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1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（
A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$x^2 + y = 1$
C.$x^2 + \frac{1}{x^2} = 0$
D.$x^2 + x = 4$
D
）A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$x^2 + y = 1$
C.$x^2 + \frac{1}{x^2} = 0$
D.$x^2 + x = 4$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们按照这三个条件逐一排查每个选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
选项A：$ax^2+bx+c=0$未限定$a≠0$，若$a=0$时方程最高次数不是2，不属于一元二次方程，故A错误；
选项B：$x^2+y=1$含有$x、y$两个未知数，属于二元方程，不符合“一元”的要求，故B错误；
选项C：$x^2+\frac{1}{x^2}=0$的分母含有未知数，是分式方程，不属于整式方程，故C错误；
选项D：$x^2+x=4$整理为$x^2+x-4=0$，只含未知数$x$，最高次数为2，是整式方程，满足一元二次方程的所有条件，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的判定；整式方程；分式方程的识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点是容易忽略A选项中二次项系数不为0的隐含要求，以及误将分式方程当成整式方程，只要牢记判定条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的三个核心判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们按照这三个条件逐一排查每个选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
选项A：$ax^2+bx+c=0$未限定$a≠0$，若$a=0$时方程最高次数不是2，不属于一元二次方程，故A错误；
选项B：$x^2+y=1$含有$x、y$两个未知数，属于二元方程，不符合“一元”的要求，故B错误；
选项C：$x^2+\frac{1}{x^2}=0$的分母含有未知数，是分式方程，不属于整式方程，故C错误；
选项D：$x^2+x=4$整理为$x^2+x-4=0$，只含未知数$x$，最高次数为2，是整式方程，满足一元二次方程的所有条件，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的判定；整式方程；分式方程的识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点是容易忽略A选项中二次项系数不为0的隐含要求，以及误将分式方程当成整式方程，只要牢记判定条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 若方程$(m-1)x^{|m|+1}-2x=3$是关于x的一元二次方程，则有（
A.$m=1$
B.$m=-1$
C.$m=\pm1$
D.$m≠\pm1$
B
）A.$m=1$
B.$m=-1$
C.$m=\pm1$
D.$m≠\pm1$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的判定条件：一是只含一个未知数，二是未知数的最高次数为2，三是整式方程且二次项系数不为0。本题已经明确是关于x的方程，因此只需围绕“最高次数为2”和“二次项系数不为0”两个核心条件求解即可，先根据最高次数列等式求出m的可能值，再用系数不为0的条件排除不符合的取值，就能得到正确结果。
【解析】
解：
∵方程$(m-1)x^{|m|+1}-2x=3$是关于x的一元二次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即$|m|+1=2$
化简得$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$
结合两个条件可得$m=-1$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；绝对值的运算
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易遗漏“二次项系数不能为0”的限制条件，误选C选项，解题时要注意对求出的参数值进行双重条件验证，避免错解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的判定条件：一是只含一个未知数，二是未知数的最高次数为2，三是整式方程且二次项系数不为0。本题已经明确是关于x的方程，因此只需围绕“最高次数为2”和“二次项系数不为0”两个核心条件求解即可，先根据最高次数列等式求出m的可能值，再用系数不为0的条件排除不符合的取值，就能得到正确结果。
【解析】
解：
∵方程$(m-1)x^{|m|+1}-2x=3$是关于x的一元二次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即$|m|+1=2$
化简得$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$
结合两个条件可得$m=-1$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；绝对值的运算
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易遗漏“二次项系数不能为0”的限制条件，误选C选项，解题时要注意对求出的参数值进行双重条件验证，避免错解。
【难度系数】
0.7
3. 若把方程$(x+1)(x-2)=5(x-3)$化成一元二次方程的一般形式，则其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（
A.1，6，13
B.1，4，-13
C.1，-6，13
D.1，4，-17
C
）A.1，6，13
B.1，4，-13
C.1，-6，13
D.1，4，-17
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路分为三步：第一步先将方程左右两边的整式展开，第二步通过移项把所有项都移到等号左边，第三步合并同类项得到一般形式，最后对应找出三个系数即可。
【解析】
首先展开方程左右两边的整式：
左边：$(x+1)(x-2)=x^2 -2x +x -2 = x^2 -x -2$
右边：$5(x-3)=5x -15$
原方程可化为：$x^2 -x -2 = 5x -15$
移项（移项要变号），将等号右侧的项全部移到左侧：
$x^2 -x -2 -5x +15 = 0$
合并同类项：
$x^2 -6x +13 = 0$
根据一元二次方程一般形式，可得二次项系数为1，一次项系数为-6，常数项为13。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 多项式乘多项式运算
3. 整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程一般形式的转化，解题时需要注意展开多项式时不要漏乘，移项时要记得变号，熟练掌握整式运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路分为三步：第一步先将方程左右两边的整式展开，第二步通过移项把所有项都移到等号左边，第三步合并同类项得到一般形式，最后对应找出三个系数即可。
【解析】
首先展开方程左右两边的整式：
左边：$(x+1)(x-2)=x^2 -2x +x -2 = x^2 -x -2$
右边：$5(x-3)=5x -15$
原方程可化为：$x^2 -x -2 = 5x -15$
移项（移项要变号），将等号右侧的项全部移到左侧：
$x^2 -x -2 -5x +15 = 0$
合并同类项：
$x^2 -6x +13 = 0$
根据一元二次方程一般形式，可得二次项系数为1，一次项系数为-6，常数项为13。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 多项式乘多项式运算
3. 整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程一般形式的转化，解题时需要注意展开多项式时不要漏乘，移项时要记得变号，熟练掌握整式运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 若关于x的一元二次方程$(3a-6)x^2 + (|a|-2)x + a-1=0$没有一次项，则a的值为
-2
。答案
4. -2
解析
【分析】
解题时要抓住两个核心限制条件：首先，题目明确这是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就不是二次方程；其次，方程没有一次项，说明一次项的系数等于0。我们先根据一次项系数为0求出a的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的取值，就能得到正确结果。
【解析】
解：
∵关于x的方程是一元二次方程，且没有一次项
∴需同时满足以下两个条件：
1. 一次项系数为0：$\vert a\vert - 2 = 0$
2. 二次项系数不为0：$3a - 6 ≠ 0$
先求解$\vert a\vert - 2 = 0$，可得$\vert a\vert=2$，即$a=2$或$a=-2$
再求解$3a - 6 ≠ 0$，移项化简得$a ≠ 2$
综上，排除不符合条件的$a=2$，可得$a=-2$
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的定义；绝对值的运算
【点评】
本题易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得出$a=\pm2$的错误结论，解题时要注意挖掘题目中的隐藏限制条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.6
解题时要抓住两个核心限制条件：首先，题目明确这是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程就不是二次方程；其次，方程没有一次项，说明一次项的系数等于0。我们先根据一次项系数为0求出a的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的取值，就能得到正确结果。
【解析】
解：
∵关于x的方程是一元二次方程，且没有一次项
∴需同时满足以下两个条件：
1. 一次项系数为0：$\vert a\vert - 2 = 0$
2. 二次项系数不为0：$3a - 6 ≠ 0$
先求解$\vert a\vert - 2 = 0$，可得$\vert a\vert=2$，即$a=2$或$a=-2$
再求解$3a - 6 ≠ 0$，移项化简得$a ≠ 2$
综上，排除不符合条件的$a=2$，可得$a=-2$
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的定义；绝对值的运算
【点评】
本题易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得出$a=\pm2$的错误结论，解题时要注意挖掘题目中的隐藏限制条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.6
5. 九（1）班文学小组在图书共享仪式上互赠图书，每名同学都向本组其他每位成员赠送一本自己的图书. 全组共互赠了132本图书，求全组共有多少名同学. 根据此问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
答案
5. 解 设全组共有x名同学.
由题意得x(x-1)=132. 化成一般形式为
$x^2 - x - 132 = 0$.
由题意得x(x-1)=132. 化成一般形式为
$x^2 - x - 132 = 0$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确互赠问题的数量关系：第一步设全组共有x名同学，由于每名同学不需要给自己赠送图书，因此每名同学要向其余$(x-1)$名同学各赠送1本图书，即每人送出$(x-1)$本；第二步用总人数乘每人送出的图书数量，即可得到全组互赠图书的总数量，结合题目给出的总赠书132本的条件列出方程，最后按照一元二次方程一般形式的要求（等号左侧按未知数降幂排列，右侧为0）整理方程即可。
【解析】
设全组共有$x$名同学。
每名同学向其他成员赠送$(x-1)$本图书，全组共$x$名同学，因此总互赠图书数量为$x(x-1)$本。
根据题意列方程：
$x(x-1)=132$
将方程化为一元二次方程的一般形式：
展开左侧得$x^2 - x = 132$，移项后得：
$x^2 - x - 132 = 0$
【答案】
列方程为$x(x-1)=132$，化成一般形式为$x^2 - x - 132 = 0$
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，核心是理清互赠问题的数量逻辑，避免出现重复计算的错误，掌握将实际场景中的等量关系转化为数学方程的方法即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确互赠问题的数量关系：第一步设全组共有x名同学，由于每名同学不需要给自己赠送图书，因此每名同学要向其余$(x-1)$名同学各赠送1本图书，即每人送出$(x-1)$本；第二步用总人数乘每人送出的图书数量，即可得到全组互赠图书的总数量，结合题目给出的总赠书132本的条件列出方程，最后按照一元二次方程一般形式的要求（等号左侧按未知数降幂排列，右侧为0）整理方程即可。
【解析】
设全组共有$x$名同学。
每名同学向其他成员赠送$(x-1)$本图书，全组共$x$名同学，因此总互赠图书数量为$x(x-1)$本。
根据题意列方程：
$x(x-1)=132$
将方程化为一元二次方程的一般形式：
展开左侧得$x^2 - x = 132$，移项后得：
$x^2 - x - 132 = 0$
【答案】
列方程为$x(x-1)=132$，化成一般形式为$x^2 - x - 132 = 0$
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，核心是理清互赠问题的数量逻辑，避免出现重复计算的错误，掌握将实际场景中的等量关系转化为数学方程的方法即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
6. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2x + m -1=0 $ 有一个根为1，则 $ m $ 的值是（
A.$-1$
B.$1$
C.$0$
D.$-2$
D
）A.$-1$
B.$1$
C.$0$
D.$-2$
答案
6. D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=1是方程的根，因此只需将x=1代入原方程，即可得到一个只含有未知数m的一元一次方程，求解该方程就能得到m的值。
【解析】
∵ x=1是一元二次方程$x^2 + 2x + m -1=0$的根
∴ 将x=1代入方程，等式成立，即：
$1^2 + 2×1 + m -1 = 0$
计算得：$1 + 2 + m -1 = 0$
化简得：$2 + m = 0$
解得：$m = -2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的定义的应用，解题思路直接，代入根求解参数是此类题的常规解法。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=1是方程的根，因此只需将x=1代入原方程，即可得到一个只含有未知数m的一元一次方程，求解该方程就能得到m的值。
【解析】
∵ x=1是一元二次方程$x^2 + 2x + m -1=0$的根
∴ 将x=1代入方程，等式成立，即：
$1^2 + 2×1 + m -1 = 0$
计算得：$1 + 2 + m -1 = 0$
化简得：$2 + m = 0$
解得：$m = -2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的定义的应用，解题思路直接，代入根求解参数是此类题的常规解法。
【难度系数】
0.9
7. 若$a$是方程$x^2 + 2x - 2 = 0$的一个根，则代数式$2a^2 + 4a + 19$的值为（
A.21
B.$-22$
C.23
D.$-23$
C
）A.21
B.$-22$
C.23
D.$-23$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义思考：方程的根代入方程可使等式成立，因此将a代入给定方程可得到关于a的等式，求出$a^2+2a$的值。再观察所求代数式的结构，发现$2a^2+4a$是$a^2+2a$的2倍，因此可以采用整体代入的方法计算，不需要求出a的具体数值，简化计算过程。
【解析】
∵a是方程$x^2 + 2x - 2 = 0$的一个根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 + 2a - 2 = 0$，
整理可得：$a^2 + 2a = 2$。
对代数式$2a^2 + 4a + 19$变形，提取公因数2得：
$2a^2 + 4a + 19 = 2(a^2 + 2a) + 19$，
将$a^2 + 2a = 2$代入上式：
原式$= 2×2 + 19 = 4 + 19 = 23$。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.整体代入求值
【点评】
本题考查方程根的性质与代数式求值的结合，巧用整体代入思想可避免求解方程的复杂运算，是代数式求值类问题的常用技巧，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义思考：方程的根代入方程可使等式成立，因此将a代入给定方程可得到关于a的等式，求出$a^2+2a$的值。再观察所求代数式的结构，发现$2a^2+4a$是$a^2+2a$的2倍，因此可以采用整体代入的方法计算，不需要求出a的具体数值，简化计算过程。
【解析】
∵a是方程$x^2 + 2x - 2 = 0$的一个根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 + 2a - 2 = 0$，
整理可得：$a^2 + 2a = 2$。
对代数式$2a^2 + 4a + 19$变形，提取公因数2得：
$2a^2 + 4a + 19 = 2(a^2 + 2a) + 19$，
将$a^2 + 2a = 2$代入上式：
原式$= 2×2 + 19 = 4 + 19 = 23$。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.整体代入求值
【点评】
本题考查方程根的性质与代数式求值的结合，巧用整体代入思想可避免求解方程的复杂运算，是代数式求值类问题的常用技巧，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
8. 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）.
（1）如果方程有一个根是1，那么$a$，$b$，$c$之间有什么关系？
（2）如果方程有一个根是－1，那么$a$，$b$，$c$之间有什么关系？
（3）如果方程有一个根是0，那么方程有什么特征？
（1）如果方程有一个根是1，那么$a$，$b$，$c$之间有什么关系？
（2）如果方程有一个根是－1，那么$a$，$b$，$c$之间有什么关系？
（3）如果方程有一个根是0，那么方程有什么特征？
答案
8. 解 （1）将$x=1$代入原方程，得$a + b + c = 0$.
（2）将$x=-1$代入原方程，得$a - b + c = 0$.
（3）将$x=0$代入原方程，可得$c=0$.
（2）将$x=-1$代入原方程，得$a - b + c = 0$.
（3）将$x=0$代入原方程，可得$c=0$.
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将题目给出的根分别代入原方程，化简后就能得到a、b、c满足的关系或方程的特征。
【解析】
（1）将$x=1$代入原方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），左边为$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，右边为0，因此可得$a + b + c = 0$；
（2）将$x=-1$代入原方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），左边为$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c$，右边为0，因此可得$a - b + c = 0$；
（3）将$x=0$代入原方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），左边为$a×0^2 + b×0 + c = c$，右边为0，因此可得$c=0$。
【答案】
（1）$a + b + c = 0$；（2）$a - b + c = 0$；（3）$c=0$
【知识点】
一元二次方程根的定义，代入求值
【点评】
本题是基础题型，核心考察一元二次方程根的定义的应用，熟练掌握根的定义就能快速解决这类已知方程根求参数关系的问题，是后续学习一元二次方程相关复杂问题的基础。
【难度系数】
0.9
本题可根据一元二次方程根的定义求解：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将题目给出的根分别代入原方程，化简后就能得到a、b、c满足的关系或方程的特征。
【解析】
（1）将$x=1$代入原方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），左边为$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，右边为0，因此可得$a + b + c = 0$；
（2）将$x=-1$代入原方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），左边为$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c$，右边为0，因此可得$a - b + c = 0$；
（3）将$x=0$代入原方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），左边为$a×0^2 + b×0 + c = c$，右边为0，因此可得$c=0$。
【答案】
（1）$a + b + c = 0$；（2）$a - b + c = 0$；（3）$c=0$
【知识点】
一元二次方程根的定义，代入求值
【点评】
本题是基础题型，核心考察一元二次方程根的定义的应用，熟练掌握根的定义就能快速解决这类已知方程根求参数关系的问题，是后续学习一元二次方程相关复杂问题的基础。
【难度系数】
0.9
