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1. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 $y=kx+k$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象可能是 （
A
）答案
分两种情况进行讨论:① 当k＞0时,一次函数y=kx+k的图象经过第一、二、三象限;反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象在第一、三象限.② 当k＜0时,一次函数y=kx+k的图象经过第二、三、四象限;反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象在第二、四象限.
∴ 一次函数y=kx+k与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象可能是A.
∴ 一次函数y=kx+k与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象可能是A.
解析
【分析】
这是同坐标系下判断一次函数与反比例函数共存图像的典型题型，核心要点是两个函数的参数k是完全统一的，我们可以通过对k的正负分类讨论，分别推导两种取值下两类函数的图像特征，再和选项逐一比对，排除参数特征矛盾的选项，就能得到正确结果。首先假设k＞0：一次函数y=kx+k的斜率为正、y轴截距也为正，对应直线过一、二、三象限，此时反比例函数y=k/x的两支分布在一、三象限。再假设k＜0：一次函数斜率为负、y轴截距也为负，对应直线过二、三、四象限，此时反比例函数的两支分布在二、四象限，将两种特征和选项对照即可选出答案。
【解析】
我们对公共参数k的正负分两类讨论：
1. 当k＞0时：
一次函数y=kx+k中，斜率k＞0说明直线从左下向右上倾斜，y轴截距k＞0说明直线与y轴交于正半轴，因此该直线经过第一、二、三象限；
反比例函数y=k/x中，k＞0说明双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限，该特征和选项A完全吻合。
2. 当k＜0时：
一次函数y=kx+k中，斜率k＜0说明直线从左上向右下倾斜，y轴截距k＜0说明直线与y轴交于负半轴，因此该直线经过第二、三、四象限；
反比例函数y=k/x中，k＜0说明双曲线的两个分支分别位于第二、第四象限。
验证剩余选项：B选项反比例分支在一、三象限对应k＞0，和一次函数推导的k＜0矛盾；C选项一次函数和x轴交于正半轴，和k＜0时一次函数恒过点(-1,0)的特征矛盾；D选项一次函数y轴截距为负对应k＜0，和斜率为正推导的k＞0矛盾，均不符合要求。
综上，只有A选项的图像是可能的。
【答案】A
【知识点】一次函数图象，反比例函数图象，分类讨论思想
【点评】本题属于函数图像性质应用的基础题，解题核心是保证两个函数的公共参数k取值前后一致，通过分类讨论逐一排除矛盾选项，能有效考察学生对两类函数图像特征的掌握熟练度。
【难度系数】0.7
这是同坐标系下判断一次函数与反比例函数共存图像的典型题型，核心要点是两个函数的参数k是完全统一的，我们可以通过对k的正负分类讨论，分别推导两种取值下两类函数的图像特征，再和选项逐一比对，排除参数特征矛盾的选项，就能得到正确结果。首先假设k＞0：一次函数y=kx+k的斜率为正、y轴截距也为正，对应直线过一、二、三象限，此时反比例函数y=k/x的两支分布在一、三象限。再假设k＜0：一次函数斜率为负、y轴截距也为负，对应直线过二、三、四象限，此时反比例函数的两支分布在二、四象限，将两种特征和选项对照即可选出答案。
【解析】
我们对公共参数k的正负分两类讨论：
1. 当k＞0时：
一次函数y=kx+k中，斜率k＞0说明直线从左下向右上倾斜，y轴截距k＞0说明直线与y轴交于正半轴，因此该直线经过第一、二、三象限；
反比例函数y=k/x中，k＞0说明双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限，该特征和选项A完全吻合。
2. 当k＜0时：
一次函数y=kx+k中，斜率k＜0说明直线从左上向右下倾斜，y轴截距k＜0说明直线与y轴交于负半轴，因此该直线经过第二、三、四象限；
反比例函数y=k/x中，k＜0说明双曲线的两个分支分别位于第二、第四象限。
验证剩余选项：B选项反比例分支在一、三象限对应k＞0，和一次函数推导的k＜0矛盾；C选项一次函数和x轴交于正半轴，和k＜0时一次函数恒过点(-1,0)的特征矛盾；D选项一次函数y轴截距为负对应k＜0，和斜率为正推导的k＞0矛盾，均不符合要求。
综上，只有A选项的图像是可能的。
【答案】A
【知识点】一次函数图象，反比例函数图象，分类讨论思想
【点评】本题属于函数图像性质应用的基础题，解题核心是保证两个函数的公共参数k取值前后一致，通过分类讨论逐一排除矛盾选项，能有效考察学生对两类函数图像特征的掌握熟练度。
【难度系数】0.7
2. 易错题 已知在同一平面直角坐标系中,正比例函数 $y=k_1x$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k_2}{x}$ 的图象没有交点. 关于 $k_1$ 与 $k_2$ 的关系,给出下列结论: ① $k_1+k_2≤0$; ② $|k_1+k_2|＜|k_1|$ 或 $|k_1+k_2|＜|k_2|$;③ $|k_1+k_2|＜|k_1-k_2|$; ④ $k_1k_2＜0$. 其中,正确的有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
）A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
∵ 在同一平面直角坐标系中,正比例函数$y=k_1x$与反比例函数$y=\dfrac{k_2}{x}$的图象没有交点,
∴ 若$k_1＞0$,则正比例函数的图象经过第一、三象限,从而反比例函数的图象经过第二、四象限,$k_2＜0$;若$k_1＜0$,则正比例函数的图象经过第二、四象限,从而反比例函数的图象经过第一、三象限,$k_2＞0$.综上所述,$k_1$和$k_2$异号.
∵ $k_1$和$k_2$的绝对值的大小未知,
∴ $k_1+k_2≤0$不一定成立.故①错误.$|k_1+k_2|=||k_1|-|k_2||＜|k_1|$或$|k_1+k_2|=||k_1|-|k_2||＜|k_2|$,故②正确.$|k_1+k_2|=||k_1|-|k_2||＜|k_1|+|k_2||=|k_1-k_2|$,故③正确.
∵ $k_1$和$k_2$异号,
∴ $k_1k_2＜0$.故④正确.综上所述,正确的有②③④,共3个.
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据两个函数图像无交点的条件，推导$k_1$和$k_2$的符号关系：正比例函数的图像过原点，$k_1$的正负决定它经过的象限，反比例函数$k_2$的正负决定它所在的象限，若二者没有交点，说明它们的图像分布在完全不同的两组象限，因此$k_1$和$k_2$必然异号，这是本题的核心条件。第二步，逐个验证给出的4个结论：对于结论①可以通过举反例快速判断正误，对于②③可以结合异号两数的绝对值运算性质推导，结论④直接由$k_1k_2$异号即可得出，最后统计正确结论的数量选出答案。
【解析】
解：已知正比例函数$y=k_1x$与反比例函数$y=\dfrac{k_2}{x}$在同一平面直角坐标系中无交点：
1. 若$k_1＞0$，正比例函数图像经过第一、三象限，要和反比例函数无交点，则反比例函数图像只能分布在第二、四象限，即$k_2＜0$；
2. 若$k_1＜0$，正比例函数图像经过第二、四象限，要和反比例函数无交点，则反比例函数图像只能分布在第一、三象限，即$k_2＞0$。
综上可得$k_1$和$k_2$异号，据此逐个判断结论：
结论①：$k_1+k_2≤0$，由于$k_1$、$k_2$绝对值大小未知，举反例：取$k_1=3$，$k_2=-1$，满足两函数无交点，但$k_1+k_2=2＞0$，因此该结论不成立，①错误。
结论②：因为$k_1$、$k_2$异号，所以$|k_1+k_2|=||k_1|-|k_2||$，对两个正数$|k_1|$、$|k_2|$，两数差的绝对值必然小于其中至少一个数，即$||k_1|-|k_2||＜|k_1|$或$||k_1|-|k_2||＜|k_2|$，因此$|k_1+k_2|＜|k_1|$或$|k_1+k_2|＜|k_2|$，②正确。
结论③：因为$k_1$、$k_2$异号，所以$|k_1-k_2|=|k_1|+|k_2|$，显然$||k_1|-|k_2||＜|k_1|+|k_2|$，即$|k_1+k_2|＜|k_1-k_2|$，③正确。
结论④：$k_1$和$k_2$异号，因此二者乘积$k_1k_2＜0$，④正确。
综上，正确的结论是②③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数图像性质，反比例函数图像性质，绝对值不等式
【点评】
本题属于易错题，核心易错点是容易忽略异号两数的绝对值大小不确定，误判结论①成立，解题时要先抓住两函数无交点推出$k_1k_2＜0$这个核心条件，再结合举反例、绝对值运算性质逐个验证结论，避免主观臆断符号关系导致出错。
【难度系数】
0.4
解题思路如下：第一步，先根据两个函数图像无交点的条件，推导$k_1$和$k_2$的符号关系：正比例函数的图像过原点，$k_1$的正负决定它经过的象限，反比例函数$k_2$的正负决定它所在的象限，若二者没有交点，说明它们的图像分布在完全不同的两组象限，因此$k_1$和$k_2$必然异号，这是本题的核心条件。第二步，逐个验证给出的4个结论：对于结论①可以通过举反例快速判断正误，对于②③可以结合异号两数的绝对值运算性质推导，结论④直接由$k_1k_2$异号即可得出，最后统计正确结论的数量选出答案。
【解析】
解：已知正比例函数$y=k_1x$与反比例函数$y=\dfrac{k_2}{x}$在同一平面直角坐标系中无交点：
1. 若$k_1＞0$，正比例函数图像经过第一、三象限，要和反比例函数无交点，则反比例函数图像只能分布在第二、四象限，即$k_2＜0$；
2. 若$k_1＜0$，正比例函数图像经过第二、四象限，要和反比例函数无交点，则反比例函数图像只能分布在第一、三象限，即$k_2＞0$。
综上可得$k_1$和$k_2$异号，据此逐个判断结论：
结论①：$k_1+k_2≤0$，由于$k_1$、$k_2$绝对值大小未知，举反例：取$k_1=3$，$k_2=-1$，满足两函数无交点，但$k_1+k_2=2＞0$，因此该结论不成立，①错误。
结论②：因为$k_1$、$k_2$异号，所以$|k_1+k_2|=||k_1|-|k_2||$，对两个正数$|k_1|$、$|k_2|$，两数差的绝对值必然小于其中至少一个数，即$||k_1|-|k_2||＜|k_1|$或$||k_1|-|k_2||＜|k_2|$，因此$|k_1+k_2|＜|k_1|$或$|k_1+k_2|＜|k_2|$，②正确。
结论③：因为$k_1$、$k_2$异号，所以$|k_1-k_2|=|k_1|+|k_2|$，显然$||k_1|-|k_2||＜|k_1|+|k_2|$，即$|k_1+k_2|＜|k_1-k_2|$，③正确。
结论④：$k_1$和$k_2$异号，因此二者乘积$k_1k_2＜0$，④正确。
综上，正确的结论是②③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数图像性质，反比例函数图像性质，绝对值不等式
【点评】
本题属于易错题，核心易错点是容易忽略异号两数的绝对值大小不确定，误判结论①成立，解题时要先抓住两函数无交点推出$k_1k_2＜0$这个核心条件，再结合举反例、绝对值运算性质逐个验证结论，避免主观臆断符号关系导致出错。
【难度系数】
0.4
3. 如图,一次函数 $y=x+b$ 的图象与函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0,x＜0)$ 的图象交于 $A(-2,1),B(-1,m)$ 两点.求:
(1) 一次函数 $y=x+b$ 与函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0,x＜0)$ 的表达式.
(2) $△ AOB$ 的面积.
(1) 一次函数 $y=x+b$ 与函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0,x＜0)$ 的表达式.
(2) $△ AOB$ 的面积.
答案
(1) 由题意,得$k=1×(-2)=-2$,$1=-2+b$,
∴ $k=-2$,$b=3$.
∴ $y=x+3$,$y=-\dfrac{2}{x}$.
(2)
∵ 点B的横坐标为-1,
∴ $m=-\dfrac{2}{(-1)}=2$.
∴ $B(-1,2)$.设直线$y=x+3$与y轴的交点为C,则易得点C的坐标为$(0,3)$.
∴ $S_{△ AOB}=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}OC·|x_A|-\dfrac{1}{2}OC·|x_B|=\dfrac{1}{2}×3×2-\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}$.
∴ $k=-2$,$b=3$.
∴ $y=x+3$,$y=-\dfrac{2}{x}$.
(2)
∵ 点B的横坐标为-1,
∴ $m=-\dfrac{2}{(-1)}=2$.
∴ $B(-1,2)$.设直线$y=x+3$与y轴的交点为C,则易得点C的坐标为$(0,3)$.
∴ $S_{△ AOB}=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}OC·|x_A|-\dfrac{1}{2}OC·|x_B|=\dfrac{1}{2}×3×2-\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
解题思路分两步走：
1. 第一问求两个函数表达式：已知点A(-2,1)同时在一次函数和反比例函数的图象上，直接将点A的坐标分别代入两个函数的解析式，就能直接求出未知参数b和k，即可得到两个函数的表达式。
2. 第二问求△AOB的面积：首先将B点的横坐标代入反比例函数求出m，得到B点完整坐标；接着找到一次函数与y轴的交点C，将△AOB的面积转化为△AOC和△BOC的面积之差，利用两个小三角形共底OC的特点，用横坐标的绝对值作为高计算面积，大幅简化运算，避免复杂的边长、高的求解。
【解析】
(1) 求两个函数的表达式：
已知反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$过点$A(-2,1)$，将$x=-2,y=1$代入解析式：
$1=\dfrac{k}{-2}$，解得$k=-2$，因此反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{2}{x}\ (x＜0)$。
已知一次函数$y=x+b$过点$A(-2,1)$，将$x=-2,y=1$代入解析式：
$1=-2+b$，解得$b=3$，因此一次函数的表达式为$y=x+3$。
(2) 计算$△ AOB$的面积：
首先求点B的坐标，已知B点横坐标为$-1$，代入反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$：
$m=-\dfrac{2}{-1}=2$，即$B(-1,2)$。
设直线$y=x+3$与y轴的交点为C，令$x=0$，得$y=3$，因此C点坐标为$(0,3)$，即$OC=3$。
由图可知$△ AOB$的面积可以表示为$△ AOC$与$△ BOC$的面积之差：
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}$
$=\dfrac{1}{2}· OC· |x_A| - \dfrac{1}{2}· OC· |x_B|$
$=\dfrac{1}{2}×3×2 - \dfrac{1}{2}×3×1$
$=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$
【答案】
(1) 一次函数表达式为$y=x+3$，反比例函数表达式为$y=-\dfrac{2}{x}(x＜0)$；(2) $△ AOB$的面积为$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
待定系数法求函数解析式，反比例函数图象性质，坐标系割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的基础综合题型，第一问直接利用函数图象上的点满足函数解析式的性质，用待定系数法即可求解，难度较低；第二问采用割补法将斜放置的三角形拆分为两个共底的易求面积的三角形，是平面直角坐标系中计算不规则三角形面积的经典技巧，学生需要熟练掌握这类拆分思路，避免使用复杂的点到直线距离公式增加运算量。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步走：
1. 第一问求两个函数表达式：已知点A(-2,1)同时在一次函数和反比例函数的图象上，直接将点A的坐标分别代入两个函数的解析式，就能直接求出未知参数b和k，即可得到两个函数的表达式。
2. 第二问求△AOB的面积：首先将B点的横坐标代入反比例函数求出m，得到B点完整坐标；接着找到一次函数与y轴的交点C，将△AOB的面积转化为△AOC和△BOC的面积之差，利用两个小三角形共底OC的特点，用横坐标的绝对值作为高计算面积，大幅简化运算，避免复杂的边长、高的求解。
【解析】
(1) 求两个函数的表达式：
已知反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$过点$A(-2,1)$，将$x=-2,y=1$代入解析式：
$1=\dfrac{k}{-2}$，解得$k=-2$，因此反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{2}{x}\ (x＜0)$。
已知一次函数$y=x+b$过点$A(-2,1)$，将$x=-2,y=1$代入解析式：
$1=-2+b$，解得$b=3$，因此一次函数的表达式为$y=x+3$。
(2) 计算$△ AOB$的面积：
首先求点B的坐标，已知B点横坐标为$-1$，代入反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$：
$m=-\dfrac{2}{-1}=2$，即$B(-1,2)$。
设直线$y=x+3$与y轴的交点为C，令$x=0$，得$y=3$，因此C点坐标为$(0,3)$，即$OC=3$。
由图可知$△ AOB$的面积可以表示为$△ AOC$与$△ BOC$的面积之差：
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}$
$=\dfrac{1}{2}· OC· |x_A| - \dfrac{1}{2}· OC· |x_B|$
$=\dfrac{1}{2}×3×2 - \dfrac{1}{2}×3×1$
$=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$
【答案】
(1) 一次函数表达式为$y=x+3$，反比例函数表达式为$y=-\dfrac{2}{x}(x＜0)$；(2) $△ AOB$的面积为$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
待定系数法求函数解析式，反比例函数图象性质，坐标系割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的基础综合题型，第一问直接利用函数图象上的点满足函数解析式的性质，用待定系数法即可求解，难度较低；第二问采用割补法将斜放置的三角形拆分为两个共底的易求面积的三角形，是平面直角坐标系中计算不规则三角形面积的经典技巧，学生需要熟练掌握这类拆分思路，避免使用复杂的点到直线距离公式增加运算量。
【难度系数】
0.7
4. 如图,过点 $C(3,4)$ 的直线 $y=2x+b$ 交 $x$ 轴于点 $A,∠ ABC=90°,BC=BA$, 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 在第一象限内的图象经过点 $B$. 若将点 $A$ 沿 $y$ 轴正方向平移$a$ 个单位长度恰好落在该反比例函数的图象上,则 $a$ 的值为
4
.答案
如图,过点C作$CD⊥x$轴于点D,过点B作$BF⊥x$轴于点F,作$BE⊥CD$于点E,则$∠BEC=∠BFA=90°$.
∵ 点$C(3,4)$在直线$y=2x+b$上,
∴ $4=2×3+b$,解得$b=-2$.
∴ 直线对应的函数表达式为$y=2x-2$.令$y=0$,则$x=1$.
∴ 点A的坐标为$(1,0)$.
∵ 易知$BE// x$轴,
∴ $∠ABE=∠BAF$.
∵ $∠ABC=90°$,
∴ $∠ABE+∠EBC=90°$.
∵ $∠BAF+∠FBA=90°$,
∴ $∠EBC=∠FBA$.在$△ EBC$和$△ FBA$中,$\begin{cases} ∠BEC=∠BFA, \\ ∠EBC=∠FBA, \\ BC=BA, \end{cases}$
∴ $△ EBC≌△ FBA(\mathrm{AAS})$.
∴ $CE=AF$,$BE=BF$.设点B的坐标为$(m,\dfrac{k}{m})$,则易得$\begin{cases} 4-\dfrac{k}{m}=m-1, \\ m-3=\dfrac{k}{m}, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=4, \\ k=4. \end{cases}$
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$.把$x=1$代入,得$y=4$.
∴ $a=4-0=4$,即$a$的值为4.
∵ 点$C(3,4)$在直线$y=2x+b$上,
∴ $4=2×3+b$,解得$b=-2$.
∴ 直线对应的函数表达式为$y=2x-2$.令$y=0$,则$x=1$.
∴ 点A的坐标为$(1,0)$.
∵ 易知$BE// x$轴,
∴ $∠ABE=∠BAF$.
∵ $∠ABC=90°$,
∴ $∠ABE+∠EBC=90°$.
∵ $∠BAF+∠FBA=90°$,
∴ $∠EBC=∠FBA$.在$△ EBC$和$△ FBA$中,$\begin{cases} ∠BEC=∠BFA, \\ ∠EBC=∠FBA, \\ BC=BA, \end{cases}$
∴ $△ EBC≌△ FBA(\mathrm{AAS})$.
∴ $CE=AF$,$BE=BF$.设点B的坐标为$(m,\dfrac{k}{m})$,则易得$\begin{cases} 4-\dfrac{k}{m}=m-1, \\ m-3=\dfrac{k}{m}, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=4, \\ k=4. \end{cases}$
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$.把$x=1$代入,得$y=4$.
∴ $a=4-0=4$,即$a$的值为4.
解析
【分析】
我们可以按四步思路逐步求解：第一步，先将已知点C代入直线解析式，求出参数b，再令直线y=0，直接算出点A的坐标，完成基础的一次函数点的求解；第二步，看到∠ABC=90°且BC=BA的等腰直角条件，通过作双垂线构造经典的K型全等模型，过C作x轴垂线，过B分别作x轴垂线和C点垂线的垂线，推导角的互余关系，用AAS证明两个直角三角形全等；第三步，利用全等三角形对应边相等的性质，得到线段的等量关系，设点B的坐标列方程组，解出反比例函数的k值；第四步，点A沿y轴平移后横坐标不变，代入反比例函数得到对应纵坐标，减去A原有的纵坐标0，即可得到平移的a值。
【解析】
解：
1. 求直线解析式与点A坐标
将点$C(3,4)$代入直线$y=2x+b$，得：
$4=2×3+b$，解得$b=-2$，
因此直线的函数表达式为$y=2x-2$。
令$y=0$，代入得$0=2x-2$，解得$x=1$，即点A的坐标为$(1,0)$。
2. 构造辅助线证明全等
过点$C$作$CD⊥x$轴于点$D$，过点$B$作$BF⊥x$轴于点$F$，作$BE⊥CD$于点$E$，可得$∠BEC=∠BFA=90°$。
由$BE// x$轴得$∠ABE=∠BAF$，结合$∠ABC=90°$，可得$∠ABE+∠EBC=90°$；
在$Rt△ABF$中，$∠BAF+∠FBA=90°$，因此推得$∠EBC=∠FBA$。
在$△ EBC$和$△ FBA$中：
$\begin{cases} ∠BEC=∠BFA \\ ∠EBC=∠FBA \\ BC=BA \end{cases}$
$\therefore △ EBC≌△ FBA(\mathrm{AAS})$，可得$CE=AF$，$BE=BF$。
3. 求解反比例函数解析式
设点B的坐标为$(m,\frac{k}{m})$，结合线段等量关系列方程组：
$\begin{cases} 4-\dfrac{k}{m}=m-1 \\ m-3=\dfrac{k}{m} \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=4 \\ k=4 \end{cases}$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$。
4. 计算平移的a值
点A$(1,0)$沿y轴正方向平移a个单位后坐标为$(1,a)$，代入反比例函数$y=\frac{4}{x}$，得$y=4$，因此$a=4-0=4$。
【答案】$\boldsymbol{4}$
【知识点】一次函数求点，AAS全等判定，反比例函数解析式
【点评】本题是函数与几何结合的中档综合题，核心考察等腰直角三角形的K型全等构造技巧，通过全等把坐标关系转化为线段等量关系，避免了复杂的距离公式运算，充分体现了数形结合的解题思想，对学生的几何模型应用能力有一定要求。
【难度系数】0.4
我们可以按四步思路逐步求解：第一步，先将已知点C代入直线解析式，求出参数b，再令直线y=0，直接算出点A的坐标，完成基础的一次函数点的求解；第二步，看到∠ABC=90°且BC=BA的等腰直角条件，通过作双垂线构造经典的K型全等模型，过C作x轴垂线，过B分别作x轴垂线和C点垂线的垂线，推导角的互余关系，用AAS证明两个直角三角形全等；第三步，利用全等三角形对应边相等的性质，得到线段的等量关系，设点B的坐标列方程组，解出反比例函数的k值；第四步，点A沿y轴平移后横坐标不变，代入反比例函数得到对应纵坐标，减去A原有的纵坐标0，即可得到平移的a值。
【解析】
解：
1. 求直线解析式与点A坐标
将点$C(3,4)$代入直线$y=2x+b$，得：
$4=2×3+b$，解得$b=-2$，
因此直线的函数表达式为$y=2x-2$。
令$y=0$，代入得$0=2x-2$，解得$x=1$，即点A的坐标为$(1,0)$。
2. 构造辅助线证明全等
过点$C$作$CD⊥x$轴于点$D$，过点$B$作$BF⊥x$轴于点$F$，作$BE⊥CD$于点$E$，可得$∠BEC=∠BFA=90°$。
由$BE// x$轴得$∠ABE=∠BAF$，结合$∠ABC=90°$，可得$∠ABE+∠EBC=90°$；
在$Rt△ABF$中，$∠BAF+∠FBA=90°$，因此推得$∠EBC=∠FBA$。
在$△ EBC$和$△ FBA$中：
$\begin{cases} ∠BEC=∠BFA \\ ∠EBC=∠FBA \\ BC=BA \end{cases}$
$\therefore △ EBC≌△ FBA(\mathrm{AAS})$，可得$CE=AF$，$BE=BF$。
3. 求解反比例函数解析式
设点B的坐标为$(m,\frac{k}{m})$，结合线段等量关系列方程组：
$\begin{cases} 4-\dfrac{k}{m}=m-1 \\ m-3=\dfrac{k}{m} \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=4 \\ k=4 \end{cases}$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$。
4. 计算平移的a值
点A$(1,0)$沿y轴正方向平移a个单位后坐标为$(1,a)$，代入反比例函数$y=\frac{4}{x}$，得$y=4$，因此$a=4-0=4$。
【答案】$\boldsymbol{4}$
【知识点】一次函数求点，AAS全等判定，反比例函数解析式
【点评】本题是函数与几何结合的中档综合题，核心考察等腰直角三角形的K型全等构造技巧，通过全等把坐标关系转化为线段等量关系，避免了复杂的距离公式运算，充分体现了数形结合的解题思想，对学生的几何模型应用能力有一定要求。
【难度系数】0.4
5. 如图,一次函数$y=kx+b$与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}(m ≠ 0)$的图象交于$A(1,t+2),B(-2t,-1)$两点.
(1) 求反比例函数的表达式.
(2) 当一次函数的值大于反比例函数的值时,写出$x$的取值范围.
(1) 求反比例函数的表达式.
(2) 当一次函数的值大于反比例函数的值时,写出$x$的取值范围.
答案
(1)
∵ $A(1,t+2)$,$B(-2t,-1)$两点在反比例函数$y=\dfrac{m}{x}(m≠0)$的图象上,
∴ 易得$t+2=-2t×(-1)$,解得$t=2$.
∴ $m=1×(2+2)=4$.
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$.
(2) 由(1),得$t=2$,
∴ 一次函数$y=kx+b$与反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象交于$A(1,4)$,$B(-4,-1)$两点.由题图可知,当一次函数的值大于反比例函数的值时,$x$的取值范围是$-4＜x＜0$或$x＞1$.
∵ $A(1,t+2)$,$B(-2t,-1)$两点在反比例函数$y=\dfrac{m}{x}(m≠0)$的图象上,
∴ 易得$t+2=-2t×(-1)$,解得$t=2$.
∴ $m=1×(2+2)=4$.
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$.
(2) 由(1),得$t=2$,
∴ 一次函数$y=kx+b$与反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象交于$A(1,4)$,$B(-4,-1)$两点.由题图可知,当一次函数的值大于反比例函数的值时,$x$的取值范围是$-4＜x＜0$或$x＞1$.
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问求反比例函数表达式，我们知道反比例函数上任意一点的横纵坐标乘积都等于比例系数m，A、B两点都在反比例函数图像上，它们的横纵坐标乘积相等，就可以先建立关于t的方程，解出t之后代入点坐标就能算出m，得到反比例函数解析式。第二问要找一次函数值大于反比例函数值的x范围，先把t代入得到两个交点的完整坐标，再结合图像，观察一次函数图像在反比例函数图像上方的所有x对应的区间，注意反比例函数在x=0处无定义，分开x＜0和x＞0两个区域判断，就能得到取值范围。
【解析】
(1) 已知点$A(1,t+2)$和点$B(-2t,-1)$都在反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象上，根据反比例函数图象上点的性质，点的横纵坐标乘积等于m，因此可得：
$1×(t+2) = (-2t)×(-1)$
整理得：$t+2=2t$
解得：$t=2$
将$t=2$代入点A的坐标，得$A(1, 4)$，代入反比例函数得$m=1×4=4$
因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$。
(2) 把$t=2$代入点B的坐标，得$B(-4, -1)$，即两个函数的交点为$A(1,4)$和$B(-4,-1)$。
结合函数图象观察：
在$x＜0$的区域，一次函数图象在反比例函数上方的部分对应的x范围是$-4＜x＜0$；
在$x＞0$的区域，一次函数图象在反比例函数上方的部分对应的x范围是$x＞1$。
因此一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围是$-4＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{4}{x}}$；
(2) $x$的取值范围是$\boldsymbol{-4＜x＜0}$或$\boldsymbol{x＞1}$。
【知识点】
反比例函数解析式求解，函数图像交点性质，数形结合解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的基础综合题型，核心考察反比例函数的基本性质和数形结合的思想，计算量小，利用反比例函数点的坐标特征先求参数，再直接通过图像判断函数值大小对应的自变量范围，是中考反比例模块的典型基础题，易错点是容易漏掉x＜0的区间里-4到0的部分，忽略反比例函数在x=0处无意义的性质。
【难度系数】
0.8
这道题分为两小问，第一问求反比例函数表达式，我们知道反比例函数上任意一点的横纵坐标乘积都等于比例系数m，A、B两点都在反比例函数图像上，它们的横纵坐标乘积相等，就可以先建立关于t的方程，解出t之后代入点坐标就能算出m，得到反比例函数解析式。第二问要找一次函数值大于反比例函数值的x范围，先把t代入得到两个交点的完整坐标，再结合图像，观察一次函数图像在反比例函数图像上方的所有x对应的区间，注意反比例函数在x=0处无定义，分开x＜0和x＞0两个区域判断，就能得到取值范围。
【解析】
(1) 已知点$A(1,t+2)$和点$B(-2t,-1)$都在反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象上，根据反比例函数图象上点的性质，点的横纵坐标乘积等于m，因此可得：
$1×(t+2) = (-2t)×(-1)$
整理得：$t+2=2t$
解得：$t=2$
将$t=2$代入点A的坐标，得$A(1, 4)$，代入反比例函数得$m=1×4=4$
因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$。
(2) 把$t=2$代入点B的坐标，得$B(-4, -1)$，即两个函数的交点为$A(1,4)$和$B(-4,-1)$。
结合函数图象观察：
在$x＜0$的区域，一次函数图象在反比例函数上方的部分对应的x范围是$-4＜x＜0$；
在$x＞0$的区域，一次函数图象在反比例函数上方的部分对应的x范围是$x＞1$。
因此一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围是$-4＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{4}{x}}$；
(2) $x$的取值范围是$\boldsymbol{-4＜x＜0}$或$\boldsymbol{x＞1}$。
【知识点】
反比例函数解析式求解，函数图像交点性质，数形结合解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的基础综合题型，核心考察反比例函数的基本性质和数形结合的思想，计算量小，利用反比例函数点的坐标特征先求参数，再直接通过图像判断函数值大小对应的自变量范围，是中考反比例模块的典型基础题，易错点是容易漏掉x＜0的区间里-4到0的部分，忽略反比例函数在x=0处无意义的性质。
【难度系数】
0.8
