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9.某次会议上，每两名参会者都相互握手一次，经统计共握手28次，设有x人参加了这次会议，则可列方程为
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
。答案
9.$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
解析
【分析】
首先明确参会总人数为x，每个人需要和除自己外的其余(x-1)人握手，若直接计算x人握手总次数会出现重复：每两人之间的1次握手会被分别计算在两人的握手次数中，即被重复计数1次，因此需要将初步计算的总次数除以2得到实际握手次数，结合已知总握手次数为28次即可列出方程。
【解析】
已知有x人参加会议：
1. 每人需与除自身外的$(x-1)$人握手，若不考虑重复，累计握手总次数为$x(x-1)$次；
2. 由于每两名参会者的握手被重复计算了2次，因此实际握手次数为初步累计次数的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}x(x-1)$次；
3. 根据题意实际共握手28次，因此列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=28$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 计数问题去重
【点评】
本题是典型的双向计数类应用题，解题核心是注意区分计数过程中是否存在重复，若为“双向”场景（如握手、单循环比赛）需除以2去重，若为“单向”场景（如单向打招呼、寄信）则无需去重，避免列式时出错。
【难度系数】
0.7
首先明确参会总人数为x，每个人需要和除自己外的其余(x-1)人握手，若直接计算x人握手总次数会出现重复：每两人之间的1次握手会被分别计算在两人的握手次数中，即被重复计数1次，因此需要将初步计算的总次数除以2得到实际握手次数，结合已知总握手次数为28次即可列出方程。
【解析】
已知有x人参加会议：
1. 每人需与除自身外的$(x-1)$人握手，若不考虑重复，累计握手总次数为$x(x-1)$次；
2. 由于每两名参会者的握手被重复计算了2次，因此实际握手次数为初步累计次数的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}x(x-1)$次；
3. 根据题意实际共握手28次，因此列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=28$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 计数问题去重
【点评】
本题是典型的双向计数类应用题，解题核心是注意区分计数过程中是否存在重复，若为“双向”场景（如握手、单循环比赛）需除以2去重，若为“单向”场景（如单向打招呼、寄信）则无需去重，避免列式时出错。
【难度系数】
0.7
10.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个，第三个月新建了363个。设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程：。。
答案
10.$300(1+x)^2=363$
解析
【分析】
本题是平均增长率类的列方程问题，解题思路如下：首先明确初始值（第一个月的充电桩数量300个）、月平均增长率x、增长次数（从第一个月到第三个月共增长2次），再根据增长率的通用计算逻辑：经过n次增长后的总量=初始量×(1+增长率)ⁿ，代入对应数值即可列出方程。
【解析】
已知第一个月新建智能充电桩300个，月平均增长率为x：
1. 第二个月新建的充电桩数量为：$ 300(1+x) $ 个；
2. 第三个月是在第二个月的基础上再次增长x，因此第三个月新建的数量为：$ 300(1+x) × (1+x) = 300(1+x)^2 $ 个；
3. 题目给出第三个月新建了363个，因此可列等式：$ 300(1+x)^2 = 363 $。
【答案】
$ 300(1+x)^2=363 $
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是增长率问题的基础常考题，解题关键是找准增长的次数、初始量和最终量，牢记增长率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
本题是平均增长率类的列方程问题，解题思路如下：首先明确初始值（第一个月的充电桩数量300个）、月平均增长率x、增长次数（从第一个月到第三个月共增长2次），再根据增长率的通用计算逻辑：经过n次增长后的总量=初始量×(1+增长率)ⁿ，代入对应数值即可列出方程。
【解析】
已知第一个月新建智能充电桩300个，月平均增长率为x：
1. 第二个月新建的充电桩数量为：$ 300(1+x) $ 个；
2. 第三个月是在第二个月的基础上再次增长x，因此第三个月新建的数量为：$ 300(1+x) × (1+x) = 300(1+x)^2 $ 个；
3. 题目给出第三个月新建了363个，因此可列等式：$ 300(1+x)^2 = 363 $。
【答案】
$ 300(1+x)^2=363 $
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是增长率问题的基础常考题，解题关键是找准增长的次数、初始量和最终量，牢记增长率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
11.如图,老李想用长为 70 m 的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈 ABCD,并在边 BC 上留一个2 m 宽的门(建在 EF 处,另用其他材料)。
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,它的面积为 640 m²?
(2)羊圈的面积能达到 650 m²吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由。
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,它的面积为 640 m²?
(2)羊圈的面积能达到 650 m²吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由。
答案
11.解:(1)设矩形 ABCD 的边 $AB=x$ m,则边
$BC=70-2x+2=(72-2x)\mathrm{m}$。
根据题意得 $x(72-2x)=640$,
化简得 $x^2-36x+320=0$,
解得 $x_1=16,x_2=20$。
当 $x=16$ 时,$72-2x=72-32=40(\mathrm{m})$,
当 $x=20$ 时,$72-2x=72-40=32(\mathrm{m})$。
所以当羊圈的长为 40 m、宽为 16 m 或长为32 m、宽为 20 m 时,它的面积为640 $\mathrm{m}^2$。
(2)不能。
理由如下:由题意得 $x(72-2x)=650$,
化简得 $x^2-36x+325=0$,
$\Delta=(-36)^2-4×325=-4＜0$,
此时一元二次方程没有实数根。
所以羊圈的面积不能达到 650 $\mathrm{m}^2$。
$BC=70-2x+2=(72-2x)\mathrm{m}$。
根据题意得 $x(72-2x)=640$,
化简得 $x^2-36x+320=0$,
解得 $x_1=16,x_2=20$。
当 $x=16$ 时,$72-2x=72-32=40(\mathrm{m})$,
当 $x=20$ 时,$72-2x=72-40=32(\mathrm{m})$。
所以当羊圈的长为 40 m、宽为 16 m 或长为32 m、宽为 20 m 时,它的面积为640 $\mathrm{m}^2$。
(2)不能。
理由如下:由题意得 $x(72-2x)=650$,
化简得 $x^2-36x+325=0$,
$\Delta=(-36)^2-4×325=-4＜0$,
此时一元二次方程没有实数根。
所以羊圈的面积不能达到 650 $\mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
本题是一元二次方程在矩形面积实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 首先明确围羊圈的栅栏使用情况：AD边靠墙不需要栅栏，BC边有2m宽的门不需要用栅栏，因此栅栏总长度等于2倍AB的长度加上（BC长度减去门的宽度），据此设AB的长度为x m，就可以用含x的代数式表示出BC的长度；
2. 解决第一问时，根据矩形面积=长×宽，代入面积为640m²列一元二次方程，求解方程后分别计算对应的BC长度，检验符合实际即可得到答案；
3. 解决第二问时，同样根据面积公式列方程，通过计算一元二次方程根的判别式Δ的正负，判断方程是否有实数根，即可确定面积能否达到650m²。
【解析】
(1) 设矩形ABCD的边$AB=x$ m，
因为栅栏总长70m，BC边有2m宽的门不需要栅栏，且$AB=CD$，因此边$BC=70-2x+2=(72-2x)\mathrm{m}$。
根据题意列方程：
$x(72-2x)=640$
化简得：$x^2-36x+320=0$
解得：$x_1=16,x_2=20$。
当$x=16$时，$72-2x=72-32=40(\mathrm{m})$；
当$x=20$时，$72-2x=72-40=32(\mathrm{m})$，两个结果均符合实际意义。
(2) 不能，理由如下：
假设羊圈面积能达到$650\mathrm{m}^2$，根据题意列方程：
$x(72-2x)=650$
化简得：$x^2-36x+325=0$
计算根的判别式：
$\Delta=(-36)^2-4×1×325=-4＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，不存在符合条件的边长，所以羊圈的面积不能达到$650\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时，它的面积为$640\mathrm{m}^2$；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题属于结合生活实际的方程应用问题，易错点是容易忽略门的宽度，错误表示BC边的长度；同时要掌握利用根的判别式判断方程解的情况，从而解决存在性类问题，本题第二问也可结合二次函数最值的方法求解。
【难度系数】
0.65
本题是一元二次方程在矩形面积实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 首先明确围羊圈的栅栏使用情况：AD边靠墙不需要栅栏，BC边有2m宽的门不需要用栅栏，因此栅栏总长度等于2倍AB的长度加上（BC长度减去门的宽度），据此设AB的长度为x m，就可以用含x的代数式表示出BC的长度；
2. 解决第一问时，根据矩形面积=长×宽，代入面积为640m²列一元二次方程，求解方程后分别计算对应的BC长度，检验符合实际即可得到答案；
3. 解决第二问时，同样根据面积公式列方程，通过计算一元二次方程根的判别式Δ的正负，判断方程是否有实数根，即可确定面积能否达到650m²。
【解析】
(1) 设矩形ABCD的边$AB=x$ m，
因为栅栏总长70m，BC边有2m宽的门不需要栅栏，且$AB=CD$，因此边$BC=70-2x+2=(72-2x)\mathrm{m}$。
根据题意列方程：
$x(72-2x)=640$
化简得：$x^2-36x+320=0$
解得：$x_1=16,x_2=20$。
当$x=16$时，$72-2x=72-32=40(\mathrm{m})$；
当$x=20$时，$72-2x=72-40=32(\mathrm{m})$，两个结果均符合实际意义。
(2) 不能，理由如下：
假设羊圈面积能达到$650\mathrm{m}^2$，根据题意列方程：
$x(72-2x)=650$
化简得：$x^2-36x+325=0$
计算根的判别式：
$\Delta=(-36)^2-4×1×325=-4＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，不存在符合条件的边长，所以羊圈的面积不能达到$650\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时，它的面积为$640\mathrm{m}^2$；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题属于结合生活实际的方程应用问题，易错点是容易忽略门的宽度，错误表示BC边的长度；同时要掌握利用根的判别式判断方程解的情况，从而解决存在性类问题，本题第二问也可结合二次函数最值的方法求解。
【难度系数】
0.65
12.端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是两位调查员的对话：
小王:该水果的进价是每千克22元。
小李:当售价为每千克38元时，每天可售出160 kg；若该水果的售价每降低3元，则每天的销售量将增加120 kg。
根据他们的对话，解决下面所给问题:该水果超市每天要获得销售利润3 640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价格为每千克多少元。
小王:该水果的进价是每千克22元。
小李:当售价为每千克38元时，每天可售出160 kg；若该水果的售价每降低3元，则每天的销售量将增加120 kg。
根据他们的对话，解决下面所给问题:该水果超市每天要获得销售利润3 640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价格为每千克多少元。
答案
12.解:设这种水果每千克降低 $x$ 元,该水果超市每天可获得销售利润 3 640 元。由题意得
$(38-x-22)(160+\frac{x}{3}×120)=3\ 640$,
整理得 $x^2-12x+27=0$,
解得 $x_1=3,x_2=9$。
因为要尽可能让顾客得到实惠，
所以 $x=9$,
这种水果的销售价格为 $38-9=29(\mathrm{元/kg})$。
所以这种水果的销售价格为每千克 29 元。
$(38-x-22)(160+\frac{x}{3}×120)=3\ 640$,
整理得 $x^2-12x+27=0$,
解得 $x_1=3,x_2=9$。
因为要尽可能让顾客得到实惠，
所以 $x=9$,
这种水果的销售价格为 $38-9=29(\mathrm{元/kg})$。
所以这种水果的销售价格为每千克 29 元。
解析
【分析】
本题属于销售利润类应用题，解题核心是抓住“每千克利润×销售总量=总利润”的等量关系列方程。首先设每千克降价x元，先表示出降价后的每千克利润：用原售价减去降价金额再减去进价即可得到；再表示出降价后的销售总量：原销量加上因降价增加的销量，已知每降3元销量增加120kg，那么降x元增加的销量为$\frac{x}{3}×120$kg。将两个表达式相乘等于目标总利润3640元即可列方程求解，最后根据“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择降价更多的解计算最终售价。
【解析】
解：设这种水果每千克降低$x$元，该水果超市每天可获得销售利润3640元。
由题意得：
$(38-x-22)(160+\frac{x}{3}×120)=3640$
整理得 $x^2-12x+27=0$
解得 $x_1=3,x_2=9$
因为要尽可能让顾客得到实惠，即降价幅度更大，所以$x=9$
这种水果的销售价格为 $38-9=29(\mathrm{元/kg})$
【答案】
这种水果的销售价格为每千克29元
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题关键是找准利润相关的等量关系列方程，求解后要结合题目的限定条件对根进行合理取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类应用题，解题核心是抓住“每千克利润×销售总量=总利润”的等量关系列方程。首先设每千克降价x元，先表示出降价后的每千克利润：用原售价减去降价金额再减去进价即可得到；再表示出降价后的销售总量：原销量加上因降价增加的销量，已知每降3元销量增加120kg，那么降x元增加的销量为$\frac{x}{3}×120$kg。将两个表达式相乘等于目标总利润3640元即可列方程求解，最后根据“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择降价更多的解计算最终售价。
【解析】
解：设这种水果每千克降低$x$元，该水果超市每天可获得销售利润3640元。
由题意得：
$(38-x-22)(160+\frac{x}{3}×120)=3640$
整理得 $x^2-12x+27=0$
解得 $x_1=3,x_2=9$
因为要尽可能让顾客得到实惠，即降价幅度更大，所以$x=9$
这种水果的销售价格为 $38-9=29(\mathrm{元/kg})$
【答案】
这种水果的销售价格为每千克29元
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题关键是找准利润相关的等量关系列方程，求解后要结合题目的限定条件对根进行合理取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
