A\ \mathrm{cm}^3$；
则A下降至浸没过程中吸水的体积$V_{吸}=V_{吸总}-V_{吸}'=3S_A - (200 - 2S_A)=5S_A - 200\ \mathrm{cm}^3$；
又因为A的体积等于排开体积加该过程吸水体积，即$V_A=V_{排}+V_{吸}$，代入得：
$15S_A=700 + (5S_A - 200)$
解得$S_A=50\ \mathrm{cm}^2$，则A的体积$V_A=15×50=750\ \mathrm{cm}^3$。
④ A的密度：
$\rho_A=\frac{m_A}{V_A}=\frac{2250\ \mathrm{g}}{750\ \mathrm{cm}^3}=3\ \mathrm{g/cm}^3$
【答案】
(1) $100\ \mathrm{cm}^2$；(2) $2\ \mathrm{cm}$；(3) $3\ \mathrm{g/cm}^3$
【知识点】
密度公式应用、体积与底面积高度关系、质量守恒
【点评】
本题为力学综合题，结合物态变化、密度计算、物体排开体积及吸水体积分析，需理清各物理过程的量的关系，逻辑要求较高，是期末考的典型综合题型，能较好考查学生的综合分析能力。
【难度系数】
0.5
