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1. (2025·山东淄博)下列四个实数中，比－2大的无理数是（
A.0
B.－1
C.$-\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{5}$
C
）A.0
B.－1
C.$-\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{5}$
答案
1. C
2.（教材P70例1变式）估计$\sqrt{23}$的值应在（
A.3.5和4之间
B.4和4.5之间
C.4.5和5之间
D.5和5.5之间
C
）A.3.5和4之间
B.4和4.5之间
C.4.5和5之间
D.5和5.5之间
答案
2. C
3. 已知$a,b$为两个相邻的整数，且满足$a＜\sqrt{17}＜b$，则$a+b$的值为
9
。答案
3. 9
4.（2026·江苏无锡期中）在实数$\sqrt{1}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$，…，$\sqrt{2024}$，$\sqrt{2025}$，$\sqrt{2026}$中，无理数有
1 981
个。答案
4. 1 981 解析: 因为 $1^2 = 1,2^2 = 4,3^2 = 9,···,44^2 = 1 936,45^2=2 025,$所以其中有理数有 45 个,即无理数有2 026−45=1 981(个).
5. 新素养 推理能力 已知$x$是无理数，且$(x-2)(x+6)$是有理数，则下列式子不一定是有理数的是（
A.$(x-3)(x+7)$
B.$(x+1)(x+3)$
C.$(x+2)(x-6)$
D.$(x+2)^2$
C
）A.$(x-3)(x+7)$
B.$(x+1)(x+3)$
C.$(x+2)(x-6)$
D.$(x+2)^2$
答案
5. C 解析:因为 $x$ 是无理数,$(x-2)(x+6)$是有理数,且$(x-2)(x+6)=x^2+4x-12,$所以 $x^2+4x$ 是有理数. 因为$(x-3)(x+7)=x^2+4x-21,$所以$(x-3)·(x+7)$一定是有理数;因为$(x+1)(x+3)=x^2+4x+3,$所以$(x+1)(x+3)$一定是有理数;因为$(x+2)(x-6)=x^2-4x-12,$所以$(x+2)(x-6)$不一定是有理数;因为$(x+2)^2=x^2+4x+4,$所以$(x+2)^2$一定是有理数. 故选项 C 符合题意.
6. 已知$a,b,n$均为正整数.若$n-1＜\sqrt{a}＜n$，$n＜\sqrt{b}＜n+1$，则满足条件的$a$的个数总比$b$的个数少
2
.答案
6. 2 解析:因为 $a,b,n$ 均为正整数,且 $n-1＜\sqrt{a}＜n$,$n＜\sqrt{b}＜n+1$,所以 $a$ 的个数为 $n^2-(n-1)^2-1=2n-2,b$ 的个数为$(n+1)^2-n^2-1=2n$,即满足条件的 $a$ 的个数总比 $b$ 的个数少 $2n-(2n-2)=2$.
7. (1) 下面是小李探索$\sqrt{2}$的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形的边长是$\sqrt{2}$，且$\sqrt{2}＞1$. 设$\sqrt{2}=1+x$，可画出如图所示的示意图.
由面积公式，得$x^2 +$
略去$x^2$，得方程
解得$x=$
(2) 仿照上述方法，利用(1)的结论，再探究一次，使求得的$\sqrt{2}$的近似值更加准确(画出示意图，标明数据，并写出求解过程).
我们知道面积是2的正方形的边长是$\sqrt{2}$，且$\sqrt{2}＞1$. 设$\sqrt{2}=1+x$，可画出如图所示的示意图.
由面积公式，得$x^2 +$
2x+1
$=2$.略去$x^2$，得方程
2x+1=2
.解得$x=$
0.5
. 则$\sqrt{2}\approx$1.5
.(2) 仿照上述方法，利用(1)的结论，再探究一次，使求得的$\sqrt{2}$的近似值更加准确(画出示意图，标明数据，并写出求解过程).
答案
7. (1) $2x+1$ $2x+1=2$ $0.5$ $1.5$
(2) 因为 $x^2＞0,$ 所以 $2x+1＜2,$ 解得 $x＜0.5.$ 所以$\sqrt{2}＜1.5.$设$\sqrt{2}=1.5-y,$示意图如图1所示. 由面积公式,得 $y^2+2y(1.5-y)+2=1.5^2.$ 整理,得 $-y^2+3y+2=2.25.$ 略去 $y^2$,得方程 $3y+2=2.25,$ 解得$y=0.08\dot{3}.$则$\sqrt{2}\approx1.416\ 7.$
8. 阅读下列内容，解答问题：
因为 $1＜2＜4$，所以 $1＜\sqrt{2}＜2$，所以$\sqrt{2}$的整数部分是1，小数部分是$\sqrt{2}-1$。
解答问题：$\sqrt{13}$的整数部分是
【拓展一】若$9+\sqrt{13}$和$9-\sqrt{13}$的小数部分分别是$a$和$b$，则$a=$
【拓展二】因为$\sqrt{1^2+1}=\sqrt{2}$，且$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$\sqrt{1^2+1}$的整数部分为1。
因为$\sqrt{2^2+2}=\sqrt{6}$，且$2＜\sqrt{6}＜3$，所以$\sqrt{2^2+2}$的整数部分为2。
因为$\sqrt{3^2+3}=\sqrt{12}$，且$3＜\sqrt{12}＜4$，所以$\sqrt{3^2+3}$的整数部分为3。
以此类推，我们会发现$\sqrt{n^2+n}$（$n$为正整数）的整数部分为
因为 $1＜2＜4$，所以 $1＜\sqrt{2}＜2$，所以$\sqrt{2}$的整数部分是1，小数部分是$\sqrt{2}-1$。
解答问题：$\sqrt{13}$的整数部分是
3
，小数部分是$\sqrt{13}-3$
。【拓展一】若$9+\sqrt{13}$和$9-\sqrt{13}$的小数部分分别是$a$和$b$，则$a=$
$\sqrt{13}-3$
，$b=$$4-\sqrt{13}$
。【拓展二】因为$\sqrt{1^2+1}=\sqrt{2}$，且$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$\sqrt{1^2+1}$的整数部分为1。
因为$\sqrt{2^2+2}=\sqrt{6}$，且$2＜\sqrt{6}＜3$，所以$\sqrt{2^2+2}$的整数部分为2。
因为$\sqrt{3^2+3}=\sqrt{12}$，且$3＜\sqrt{12}＜4$，所以$\sqrt{3^2+3}$的整数部分为3。
以此类推，我们会发现$\sqrt{n^2+n}$（$n$为正整数）的整数部分为
$n$
，请简要说明理由。答案
8. 3 $\sqrt{13}-3$ 解析: 因为 $9＜13＜16,$ 所以 $3＜\sqrt{13}＜4.$ 所以$\sqrt{13}$的整数部分是 3,小数部分是$\sqrt{13}-3.$
【拓展一】$\sqrt{13}-3$ $4-\sqrt{13}$ 解析: 因为 $9+\sqrt{13}$ 和$9-\sqrt{13}$的小数部分分别是 $a$ 和 $b$, 所以 $a=9+\sqrt{13}-9-3=\sqrt{13}-3,b=9-\sqrt{13}-5=4-\sqrt{13}.$
【拓展二】$n$ 理由如下:因为 $n(n+1)=n^2+n,$ 所以 $\sqrt{n^2+n}=\sqrt{n(n+1)},$ 且 $\sqrt{n^2}＜\sqrt{n(n+1)}＜\sqrt{(n+1)^2},n$ 为正整数,所以 $n＜\sqrt{n^2+n}＜n+1.$ 所以$\sqrt{n^2+n}$的整数部分是 $n.$
【拓展一】$\sqrt{13}-3$ $4-\sqrt{13}$ 解析: 因为 $9+\sqrt{13}$ 和$9-\sqrt{13}$的小数部分分别是 $a$ 和 $b$, 所以 $a=9+\sqrt{13}-9-3=\sqrt{13}-3,b=9-\sqrt{13}-5=4-\sqrt{13}.$
【拓展二】$n$ 理由如下:因为 $n(n+1)=n^2+n,$ 所以 $\sqrt{n^2+n}=\sqrt{n(n+1)},$ 且 $\sqrt{n^2}＜\sqrt{n(n+1)}＜\sqrt{(n+1)^2},n$ 为正整数,所以 $n＜\sqrt{n^2+n}＜n+1.$ 所以$\sqrt{n^2+n}$的整数部分是 $n.$
