1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，两条直角边分别为$a,b$，斜边为$c$.
（1）已知$a=3,b=4$，则$c=$；
（2）已知$c=13,b=5$，则$a=$；
（3）已知$c=17,a=15$，则$b=$；
（4）已知$a+b=14,ab=48$，则$c=$.

解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 将$a=3,b=4$代入得：
$c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
$\because c＞0$，$\therefore c=5$；
(2) 将$c=13,b=5$代入得：
$a^2 = c^2 - b^2 = 13^2 - 5^2 = 144$，
$\because a＞0$，$\therefore a=12$；
(3) 将$c=17,a=15$代入得：
$b^2 = c^2 - a^2 = 17^2 - 15^2 = 64$，
$\because b＞0$，$\therefore b=8$；
(4) 将$a+b=14,ab=48$代入得：
$c^2 = a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 14^2 - 2×48 = 100$，
$\because c＞0$，$\therefore c=10$。
答案依次为：$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{10}$。

【分析】
这道题是直角三角形中利用勾股定理求边长的基础题型，解题核心是牢记：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方（∠C=90°时，公式为$a^2+b^2=c^2$，其中$c$为斜边）。前3小问已知两条边的长度，直接代入勾股定理公式，结合边长为正数的属性开平方即可求解；第(4)小问没有直接给出$a、b$的具体值，可利用完全平方公式将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$，整体代入已知数值计算即可求出$c^2$，进而得到$c$的值。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 将$a=3,b=4$代入公式得：
$c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9+16=25$，
$\because$三角形边长为正数，即$c＞0$，$\therefore c=5$；
(2) 将$c=13,b=5$代入公式，变形得$a^2=c^2-b^2$：
$a^2 = 13^2 - 5^2 = 169-25=144$，
$\because a＞0$，$\therefore a=12$；
(3) 将$c=17,a=15$代入公式，变形得$b^2=c^2-a^2$：
$b^2 = 17^2 - 15^2 = 289-225=64$，
$\because b＞0$，$\therefore b=8$；
(4) 已知$a+b=14,ab=48$，结合完全平方公式变形得：
$c^2 = a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$，
代入数值计算得：$c^2 = 14^2 - 2×48 = 196-96=100$，
$\because c＞0$，$\therefore c=10$。
【答案】
$5$；$12$；$8$；$10$
【知识点】
勾股定理；完全平方公式变形
【点评】
本题侧重勾股定理的基础应用，前3问是公式的直接代入计算，第4问考查代数式整体代入思想，无需单独求解$a、b$的值即可快速算出结果，能有效检验对勾股定理和整式变形的掌握程度。
【难度系数】
0.8

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=25$，$AC=7$，则$△ ABC$的面积为________.

解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{25^2 - 7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$
$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}×7×24=84$
$\boxed{84}$

【分析】
要求$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积，已知一条直角边$AC$的长度，还需要求出另一条直角边$BC$的长度。由于$△ ABC$是直角三角形且$∠ C=90°$，斜边$AB$已知，可先根据勾股定理计算出$BC$的长度，再代入直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半）即可求出面积。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{25^2 - 7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$
根据直角三角形面积公式可得：
$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}×7×24=84$
【答案】
$\boxed{84}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，重点考查勾股定理的基础应用和直角三角形面积公式的掌握，解题时要注意平方运算、开方运算的准确性，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.9

3. 如图,要修建一个育苗棚,棚宽a为2m,高b为1.5m,长d为10m.覆盖在棚顶的塑料薄膜的面积是 m².

$\boldsymbol{25}$

【分析】
要计算棚顶塑料薄膜的面积，首先需明确薄膜的形状是长方形：长方形的一条边等于育苗棚的长度d，另一条边是棚横截面直角三角形的斜边c。因此解题步骤为：①利用勾股定理，由直角三角形的两条直角边a、b求出斜边c的长度；②根据长方形面积=长×宽，用c乘d即可得到薄膜的面积。
【解析】
首先计算棚横截面直角三角形的斜边长c：
已知直角三角形的两条直角边a=2m，b=1.5m，根据勾股定理可得：
$c^2=a^2+b^2=2^2+1.5^2=4+2.25=6.25$
因此$c=\sqrt{6.25}=2.5\mathrm{m}$
棚顶塑料薄膜为长方形，长为d=10m，宽为斜边长c=2.5m，其面积为：
$S=c× d=2.5×10=25\mathrm{m^2}$
【答案】
25
【知识点】
勾股定理；矩形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题的核心是结合图形判断出覆盖薄膜的形状，准确找到长方形两条边对应的长度，避免将棚的宽度a误认为薄膜的宽，只要正确运用勾股定理和矩形面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

4. 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$，垂足为$D$，$AB=AC=5$，$BC=6$. $AD=$，$△ ABC$的面积为.

$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{12}$

【分析】
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，可先求出底边BC一半的长度；再观察得到△ABD是直角三角形，已知斜边AB和直角边BD的长度，即可用勾股定理求出AD的长度；最后根据三角形面积公式，以BC为底、AD为高就能算出△ABC的面积。
【解析】
解：
∵AB=AC=5，AD⊥BC，BC=6
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BD=DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD^2+BD^2=AB^2$
∴$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
△ABC的面积为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×6×4=12$
【答案】
$4$；$12$
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查等腰三角形三线合一性质与勾股定理的结合应用，解题关键是先利用等腰三角形性质得到直角边BD的长度，后续计算难度较低。
【难度系数】
0.8

5. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为.

解：分两种情况讨论：
① 当3和4均为直角边长时，设第三边长为x，
由勾股定理得：$x^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
∵x＞0，∴$x=5$；
② 当斜边长为4，一条直角边长为3时，设第三边长为x，
由勾股定理得：$x^2 + 3^2 = 4^2$，即$x^2 = 16 - 9 = 7$，
∵x＞0，∴$x=\sqrt{7}$。
综上，第三边的长为$5$或$\sqrt{7}$。

【分析】
已知直角三角形的两边长未明确说明是直角边还是斜边，因此需要结合直角三角形的性质分类讨论求解：首先，直角三角形中斜边是最长的边，因此边长为3的边不可能是斜边，由此确定两种分类情况：①3和4均为直角边，第三边为斜边；②4为斜边，3为直角边，第三边为另一条直角边。再针对每种情况，利用勾股定理列方程计算，注意边长为正数，需舍去负根，最后综合两种情况得到最终结果。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当3和4均为直角边长时，设第三边长为x，
由勾股定理得：$x^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
∵x＞0，
∴$x=5$；
② 当斜边长为4，一条直角边长为3时，设第三边长为x，
由勾股定理得：$x^2 + 3^2 = 4^2$，即$x^2 = 16 - 9 = 7$，
∵x＞0，
∴$x=\sqrt{7}$。
综上，第三边的长为$5$或$\sqrt{7}$。
【答案】
$5$或$\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，易错点是学生默认3和4均为直角边，仅算出结果5而漏解。解题时需注意：若题干未明确直角三角形的直角边和斜边，要先结合“斜边最长”的性质分类讨论，同时注意边长为正数，舍去不符合实际意义的根，避免漏解。
【难度系数】
0.6

6. 我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称为“无字证明”.如图是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形.
（1）图①可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容.
（2）已知直角三角形的直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$,图①、图②的面积相等,请你根据图形证明(1)中的定理.

解：
(1) 该图形可以用来证明勾股定理。
定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(2) 分别计算两个图形的面积：
图①的面积：$S_1 = a^2 + b^2 + 3×\frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + \frac{3}{2}ab$
图②的面积：$S_2 = c^2 + 3×\frac{1}{2}ab = c^2 + \frac{3}{2}ab$
已知图①、图②的面积相等，即$S_1 = S_2$，
因此：
$a^2 + b^2 + \frac{3}{2}ab = c^2 + \frac{3}{2}ab$
等式两边同时减去$\frac{3}{2}ab$，可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
由此证明勾股定理成立。

【分析】
(1) 观察图①的拼接结构，它由边长为a、b的两个正方形和三块全等的直角三角形组成，属于勾股定理的经典无字证明图形，结合所学知识可判断对应勾股定理，回忆勾股定理的内容作答即可。
(2) 解题时利用题目给出的“图①、图②面积相等”的条件，用割补法分别表示两个图形的总面积：两个图形都包含3个全等的直角三角形，剩余部分图①是边长为a、b的两个正方形，图②是边长为c的正方形；将两个面积表达式列成等式，消去两边相同的三角形总面积，即可推导得到勾股定理的表达式。
【解析】
(1) 该图形可以用来证明勾股定理。
定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(2) 分别计算两个图形的面积：
图①的面积：$S_1 = a^2 + b^2 + 3×\frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + \frac{3}{2}ab$
图②的面积：$S_2 = c^2 + 3×\frac{1}{2}ab = c^2 + \frac{3}{2}ab$
已知图①、图②的面积相等，即$S_1 = S_2$，因此：
$a^2 + b^2 + \frac{3}{2}ab = c^2 + \frac{3}{2}ab$
等式两边同时减去$\frac{3}{2}ab$，可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
由此证明勾股定理成立。
【答案】
(1) 勾股定理；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(2) 证明过程如上，可得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理成立。
【知识点】
勾股定理；割补法求面积；等式的性质
【点评】
本题是勾股定理无字证明的典型题型，通过图形拼接利用面积相等的关系推导定理，体现了数形结合的数学思想，能帮助学生掌握用面积法证明代数关系的思路。
【难度系数】
0.75