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7. 观察一组数：$\frac{9}{5}$，$\frac{16}{12}$，$\frac{25}{21}$，$\frac{36}{32}$，….第七个数是________.
答案
$\dfrac{81}{77}$
解析
【分析】
解决这类分数数列找规律的题目，通常采用分子、分母拆分观察的思路：第一步先把每一项的分子、分母单独列出来，分别寻找它们和项数n的对应关系；第二步验证找到的规律是否符合前几项；第三步将所求的项数代入规律，计算得到结果。
【解析】
设该组数的第n项（n为正整数），分别观察分子、分母的规律：
1. 分子规律：
第1项分子：$9=3^2=(1+2)^2$
第2项分子：$16=4^2=(2+2)^2$
第3项分子：$25=5^2=(3+2)^2$
第4项分子：$36=6^2=(4+2)^2$
由此可得，第n项的分子为$(n+2)^2$。
2. 分母规律：
第1项分母：$5=9-4=3^2-4$
第2项分母：$12=16-4=4^2-4$
第3项分母：$21=25-4=5^2-4$
第4项分母：$32=36-4=6^2-4$
由此可得，第n项的分母为$(n+2)^2-4$。
3. 计算第七个数，即n=7时：
分子：$(7+2)^2=9^2=81$
分母：$81-4=77$
所以第七个数是$\frac{81}{77}$。
【答案】
$\dfrac{81}{77}$
【知识点】
数列规律探究；有理数乘方运算
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是将分数的分子、分母拆分后，分别寻找与项数的对应关系，熟练掌握这种拆分分析的方法可快速解决同类数列规律题。
【难度系数】
0.7
解决这类分数数列找规律的题目，通常采用分子、分母拆分观察的思路：第一步先把每一项的分子、分母单独列出来，分别寻找它们和项数n的对应关系；第二步验证找到的规律是否符合前几项；第三步将所求的项数代入规律，计算得到结果。
【解析】
设该组数的第n项（n为正整数），分别观察分子、分母的规律：
1. 分子规律：
第1项分子：$9=3^2=(1+2)^2$
第2项分子：$16=4^2=(2+2)^2$
第3项分子：$25=5^2=(3+2)^2$
第4项分子：$36=6^2=(4+2)^2$
由此可得，第n项的分子为$(n+2)^2$。
2. 分母规律：
第1项分母：$5=9-4=3^2-4$
第2项分母：$12=16-4=4^2-4$
第3项分母：$21=25-4=5^2-4$
第4项分母：$32=36-4=6^2-4$
由此可得，第n项的分母为$(n+2)^2-4$。
3. 计算第七个数，即n=7时：
分子：$(7+2)^2=9^2=81$
分母：$81-4=77$
所以第七个数是$\frac{81}{77}$。
【答案】
$\dfrac{81}{77}$
【知识点】
数列规律探究；有理数乘方运算
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是将分数的分子、分母拆分后，分别寻找与项数的对应关系，熟练掌握这种拆分分析的方法可快速解决同类数列规律题。
【难度系数】
0.7
8. 新考法·探究与运用（2025福建厦门集美区期末）观察下列等式，找出规律，解决问题.
第1个等式是$1=1^2 - 0^2$；
第2个等式是$3=2^2 - 1^2$；
第3个等式是$5=3^2 - 2^2$；
第4个等式是$7=4^2 - 3^2$；
……
（1）请写出第5个等式；
（2）请写出第n个等式.
第1个等式是$1=1^2 - 0^2$；
第2个等式是$3=2^2 - 1^2$；
第3个等式是$5=3^2 - 2^2$；
第4个等式是$7=4^2 - 3^2$；
……
（1）请写出第5个等式；
（2）请写出第n个等式.
答案
8. 解:
(1) 由题意知第5个等式是$9=5^2-4^2$.
(2) 第$n$个等式是$2n-1=n^2-(n-1)^2$.
(1) 由题意知第5个等式是$9=5^2-4^2$.
(2) 第$n$个等式是$2n-1=n^2-(n-1)^2$.
解析
【分析】
解题时先分别观察已知等式左右两边的数与等式序号的对应规律：①左边的数是从1开始的连续奇数，第k个等式左边的数等于2k-1；②右边是两个连续正整数的平方差，被减数的底数等于等式序号，减数的底数比序号小1。
（1）求第5个等式时，直接将序号k=5代入对应规律即可；
（2）求第n个等式时，将序号替换为n，再通过计算验证左右两边相等，确认规律成立。
【解析】
解：（1）观察已知的4个等式：
第1个：左边$1=2×1-1$，右边$1^2-0^2$；
第2个：左边$3=2×2-1$，右边$2^2-1^2$；
第3个：左边$5=2×3-1$，右边$3^2-2^2$；
第4个：左边$7=2×4-1$，右边$4^2-3^2$；
因此第5个等式左边为$2×5-1=9$，右边为$5^2-4^2$，即第5个等式为$9=5^2-4^2$。
（2）根据上述规律，第n个等式左边为第n个奇数$2n-1$，右边为$n^2-(n-1)^2$，验证右边：
$n^2-(n-1)^2 = n^2-(n^2-2n+1) = n^2-n^2+2n-1 = 2n-1$，与左边相等，
因此第n个等式为$2n-1 = n^2-(n-1)^2$（n为正整数）。
【答案】
（1）$9=5^2-4^2$；
（2）$2n-1=n^2-(n-1)^2$（n为正整数）
【知识点】
数字规律探究，平方运算，整式化简
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察已知等式找到数值和序号的对应关系，验证环节可以有效避免规律推导错误，侧重考察观察归纳与运算验证能力。
【难度系数】
0.8
解题时先分别观察已知等式左右两边的数与等式序号的对应规律：①左边的数是从1开始的连续奇数，第k个等式左边的数等于2k-1；②右边是两个连续正整数的平方差，被减数的底数等于等式序号，减数的底数比序号小1。
（1）求第5个等式时，直接将序号k=5代入对应规律即可；
（2）求第n个等式时，将序号替换为n，再通过计算验证左右两边相等，确认规律成立。
【解析】
解：（1）观察已知的4个等式：
第1个：左边$1=2×1-1$，右边$1^2-0^2$；
第2个：左边$3=2×2-1$，右边$2^2-1^2$；
第3个：左边$5=2×3-1$，右边$3^2-2^2$；
第4个：左边$7=2×4-1$，右边$4^2-3^2$；
因此第5个等式左边为$2×5-1=9$，右边为$5^2-4^2$，即第5个等式为$9=5^2-4^2$。
（2）根据上述规律，第n个等式左边为第n个奇数$2n-1$，右边为$n^2-(n-1)^2$，验证右边：
$n^2-(n-1)^2 = n^2-(n^2-2n+1) = n^2-n^2+2n-1 = 2n-1$，与左边相等，
因此第n个等式为$2n-1 = n^2-(n-1)^2$（n为正整数）。
【答案】
（1）$9=5^2-4^2$；
（2）$2n-1=n^2-(n-1)^2$（n为正整数）
【知识点】
数字规律探究，平方运算，整式化简
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察已知等式找到数值和序号的对应关系，验证环节可以有效避免规律推导错误，侧重考察观察归纳与运算验证能力。
【难度系数】
0.8
9. (2025 四川泸州泸县期末)若式子$1□(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})×(-12)$的运算结果为正整数，则“”中的运算符号为（
A.+
B.-
C.×
D.÷
B
）A.+
B.-
C.×
D.÷
答案
9. B
解析
【分析】
本题可采用代入验证法求解：先计算出原式中括号内$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$的结果，再计算其与$-12$的乘积，最后将四个选项的运算符号依次代入，按照有理数混合运算顺序计算最终结果，判断结果是否为正整数，即可选出正确答案。
【解析】
先计算固定部分的运算：
括号内：$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$
再算乘法：$\frac{7}{12}×(-12)=-7$
依次代入选项验证：
A. 若运算符号为“$+$”，则原式$=1+(-7)=-6$，是负整数，不符合要求；
B. 若运算符号为“$-$”，则原式$=1-(-7)=1+7=8$，是正整数，符合要求；
C. 若运算符号为“$×$”，则原式$=1×(-7)=-7$，是负整数，不符合要求；
D. 若运算符号为“$÷$”，则原式$=1÷(-7)=-\frac{1}{7}$，是负分数，不符合要求。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数混合运算；正整数的判定
【点评】
本题解题的核心是代入排除法的应用，计算过程中要重点关注有理数运算的符号规则，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.7
本题可采用代入验证法求解：先计算出原式中括号内$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$的结果，再计算其与$-12$的乘积，最后将四个选项的运算符号依次代入，按照有理数混合运算顺序计算最终结果，判断结果是否为正整数，即可选出正确答案。
【解析】
先计算固定部分的运算：
括号内：$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$
再算乘法：$\frac{7}{12}×(-12)=-7$
依次代入选项验证：
A. 若运算符号为“$+$”，则原式$=1+(-7)=-6$，是负整数，不符合要求；
B. 若运算符号为“$-$”，则原式$=1-(-7)=1+7=8$，是正整数，符合要求；
C. 若运算符号为“$×$”，则原式$=1×(-7)=-7$，是负整数，不符合要求；
D. 若运算符号为“$÷$”，则原式$=1÷(-7)=-\frac{1}{7}$，是负分数，不符合要求。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数混合运算；正整数的判定
【点评】
本题解题的核心是代入排除法的应用，计算过程中要重点关注有理数运算的符号规则，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.7
10. 新素养·抽象能力 利用如图所示的图形，可求得$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$的结果是 (
A.$\frac{27}{32}$
B.$\frac{29}{32}$
C.$\frac{31}{32}$
D.$\frac{33}{32}$
C
)A.$\frac{27}{32}$
B.$\frac{29}{32}$
C.$\frac{31}{32}$
D.$\frac{33}{32}$
答案
10. C 解析 若题图中大正方形的边长为1,则大正方形的面积为1,阴影部分的面积为$\dfrac{1}{2^5}$. 根据数形结合的思想,可得$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^5}$的结果与大正方形的面积减阴影部分的面积的结果相等,即$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^5}=1-\dfrac{1}{2^5}=1-\dfrac{1}{32}=\dfrac{31}{32}$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时采用数形结合的思路，先将大正方形的面积看作单位1。观察图形可知，每次分割都是将剩余的区域平均分成2份，其中1份的面积就是对应加数：①的面积为$\frac{1}{2}$，②的面积为$\frac{1}{2^2}$，③的面积为$\frac{1}{2^3}$，④的面积为$\frac{1}{2^4}$，⑤的面积为$\frac{1}{2^5}$。加到$\frac{1}{2^5}$后，剩余未被计入的阴影部分面积为$\frac{1}{2^5}$，因此所求式子的和就等于大正方形总面积减去剩余阴影部分的面积，不用逐一通分计算就能快速得出结果。
【解析】
设大正方形的边长为1，则大正方形的面积为$1×1=1$。
观察图形可得：序号①的面积为$\frac{1}{2}$，序号②的面积为$\frac{1}{2^2}$，序号③的面积为$\frac{1}{2^3}$，序号④的面积为$\frac{1}{2^4}$，序号⑤的面积为$\frac{1}{2^5}$，最后剩余阴影部分的面积为$\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$。
根据图形面积关系可知：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=$大正方形面积$-$阴影部分面积，
代入计算得：原式$=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$，故选C。
【答案】C
【知识点】有理数混合运算，数形结合思想，分数简便计算
【点评】本题借助几何图形将抽象的分数求和问题转化为直观的面积计算，降低了计算难度，重点考查对图形规律的观察能力和数形结合思想的运用，解题的核心是找到所求式子的和与整体、剩余部分面积的关系。
【难度系数】0.7
解题时采用数形结合的思路，先将大正方形的面积看作单位1。观察图形可知，每次分割都是将剩余的区域平均分成2份，其中1份的面积就是对应加数：①的面积为$\frac{1}{2}$，②的面积为$\frac{1}{2^2}$，③的面积为$\frac{1}{2^3}$，④的面积为$\frac{1}{2^4}$，⑤的面积为$\frac{1}{2^5}$。加到$\frac{1}{2^5}$后，剩余未被计入的阴影部分面积为$\frac{1}{2^5}$，因此所求式子的和就等于大正方形总面积减去剩余阴影部分的面积，不用逐一通分计算就能快速得出结果。
【解析】
设大正方形的边长为1，则大正方形的面积为$1×1=1$。
观察图形可得：序号①的面积为$\frac{1}{2}$，序号②的面积为$\frac{1}{2^2}$，序号③的面积为$\frac{1}{2^3}$，序号④的面积为$\frac{1}{2^4}$，序号⑤的面积为$\frac{1}{2^5}$，最后剩余阴影部分的面积为$\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$。
根据图形面积关系可知：$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=$大正方形面积$-$阴影部分面积，
代入计算得：原式$=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$，故选C。
【答案】C
【知识点】有理数混合运算，数形结合思想，分数简便计算
【点评】本题借助几何图形将抽象的分数求和问题转化为直观的面积计算，降低了计算难度，重点考查对图形规律的观察能力和数形结合思想的运用，解题的核心是找到所求式子的和与整体、剩余部分面积的关系。
【难度系数】0.7
11.(2026甘肃定西安定区期末)观察下面一组数:-1,2,-3,4,-5,6,-7,…,将这组数按如图所示的形式排列,则第十行从左边数第4个数是
第一行 -1
第二行 2 -3 4
第三行 -5 6 -7 8 -9
第四行 10 -11 12 -13 14 -15 16
……
-85
.第一行 -1
第二行 2 -3 4
第三行 -5 6 -7 8 -9
第四行 10 -11 12 -13 14 -15 16
……
答案
11. -85 启发与线索 第$n$行最右边的数可表示为$(-1)^n · n^2$.
解析
【分析】
解决这道题我们可以分三步思考：首先观察排列形式，先找每行数字的个数规律，再找每行末尾数字的绝对值和行数的关系，最后结合数列本身的符号规律就能求出目标数。首先我们发现每行数字的个数是连续奇数，第n行有(2n-1)个数字；其次每行最右边数字的绝对值刚好是行数的平方，即第n行末尾数绝对值为n²；最后数列本身的符号规律是奇数为负、偶数为正。要求第十行左数第4个数，我们先算出第九行末尾的数，再往后数4个，判断符号即可。
【解析】
1. 找每行数字个数规律：观察得第一行有1个数字，第二行有3个数字，第三行有5个数字，可知第n行共有(2n-1)个数字。
2. 找每行末尾数绝对值规律：第一行末尾数绝对值是1=1²，第二行末尾数绝对值是4=2²，第三行末尾数绝对值是9=3²，第四行末尾数绝对值是16=4²，可得第n行最右侧数字的绝对值为n²。
3. 计算第九行末尾数的绝对值：当n=9时，末尾数绝对值为9²=81，即第九行最后一个数是-81（奇数符号为负）。
4. 求第十行左数第4个数的绝对值：第十行从82开始排列，左数第4个数的绝对值为81+4=85。
5. 判断符号：85是奇数，符号为负，因此该数为-85。
【答案】
-85
【知识点】
数列规律探究，有理数符号判断，乘方的应用
【点评】
本题是典型的数字排列规律探究题，解题核心是通过观察归纳出每行末尾数字的绝对值与行数的关系，再结合原数列的符号规律即可快速求解，主要考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
解决这道题我们可以分三步思考：首先观察排列形式，先找每行数字的个数规律，再找每行末尾数字的绝对值和行数的关系，最后结合数列本身的符号规律就能求出目标数。首先我们发现每行数字的个数是连续奇数，第n行有(2n-1)个数字；其次每行最右边数字的绝对值刚好是行数的平方，即第n行末尾数绝对值为n²；最后数列本身的符号规律是奇数为负、偶数为正。要求第十行左数第4个数，我们先算出第九行末尾的数，再往后数4个，判断符号即可。
【解析】
1. 找每行数字个数规律：观察得第一行有1个数字，第二行有3个数字，第三行有5个数字，可知第n行共有(2n-1)个数字。
2. 找每行末尾数绝对值规律：第一行末尾数绝对值是1=1²，第二行末尾数绝对值是4=2²，第三行末尾数绝对值是9=3²，第四行末尾数绝对值是16=4²，可得第n行最右侧数字的绝对值为n²。
3. 计算第九行末尾数的绝对值：当n=9时，末尾数绝对值为9²=81，即第九行最后一个数是-81（奇数符号为负）。
4. 求第十行左数第4个数的绝对值：第十行从82开始排列，左数第4个数的绝对值为81+4=85。
5. 判断符号：85是奇数，符号为负，因此该数为-85。
【答案】
-85
【知识点】
数列规律探究，有理数符号判断，乘方的应用
【点评】
本题是典型的数字排列规律探究题，解题核心是通过观察归纳出每行末尾数字的绝对值与行数的关系，再结合原数列的符号规律即可快速求解，主要考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
12. 新素养·运算能力 探寻规律,学以致用.
(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连起来.
(2)通过观察,可得$1-\frac{1}{n^2}=$
(3)利用上述规律计算$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{2024^2})×(1-\frac{1}{2025^2})$.
(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连起来.
(2)通过观察,可得$1-\frac{1}{n^2}=$
$(1-\dfrac{1}{n})(1+\dfrac{1}{n})$
.(3)利用上述规律计算$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×···×(1-\frac{1}{2024^2})×(1-\frac{1}{2025^2})$.
答案
12. 解:
(1)
(2) $(1-\dfrac{1}{n})(1+\dfrac{1}{n})$
(3) $\begin{aligned}&(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})×(1-\dfrac{1}{4^2})×\dots×(1-\dfrac{1}{2024^2})×(1-\dfrac{1}{2025^2})\\=&(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})×(1+\dfrac{1}{4})×\dots×(1-\dfrac{1}{2024})×(1+\dfrac{1}{2024})×(1-\dfrac{1}{2025})×(1+\dfrac{1}{2025})\\=&\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{2023}{2024}×\dfrac{2025}{2024}×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2026}{2025}\\=&\dfrac{1}{2}×\dfrac{2026}{2025}\\=&\dfrac{1013}{2025}.\end{aligned}$
解析
【分析】
(1) 先分别计算左右两侧每个式子的运算结果，再将结果相等的式子相连。左侧均为$1-\frac{1}{k^2}$的结构，通分计算即可得到结果；右侧为两个括号相乘的形式，先算括号内的值再做乘法得到结果，比对结果相等即可完成连线。
(2) 观察第(1)问中相等的两组式子的结构，结合计算验证，可归纳得到$1-\frac{1}{n^2}$的通用拆分形式。
(3) 利用第(2)问得到的规律，将原式中每一个$1-\frac{1}{k^2}$拆分为两个分数相乘的形式，拆分后可发现中间项能交叉约分，最后仅剩余首项和末项，相乘即可得到最终结果。
【解析】
(1) 计算各算式结果：
左侧：
$1-\frac{1}{2^2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$；
$1-\frac{1}{3^2}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$；
$1-\frac{1}{4^2}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$；
$1-\frac{1}{5^2}=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}$。
右侧：
$(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}=\frac{15}{16}$；
$(1-\frac{1}{5})×(1+\frac{1}{5})=\frac{4}{5}×\frac{6}{5}=\frac{24}{25}$；
$(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$；
$(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=\frac{8}{9}$。
将结果相等的式子连线即可。
(2) 由计算规律可得：$1-\frac{1}{n^2}=\frac{n^2-1}{n^2}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$。
(3) 计算过程如下：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×\dots×(1-\frac{1}{2024^2})×(1-\frac{1}{2025^2})\\=&(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{2024})×(1+\frac{1}{2024})×(1-\frac{1}{2025})×(1+\frac{1}{2025})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{2023}{2024}×\frac{2025}{2024}×\frac{2024}{2025}×\frac{2026}{2025}\\=&\frac{1}{2}×\frac{2026}{2025}\\=&\frac{1013}{2025}\end{aligned}$
【答案】
(1)
(2) $(1-\dfrac{1}{n})(1+\dfrac{1}{n})$
(3) $\dfrac{1013}{2025}$
【知识点】
有理数混合运算；规律探究；分数约分
【点评】
本题从基础运算出发，引导学生自主归纳运算规律，再利用规律简化复杂运算，既考查了基础运算能力，也锻炼了归纳推理能力和运算技巧的应用能力，约分消项是本题简化计算的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 先分别计算左右两侧每个式子的运算结果，再将结果相等的式子相连。左侧均为$1-\frac{1}{k^2}$的结构，通分计算即可得到结果；右侧为两个括号相乘的形式，先算括号内的值再做乘法得到结果，比对结果相等即可完成连线。
(2) 观察第(1)问中相等的两组式子的结构，结合计算验证，可归纳得到$1-\frac{1}{n^2}$的通用拆分形式。
(3) 利用第(2)问得到的规律，将原式中每一个$1-\frac{1}{k^2}$拆分为两个分数相乘的形式，拆分后可发现中间项能交叉约分，最后仅剩余首项和末项，相乘即可得到最终结果。
【解析】
(1) 计算各算式结果：
左侧：
$1-\frac{1}{2^2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$；
$1-\frac{1}{3^2}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$；
$1-\frac{1}{4^2}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$；
$1-\frac{1}{5^2}=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}$。
右侧：
$(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}=\frac{15}{16}$；
$(1-\frac{1}{5})×(1+\frac{1}{5})=\frac{4}{5}×\frac{6}{5}=\frac{24}{25}$；
$(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$；
$(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=\frac{8}{9}$。
将结果相等的式子连线即可。
(2) 由计算规律可得：$1-\frac{1}{n^2}=\frac{n^2-1}{n^2}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$。
(3) 计算过程如下：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×\dots×(1-\frac{1}{2024^2})×(1-\frac{1}{2025^2})\\=&(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{2024})×(1+\frac{1}{2024})×(1-\frac{1}{2025})×(1+\frac{1}{2025})\\=&\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{2023}{2024}×\frac{2025}{2024}×\frac{2024}{2025}×\frac{2026}{2025}\\=&\frac{1}{2}×\frac{2026}{2025}\\=&\frac{1013}{2025}\end{aligned}$
【答案】
(1)
(2) $(1-\dfrac{1}{n})(1+\dfrac{1}{n})$
(3) $\dfrac{1013}{2025}$
【知识点】
有理数混合运算；规律探究；分数约分
【点评】
本题从基础运算出发，引导学生自主归纳运算规律，再利用规律简化复杂运算，既考查了基础运算能力，也锻炼了归纳推理能力和运算技巧的应用能力，约分消项是本题简化计算的核心。
【难度系数】
0.7
