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12. (2025·江苏南京二模)已知$a^2 = (-3)^2$，且$\sqrt[3]{3a - 2b} + \sqrt[3]{a + b} = 0$，则$2a^2 - b = \_\_\_\_\_\_$
答案
12. 6或30 解析: 由题意,得 $a^2=9$,$3a-2b+a+b=0$,所以 $a=\pm 3$,$b=4a$,即 $b=12$ 或 $-12$. 所以 $2a^2-b=6$ 或 30.
13. 已知$m,n$为正整数，且$A = \sqrt[m-n]{m+n+10}$是$m+n+10$的算术平方根，$B = \sqrt[m-2n+3]{4m+6n-1}$是$4m+6n-1$的立方根。
（1）求$m,n$的值；
（2）求$A-B$的立方根。
（1）求$m,n$的值；
（2）求$A-B$的立方根。
答案
13. (1) 由题意,得 $\begin{cases} m-n=2,\\ m-2n+3=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=4,\\ n=2. \end{cases}$ 所以 $m=4,n=2$.
(2) 由(1),得 $m=4,n=2$,则 $m+n+10=16$,$4m+6n-1=27$. 则 $A=\sqrt{16}=4$,$B=\sqrt[3]{27}=3$. 所以 $A-B=1$,即 $A-B$ 的立方根是 1.
(2) 由(1),得 $m=4,n=2$,则 $m+n+10=16$,$4m+6n-1=27$. 则 $A=\sqrt{16}=4$,$B=\sqrt[3]{27}=3$. 所以 $A-B=1$,即 $A-B$ 的立方根是 1.
14. 已知一个长方体水池的长、宽、高之比为$2:2:4$，其体积为$16\ 000\ \mathrm{dm}^3$.
（1）求这个长方体水池的长、宽、高；
（2）将一个半径为$r\ \mathrm{dm}$的铁球放入注满水的该水池中，溢出水的体积为水池体积的$\frac{1}{800}$，求该铁球的半径（球的体积公式：$V_{球}=\frac{4}{3}π r^3$，$π\approx3$，结果保留根号）.
（1）求这个长方体水池的长、宽、高；
（2）将一个半径为$r\ \mathrm{dm}$的铁球放入注满水的该水池中，溢出水的体积为水池体积的$\frac{1}{800}$，求该铁球的半径（球的体积公式：$V_{球}=\frac{4}{3}π r^3$，$π\approx3$，结果保留根号）.
答案
14. (1) 由题意,设这个长方体水池的长、宽、高分别为 $2x\ \mathrm{dm}$,$2x\ \mathrm{dm}$,$4x\ \mathrm{dm}$,则 $2x· 2x· 4x=16\ 000$,解得 $x=10$. 则 $2x=20$,$4x=40$. 所以这个长方体水池的长、宽、高分别为 $20\ \mathrm{dm}$,$20\ \mathrm{dm}$,$40\ \mathrm{dm}$.
(2) 由题意,得 $\dfrac{4}{3}π r^3=\dfrac{1}{800}× 16\ 000$,所以 $r^3\approx 5$,解得 $r\approx \sqrt[3]{5}$. 所以该铁球的半径约为 $\sqrt[3]{5}\ \mathrm{dm}$.
(2) 由题意,得 $\dfrac{4}{3}π r^3=\dfrac{1}{800}× 16\ 000$,所以 $r^3\approx 5$,解得 $r\approx \sqrt[3]{5}$. 所以该铁球的半径约为 $\sqrt[3]{5}\ \mathrm{dm}$.
15. (2025·江苏连云港二模)在小于1 000的非零自然数中,既不是完全平方数(平方根是整数),也不是完全立方数(立方根是整数)的数有
962
个.答案
15. 962 解析: 因为 $31^2=961$,$32^2=1\ 024$,$961＜1\ 000＜1\ 024$,所以在小于 1 000 的非零自然数中有31 个数是完全平方数. 又 $9^3=729$,$10^3=1\ 000$,$729＜1\ 000$,所以在小于 1 000 的非零自然数中有9 个数是完全立方数. 又 $1^3=1^2$,$4^3=8^2$,$9^3=27^2$,所以在小于 1 000 的非零自然数中有 3 个数既是完全平方数,又是完全立方数. 所以在小于 1 000 的非零自然数中,既不是完全平方数也不是完全立方数的数有 $999-(31+9-3)=962$(个).
16. 新素养 应用意识 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:求 59 319 的立方根.华罗庚脱口而出:39.众人十分惊奇,忙问计算的奥妙.
你知道怎样迅速准确地计算出结果吗?请你按下面的问题试一试:
(1) $10^3 = 1000$，$100^3 = 1000000$，你能确定59 319的立方根是几位数吗?并写出结果；
(2) 由59 319的个位数是9，你能确定59 319的立方根的个位数是几吗?并写出结果；
(3) 如果划去59 319后面的三位319得到数59，而$3^3 = 27$，$4^3 = 64$，那么由此你能确定59 319的立方根的十位数是几吗?答：
(4) 现在换一个数148 877，你能按这种方法说出它的立方根吗?
① 它的立方根是
② 它的立方根的个位数是
③ 它的立方根的十位数是
④ 148 877的立方根是
你知道怎样迅速准确地计算出结果吗?请你按下面的问题试一试:
(1) $10^3 = 1000$，$100^3 = 1000000$，你能确定59 319的立方根是几位数吗?并写出结果；
(2) 由59 319的个位数是9，你能确定59 319的立方根的个位数是几吗?并写出结果；
(3) 如果划去59 319后面的三位319得到数59，而$3^3 = 27$，$4^3 = 64$，那么由此你能确定59 319的立方根的十位数是几吗?答：
3
，因此59 319的立方根是39
；(4) 现在换一个数148 877，你能按这种方法说出它的立方根吗?
① 它的立方根是
两
位数；② 它的立方根的个位数是
3
；③ 它的立方根的十位数是
5
；④ 148 877的立方根是
53
.答案
16. (1) 能,是两位数.
(2) 能,是 9.
(3) 3 39
(4) ① 两 ② 3 ③ 5 ④ 53 解析:① 因为 $10^3=1\ 000$,$100^3=1\ 000\ 000$,所以 148 877 的立方根是两位数. ② 因为 $3^3=27$,所以能确定 148 877 的立方根的个位数是 3. ③ 因为 $5^3=125$,$6^3=216$,所以能确定 148 877 的立方根的十位数是 5. ④ 所以 148 877 的立方根是 53.
(2) 能,是 9.
(3) 3 39
(4) ① 两 ② 3 ③ 5 ④ 53 解析:① 因为 $10^3=1\ 000$,$100^3=1\ 000\ 000$,所以 148 877 的立方根是两位数. ② 因为 $3^3=27$,所以能确定 148 877 的立方根的个位数是 3. ③ 因为 $5^3=125$,$6^3=216$,所以能确定 148 877 的立方根的十位数是 5. ④ 所以 148 877 的立方根是 53.
