5. 如图,在△ABC中,已知点O到边AB,AC的距离分别是OD,OE,且OD=OE,OB=OC.
（1）如图①,若点O在边BC上,补全图形并证明AB=AC；
（2）如图②,若点O在△ABC的内部,补全图形并证明AB=AC.

解：
（1）补全图形：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E。
证明：
∵ OD⊥AB，OE⊥AC，
∴ ∠ODB = ∠OEC = 90°，
∴ △ODB和△OEC都是直角三角形。
在Rt△ODB和Rt△OEC中，
$\begin{cases} OB=OC \\ OD=OE \end{cases}$
∴ Rt△ODB ≌ Rt△OEC（HL），
∴ ∠B = ∠C，
∴ AB = AC（等角对等边）。
（2）补全图形：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E。
证明：
∵ OD⊥AB，OE⊥AC，
∴ ∠ODB = ∠OEC = 90°，
∴ △ODB和△OEC都是直角三角形。
在Rt△ODB和Rt△OEC中，
$\begin{cases} OB=OC \\ OD=OE \end{cases}$
∴ Rt△ODB ≌ Rt△OEC（HL），
∴ ∠OBD = ∠OCE。
∵ OB = OC，
∴ ∠OBC = ∠OCB，
∴ ∠OBD + ∠OBC = ∠OCE + ∠OCB，
即∠ABC = ∠ACB，
∴ AB = AC（等角对等边）。

【分析】
要证明AB=AC，可通过等腰三角形“等角对等边”的判定定理，证明∠ABC=∠ACB即可。已知点O到AB、AC的距离OD=OE，且OB=OC，OD、OE分别垂直AB、AC，因此可先通过HL定理证明Rt△ODB和Rt△OEC全等，得到对应角相等。（1）中点O在BC边上，全等得到的∠OBD、∠OCE就是△ABC的底角∠B和∠C，直接可推AB=AC；（2）中点O在△ABC内部，全等得到的是∠OBD=∠OCE，再结合OB=OC推出的∠OBC=∠OCB，将两组等角相加即可得到∠ABC=∠ACB，进而推出AB=AC。
【解析】
（1）补全图形：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E。
证明：
∵ OD⊥AB，OE⊥AC，
∴ ∠ODB = ∠OEC = 90°，△ODB和△OEC均为直角三角形。
在Rt△ODB和Rt△OEC中：
$\begin{cases} OB=OC \\ OD=OE \end{cases}$
∴ Rt△ODB ≌ Rt△OEC（HL），
∴ ∠B = ∠C，
∴ AB = AC（等角对等边）。
（2）补全图形：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E。
证明：
∵ OD⊥AB，OE⊥AC，
∴ ∠ODB = ∠OEC = 90°，△ODB和△OEC均为直角三角形。
在Rt△ODB和Rt△OEC中：
$\begin{cases} OB=OC \\ OD=OE \end{cases}$
∴ Rt△ODB ≌ Rt△OEC（HL），
∴ ∠OBD = ∠OCE。
∵ OB = OC，
∴ ∠OBC = ∠OCB，
∴ ∠OBD + ∠OBC = ∠OCE + ∠OCB，即∠ABC = ∠ACB，
∴ AB = AC（等角对等边）。
【答案】
（1）AB=AC，证明成立；（2）AB=AC，证明成立。
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 等腰三角形的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题围绕全等三角形证明和等腰三角形相关知识设置，两种O点位置的设置考察了学生对角度关系的推导能力，解题核心是利用HL证明直角三角形全等，再结合角的和差关系推导底角相等，属于基础类证明题，要求学生熟练掌握全等判定和等腰三角形的相关定理。
【难度系数】
0.75

6. 如图，在△ABC和△A'B'C'中，AC=A'C'，BC=B'C'，∠B=∠B'，且∠B，∠B'都是钝角。求证：△ABC≌△A'B'C'。（第6题）

证明：
过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，过点C'作C'D'⊥A'B'，交A'B'的延长线于点D'。
∴∠D=∠D'=90°。
∵∠ABC=∠A'B'C'，且∠B、∠B'都是钝角，
∴180°-∠ABC=180°-∠A'B'C'，即∠CBD=∠C'B'D'。
在△CBD和△C'B'D'中：
$\{\begin{array}{l}∠D=∠D' \\∠CBD=∠C'B'D' \\BC=B'C'\end{array} $
∴△CBD≌△C'B'D'(AAS)，
∴CD=C'D'。
在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中：
$\{\begin{array}{l}AC=A'C' \\CD=C'D'\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL)，
∴∠A=∠A'。
在△ABC和△A'B'C'中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠A' \\∠ABC=∠A'B'C' \\AC=A'C'\end{array} $
∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)。

【分析】
要证明△ABC≌△A'B'C'，已知条件为两边及其中一边的对角相等（AC=A'C'，BC=B'C'，∠B=∠B'），但常规SSA不能作为全等判定依据，本题中∠B、∠B'均为钝角，可通过作高构造直角三角形，将钝角三角形的全等问题转化为直角三角形全等的证明：首先过点C、C'作对边的高，利用等角的补角相等得到一组锐角相等，结合已知BC=B'C'，用AAS证明两个小直角三角形全等，得到两条高相等；再用HL证明两个大直角三角形全等，得到∠A=∠A'；最后结合已知的∠B=∠B'、AC=A'C'，用AAS即可证明原三角形全等。
【解析】
证明：
过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，过点C'作C'D'⊥A'B'，交A'B'的延长线于点D'。
∴∠D=∠D'=90°。
∵∠ABC=∠A'B'C'，且∠B、∠B'都是钝角，
∴180°-∠ABC=180°-∠A'B'C'，即∠CBD=∠C'B'D'。
在△CBD和△C'B'D'中：
$\{\begin{array}{l}∠D=∠D' \\∠CBD=∠C'B'D' \\BC=B'C'\end{array} $
∴△CBD≌△C'B'D'(AAS)，
∴CD=C'D'。
在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中：
$\{\begin{array}{l}AC=A'C' \\CD=C'D'\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL)，
∴∠A=∠A'。
在△ABC和△A'B'C'中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠A' \\∠ABC=∠A'B'C' \\AC=A'C'\end{array} $
∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)。
【答案】
△ABC≌△A'B'C'，证明过程见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形全等的判定，补角的性质
【点评】
本题突破了"SSA不能判定三角形全等"的常规认知，验证了当两边及其中一边的对角为钝角时，可通过构造辅助线证明三角形全等。解题核心是通过作高将钝角三角形转化为直角三角形，把陌生的证明场景转化为已掌握的全等判定模型，能够锻炼学生的辅助线构造能力和转化思维。
【难度系数】
0.6